ES · Selectividad

Cinemática

La cinemática describe el movimiento de los cuerpos —cómo cambian su posición, velocidad y aceleración con el tiempo— sin preguntarse aún por las causas que lo producen, que serán objeto de la dinámica. Este tema, encuadrado en el saber básico D del currículo de Física y Química de Bachillerato (LOMLOE), recorre las magnitudes cinemáticas y los movimientos rectilíneo, circular y compuesto en situaciones cotidianas. Es un contenido plenamente evaluable en la Selectividad / PAU, donde los problemas de cinemática (MRUA, tiro parabólico y movimiento circular) y la interpretación de gráficas son clásicos recurrentes de la fase de acceso.

4 secciones~23 min de lectura4 competenciasRevisado · 07/2026

T·0888 / 11

Perfil de examen

CE1 · Resolver problemas y situaciones relacionados con el movimiento aplicando las leyes y ecuaciones cinemáticas adecuadas para comprender y explicar fenómenos del entorno cotidiano.Criterio 1.2 · Resolver problemas cinemáticos a partir de situaciones cotidianas (vehículos, lanzamientos, ruedas) argumentando y justificando las soluciones obtenidas.Criterio 2.3 · Integrar leyes y teorías para establecer relaciones cualitativas y cuantitativas entre las magnitudes del movimiento (posición, velocidad y aceleración).Criterio 3.3 · Emplear y traducir entre diferentes formatos —gráficas posición-tiempo y velocidad-tiempo, ecuaciones y descripciones verbales— para interpretar y expresar la información del movimiento.

Operadores:analizacalculainterpretajustificarelacionademuestrarepresentatraduce

nivel básico

Como materia de modalidad, Física y Química exige dominar las ecuaciones del MRU, MRUA, MCU y los movimientos compuestos, así como interpretar gráficas; este es el contenido nuclear que se evalúa en la PAU.

nivel avanzado

La profundización busca el manejo vectorial fluido (descomposición de la aceleración en tangencial y normal, composición de velocidades) y el razonamiento sobre el carácter relativo del movimiento, distinguiendo trayectoria de espacio recorrido en cualquier sistema de referencia.

Profundidad

Texto

Contenido · 4 secciones

Cinemática

4 secciones16 puntos clave15 fórmulas16 errores típicos

Magnitudes cinemáticas y sistemas de referencia#

~6 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física y Química · saber básico D (Cinemática) — magnitudes del movimiento: posición, desplazamiento, trayectoria, espacio recorrido, velocidad y aceleración

Antes de medir un movimiento hay que decidir desde dónde se mide: todo movimiento es relativo a un sistema de referencia, un punto de origen con unos ejes respecto a los cuales se localiza el móvil. Un viajero sentado en un tren está en reposo respecto al vagón pero en movimiento respecto al andén; ninguna de las dos descripciones es «más verdadera» que la otra. Por eso, el primer paso de cualquier problema de cinemática es elegir el origen, el sentido positivo del eje y el instante inicial t = 0.

La posición es el vector que va del origen al móvil; en una dimensión basta una coordenada x(t). El desplazamiento, Δr = r_final − r_inicial, es el vector que une la posición inicial con la final y NO depende del camino seguido. La trayectoria es la línea que describe el móvil en el espacio (recta, circunferencia, parábola…), y el espacio recorrido s es la longitud de esa trayectoria, una magnitud escalar siempre positiva. La Fig. 1 contrasta estas tres ideas: en un viaje de ida y vuelta el espacio recorrido es grande mientras que el desplazamiento es nulo.

Desplazamiento frente a espacio recorrido y trayectoria

Fig. 1 ↓

La velocidad media es el cociente entre el desplazamiento y el tiempo empleado, v_media = Δr / Δt; tiene la dirección del desplazamiento. La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero —la derivada de la posición respecto al tiempo— y es siempre tangente a la trayectoria. Conviene distinguir la velocidad (vector) de la celeridad o rapidez (su módulo, escalar), y la velocidad media del desplazamiento de la velocidad media del espacio recorrido (que coincide con el dato del cuentakilómetros).

La aceleración mide cómo cambia la velocidad con el tiempo, a = Δv / Δt (media) o su límite instantáneo. Como la velocidad es un vector, puede cambiar en módulo, en dirección o en ambos: por eso la aceleración se descompone en una componente tangencial a_t (paralela a la velocidad, responsable del cambio de rapidez) y una componente normal o centrípeta a_n (perpendicular, responsable del cambio de dirección). En el movimiento rectilíneo a_n = 0; en el circular uniforme a_t = 0 pero a_n ≠ 0. Esta descomposición, que se detalla en el apartado del movimiento circular, es la idea vertebradora de toda la cinemática vectorial.

Las unidades del Sistema Internacional son el metro (m) para posición, desplazamiento y espacio; el metro por segundo (m/s) para la velocidad —recuerda que 1 m/s = 3,6 km/h (repaso)—; y el metro por segundo al cuadrado (m/s²) para la aceleración. Trabajar siempre en unidades coherentes del SI evita la mayor parte de los errores numéricos en la PAU.

Vocabulario

→ Tarjetas

Sistema de referenciaOrigen y ejes respecto a los cuales se localiza el móvil; sin declararlo, ninguna ecuación tiene sentido.
Vector posiciónVector que va del origen al móvil; sus componentes son las coordenadas en cada instante.
DesplazamientoVector que une la posición inicial con la final; no depende del camino recorrido y puede ser nulo con recorrido no nulo.
TrayectoriaLínea que describe el móvil en el espacio; su longitud es el espacio recorrido, una magnitud escalar.
Aceleración tangencialComponente de la aceleración paralela a la velocidad; mide el cambio de rapidez.
Aceleración normalComponente de la aceleración perpendicular a la velocidad, dirigida al centro de curvatura; mide el cambio de dirección.

Velocidad media

\vec{v}_{m} = \dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \dfrac{\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}}{t_{2}-t_{1}}

Cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo; su dirección es la del desplazamiento.

Velocidad instantánea

\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \dfrac{d\vec{r}}{dt}

Derivada de la posición respecto al tiempo; es siempre tangente a la trayectoria.

Aceleración media e instantánea

\vec{a}_{m} = \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \qquad \vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}

Mide la rapidez con que cambia el vector velocidad, ya sea en módulo o en dirección.

Ejemplo resuelto

Espacio, desplazamiento y velocidades medias

Un coche viaja 80 km hacia el norte en 1,0 h y a continuación 30 km hacia el sur en 0,5 h por la misma carretera recta. Tomando el norte como positivo, determina el espacio recorrido, el desplazamiento, la celeridad media y la velocidad media en m/s.

Espacio recorrido
Se suman las longitudes de los dos tramos, sin tener en cuenta el sentido.
$s = 80\text{ km} + 30\text{ km} = 110\text{ km} = 1{,}10\times 10^{5}\ \text{m}$
Desplazamiento
Se restan por ser de sentidos opuestos; el resultado es positivo, hacia el norte.
$\Delta x = +80 - 30 = +50\text{ km} = 5{,}0\times 10^{4}\ \text{m}$
Tiempo total
Suma de los dos intervalos.
$t = 1{,}0\,\text{h} + 0{,}5\,\text{h} = 1{,}5\,\text{h} = 5400\ \text{s}$
Celeridad media
Espacio recorrido entre tiempo total: 110 km = 110000 m.
$\bar{c} = \dfrac{s}{t} = \dfrac{110\,000}{5400} \approx 20{,}4\ \text{m/s}$
Velocidad media
Desplazamiento entre tiempo total: 50 km = 50000 m, sentido norte.
$\bar{v} = \dfrac{\Delta x}{t} = \dfrac{50\,000}{5400} \approx 9{,}3\ \text{m/s}$

Resultado: Espacio recorrido s = 110 km; desplazamiento Δx = +50 km (hacia el norte); celeridad media ≈ 20,4 m/s; velocidad media ≈ 9,3 m/s. No coinciden porque hubo cambio de sentido: el espacio recorrido supera al módulo del desplazamiento.

Errores frecuentes

Confundir el desplazamiento con el espacio recorrido: en un trayecto de ida y vuelta el desplazamiento es cero pero el espacio recorrido no, y la velocidad media del desplazamiento resulta nula mientras que la celeridad media no lo es.
Olvidar convertir km/h a m/s (o viceversa) y mezclar unidades, lo que da resultados desfasados por el factor 3,6.
Suponer que la aceleración solo aparece cuando cambia la rapidez, ignorando que un movimiento de rapidez constante pero trayectoria curva está acelerado (aceleración normal).
Calcular la velocidad media como media aritmética de las velocidades: la velocidad media es desplazamiento entre tiempo, y solo coincide con la media aritmética en el MRUA y cuando los tramos duran lo mismo.

Repaso activo

Un ciclista recorre 300 m hacia el este y, sin parar, vuelve 100 m hacia el oeste por la misma recta, empleando en total 50 s. Tomando el este como sentido positivo, calcula: (a) el espacio recorrido, (b) el módulo del desplazamiento y su sentido, (c) la celeridad media y (d) la velocidad media. Comenta por qué (c) y (d) no coinciden.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Movimiento rectilíneo: MRU y MRUA#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física y Química · saber básico D (Cinemática) — movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y uniformemente acelerado (MRUA); ecuaciones y gráficas

El movimiento rectilíneo es el más sencillo: la trayectoria es una recta, por lo que la aceleración normal es nula y basta trabajar con signos (+/−) sobre un único eje. Distinguimos dos casos fundamentales: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), con velocidad constante y aceleración nula, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), con aceleración constante distinta de cero.

En el MRU la posición crece (o decrece) linealmente con el tiempo, x = x₀ + v·t. La gráfica posición-tiempo es una recta cuya pendiente es la velocidad, y la gráfica velocidad-tiempo es una horizontal; el espacio recorrido coincide con el área del rectángulo bajo esa horizontal. Es el modelo de un coche con el control de crucero o de la luz que viaja a velocidad constante.

En el MRUA la aceleración a es constante: la velocidad varía linealmente, v = v₀ + a·t, y la posición sigue una ley cuadrática, x = x₀ + v₀·t + ½·a·t². La Fig. 2 muestra la gráfica velocidad-tiempo, una recta de pendiente a; el área bajo ella (un trapecio) es el desplazamiento. Una relación muy útil que no contiene el tiempo es v² = v₀² + 2·a·Δx, ideal cuando no se conoce ni se pide el instante.

Gráfica velocidad-tiempo (v-t) de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Fig. 2 ↓

El criterio de signos es clave: si a y v tienen el mismo signo el móvil acelera (gana rapidez); si tienen signos opuestos, frena (la decelera). La caída libre y el lanzamiento vertical son MRUA con aceleración g ≈ 9,8 m/s² dirigida hacia abajo (a menudo se aproxima 9,81 m/s²); tomando hacia arriba como positivo, a = −g. En el punto más alto de un lanzamiento vertical la velocidad es momentáneamente cero, pero la aceleración sigue siendo −g.

La lectura e interpretación de gráficas es una competencia explícita del currículo (criterio 3.3). En una gráfica x-t la pendiente es la velocidad instantánea; en una gráfica v-t la pendiente es la aceleración y el área encerrada con el eje de tiempos es el desplazamiento. Saber traducir entre la descripción verbal, las ecuaciones y las tres gráficas (x-t, v-t, a-t) es tan importante como el cálculo numérico.

Vocabulario

→ Tarjetas

MRUMovimiento rectilíneo uniforme: trayectoria recta y velocidad constante, con aceleración nula.
MRUAMovimiento rectilíneo uniformemente acelerado: trayectoria recta y aceleración constante.
Caída libreMRUA vertical con aceleración g ≈ 9,8 m/s² dirigida hacia abajo, despreciando el rozamiento con el aire.
Gráfica v-tRepresentación de la velocidad frente al tiempo; su pendiente es la aceleración y el área con el eje es el desplazamiento.
PendienteInclinación de una gráfica; en x-t da la velocidad instantánea y en v-t la aceleración.
Área bajo la curvaSuperficie entre la gráfica v-t y el eje de tiempos; equivale al desplazamiento, con signo según el semiplano.

Posición en el MRU

x = x_{0} + v \, t

La velocidad es constante; la gráfica x-t es una recta de pendiente v.

Velocidad en el MRUA

v = v_{0} + a \, t

La velocidad varía linealmente con el tiempo; la pendiente de la gráfica v-t es la aceleración a.

Posición en el MRUA

x = x_{0} + v_{0}\, t + \tfrac{1}{2}\, a\, t^{2}

Ley cuadrática del tiempo; la gráfica x-t es una parábola.

Ecuación sin el tiempo

v^{2} = v_{0}^{2} + 2\, a\, \Delta x

Relaciona velocidades, aceleración y desplazamiento sin necesidad de conocer el instante.

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Ejemplo resuelto

Frenada con deceleración constante (MRUA)

Un coche que circula a 72 km/h frena con una aceleración constante de módulo 4 m/s² hasta detenerse. Calcula el tiempo de frenado y la distancia recorrida durante la frenada.

Conversión de unidades
Pasamos la velocidad inicial a m/s dividiendo entre 3,6.
$v_0 = \dfrac{72\ \text{km/h}}{3{,}6} = 20\ \text{m/s}$
Criterio de signos
El coche frena, así que la aceleración se opone a la velocidad: a = -4 m/s². Se detiene cuando v = 0.
Tiempo de frenado
Despejamos t de la ecuación de la velocidad.
$0 = v_0 + a\,t \;\Rightarrow\; t = \dfrac{v_0}{|a|} = \dfrac{20}{4} = 5\ \text{s}$
Distancia de frenado
Usamos la ecuación sin tiempo con v = 0.
$\Delta x = \dfrac{v_0^{2}}{2|a|} = \dfrac{20^{2}}{2\cdot 4} = 50\ \text{m}$

Resultado: El coche tarda 5 s en detenerse y recorre 50 m durante la frenada.

Explicación paso a paso6 pasos

1
Las gráficas del movimiento se leen mal por una razón concreta: en cada una, la información importante está en un sitio distinto. Vamos a fijar dónde está en cada caso.
2
En la gráfica posición-tiempo, la ALTURA es la posición y la PENDIENTE es la velocidad. Una recta horizontal significa que el móvil está parado, no que vaya despacio; una pendiente negativa significa que retrocede.
3
Y aquí está la primera trampa: el área bajo una gráfica x-t no significa nada. Metros por segundo no es una magnitud del problema. Solo la pendiente tiene sentido físico en esta gráfica.
4
En la gráfica velocidad-tiempo cambian las dos cosas a la vez. La ALTURA es la velocidad, la PENDIENTE es la aceleración, y ahora el ÁREA sí tiene significado: es el desplazamiento.
Las dos lecturas de una gráfica v-t
$\text{pendiente de } v\text{-}t = a \qquad\qquad \text{área bajo } v\text{-}t = \Delta x$
La pendiente se mide en (m/s)/s = m/s²; el área, en (m/s)·s = m. Las unidades son la comprobación de que la lectura es la correcta.
5
El área lleva signo. Un tramo por debajo del eje de tiempos es velocidad negativa, es decir, desplazamiento hacia atrás, y hay que restarlo. Ese es el motivo por el que un móvil puede acabar donde empezó con área total nula y espacio recorrido enorme.
6
Truco para no dudar nunca: mira las unidades de los dos ejes. Pendiente es dividir el eje vertical entre el horizontal; área es multiplicarlos. Si el resultado no es una magnitud que tenga sentido en el problema, esa lectura no es la que buscas.

Errores frecuentes

Asignar el mismo signo a la velocidad y a la aceleración en un problema de frenado: cuando un móvil frena, a y v tienen signos opuestos.
Creer que en el punto más alto de un tiro vertical la aceleración es cero porque la velocidad lo es; la aceleración sigue siendo g hacia abajo durante toda la trayectoria.
Confundir la pendiente con el valor de la magnitud en las gráficas (leer la altura de x-t como velocidad, o interpretar el área bajo x-t).
Igualar dos ecuaciones de posición escritas con orígenes o instantes iniciales distintos: en un problema de encuentro los dos móviles deben compartir origen, sentido positivo e instante t = 0.

Repaso activo

Un automóvil circula a 108 km/h cuando el conductor pisa el freno y aplica una deceleración constante de 6 m/s². Calcula: (a) el tiempo que tarda en detenerse, (b) la distancia de frenado, y (c) la velocidad que llevaría tras recorrer los primeros 50 m. Dibuja además la gráfica velocidad-tiempo del proceso.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Movimiento circular: magnitudes angulares y aceleración normal#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física y Química · saber básico D (Cinemática) — movimiento circular uniforme (MCU) y uniformemente acelerado (MCUA); magnitudes angulares y su relación con las lineales

Cuando la trayectoria es una circunferencia conviene describir el movimiento con magnitudes angulares: el ángulo girado o posición angular φ (en radianes), la velocidad angular ω = dφ/dt (rad/s) y la aceleración angular α = dω/dt (rad/s²). Estas magnitudes se relacionan con las lineales a través del radio r mediante s = r·φ, v = ω·r y a_t = α·r. En el movimiento circular uniforme (MCU) ω es constante (α = 0); en el uniformemente acelerado (MCUA) α es constante.

El MCU es periódico: el móvil pasa por el mismo punto cada cierto tiempo. El periodo T es el tiempo de una vuelta completa y la frecuencia f = 1/T es el número de vueltas por segundo (hercios, Hz). Como en una vuelta se barre un ángulo de 2π radianes, la velocidad angular vale ω = 2π/T = 2π·f. Las ecuaciones del MCU son φ = φ₀ + ω·t, y las del MCUA imitan a las del MRUA: ω = ω₀ + α·t y φ = φ₀ + ω₀·t + ½·α·t².

Aunque el MCU tenga rapidez constante, está acelerado: el vector velocidad cambia continuamente de dirección. Esa variación es la aceleración normal o centrípeta, a_n = v²/r = ω²·r, dirigida siempre hacia el centro de la circunferencia (de ahí «centrípeta»). En el MCU la aceleración tangencial es nula y la aceleración total es puramente normal. La Fig. 3 muestra los vectores velocidad (tangente) y aceleración normal (hacia el centro) en distintos puntos de la trayectoria.

Vectores velocidad y aceleración normal en el MCU

Fig. 3 ↓

En el caso general del movimiento curvilíneo, la aceleración total se descompone en sus dos componentes perpendiculares: la tangencial a_t = dv/dt, que mide el cambio de rapidez y es tangente a la trayectoria, y la normal a_n = v²/r, que mide el cambio de dirección y apunta al centro de curvatura. El módulo de la aceleración total se obtiene por el teorema de Pitágoras, a = √(a_t² + a_n²). En el MCU a_t = 0 (solo a_n); en el MCUA coexisten ambas.

Cuidado con las unidades de los ángulos: las relaciones s = r·φ, v = ω·r y a_t = α·r solo son válidas con el ángulo en radianes (1 vuelta = 2π rad = 360°). Una revolución por minuto (rpm) frecuente en motores y ruedas debe convertirse a rad/s multiplicando por 2π y dividiendo por 60 antes de usarla en las fórmulas.

Vocabulario

→ Tarjetas

Velocidad angularÁngulo barrido por unidad de tiempo, ω = dφ/dt, en rad/s; se relaciona con la lineal por v = ω·r.
Aceleración angularVariación de la velocidad angular con el tiempo, α = dω/dt, en rad/s²; se relaciona con la tangencial por a_t = α·r.
PeriodoTiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa; se mide en segundos.
FrecuenciaNúmero de vueltas por segundo, f = 1/T; se mide en hercios.
Aceleración centrípetaAceleración normal del movimiento circular, a_n = v²/r = ω²·r, siempre dirigida al centro de la circunferencia.
RadiánUnidad angular del SI; una vuelta completa son 2π rad. Las relaciones v = ω·r y s = r·φ solo valen en radianes.

Velocidad angular y su relación con la lineal

\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f \qquad v = \omega\, r

La velocidad angular se obtiene del periodo o la frecuencia; v = ω·r liga la magnitud angular con la lineal (ω en rad/s).

Aceleración normal (centrípeta)

a_{n} = \dfrac{v^{2}}{r} = \omega^{2}\, r

Dirigida hacia el centro; responsable del cambio de dirección de la velocidad en el movimiento circular.

Módulo de la aceleración total

a = \sqrt{a_{t}^{2} + a_{n}^{2}}

Combinación pitagórica de las componentes tangencial y normal, que son perpendiculares entre sí.

Ecuaciones del MCUA

\omega = \omega_{0} + \alpha\, t \qquad \varphi = \varphi_{0} + \omega_{0}\, t + \tfrac{1}{2}\,\alpha\, t^{2}

Análogas a las del MRUA, sustituyendo las magnitudes lineales por las angulares.

Ejemplo resuelto

MCU de un disco: magnitudes angulares y lineales

Un punto del borde de un disco de 2,0 m de radio describe un MCU con velocidad lineal de 10 m/s. Determina la velocidad angular, el periodo, la aceleración normal y justifica si existe aceleración tangencial.

Velocidad angular
Despejamos ω de la relación v = ω·r.
$\omega = \dfrac{v}{r} = \dfrac{10}{2{,}0} = 5\ \text{rad/s}$
Periodo
El periodo es el tiempo de una vuelta completa, 2π radianes.
$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{5} \approx 1{,}26\ \text{s}$
Aceleración normal
Usamos a_n = v²/r (equivalente a ω²·r).
$a_n = \dfrac{v^{2}}{r} = \dfrac{10^{2}}{2{,}0} = 50\ \text{m/s}^{2}$
Aceleración tangencial
El MCU tiene rapidez constante, luego no cambia el módulo de la velocidad.

Resultado: ω = 5 rad/s, T ≈ 1,26 s, a_n = 50 m/s². La aceleración tangencial es nula: por ser uniforme, el disco solo posee aceleración centrípeta (cambia la dirección de v, no su módulo).

Errores frecuentes

Afirmar que el MCU no tiene aceleración porque la rapidez es constante, olvidando la aceleración normal que cambia la dirección de la velocidad.
Usar grados en lugar de radianes en s = r·φ, v = ω·r o a_t = α·r, lo que invalida la conversión entre magnitudes angulares y lineales.
Confundir la aceleración tangencial (cambia el módulo de v) con la normal (cambia la dirección de v) o sumar sus módulos directamente en vez de combinarlos con el teorema de Pitágoras.
Tomar la aceleración normal como constante en un movimiento circular acelerado: a_n = v²/r crece con la rapidez, de modo que cambia en cada instante aunque el radio sea fijo.

Repaso activo

Una rueda de bicicleta de 0,35 m de radio gira a 120 rpm de forma uniforme. Calcula: (a) la velocidad angular en rad/s, (b) el periodo y la frecuencia, (c) la velocidad lineal de un punto del borde y (d) su aceleración normal. ¿Tiene este punto aceleración tangencial? Justifica.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Movimientos compuestos: tiro horizontal y parabólico#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física y Química · saber básico D (Cinemática) — movimientos compuestos: composición de movimientos, tiro horizontal y tiro parabólico

Muchos movimientos cotidianos resultan de la superposición de dos movimientos más simples que ocurren a la vez e independientemente uno del otro. Esta idea, el principio de independencia de los movimientos, fue establecida por Galileo: en un lanzamiento, el movimiento horizontal y el vertical no se estorban; cada uno transcurre como si el otro no existiera, y el tiempo es la variable que los une. Descomponiendo el movimiento en los ejes x e y se resuelven por separado y luego se combinan los resultados.

El tiro horizontal es la composición de un MRU horizontal (velocidad constante v₀, sin aceleración en x) y una caída libre vertical (MRUA con a = −g, partiendo de velocidad vertical nula). Sus ecuaciones son x = v₀·t en horizontal e y = h − ½·g·t² en vertical. El tiempo de vuelo solo depende de la altura, t_vuelo = √(2h/g), igual que el de un cuerpo que se dejara caer desde el reposo: por eso una bala disparada horizontalmente y otra soltada desde la misma altura tocan el suelo a la vez. El alcance horizontal es x_max = v₀·√(2h/g).

El tiro parabólico (o tiro oblicuo) es la composición de un MRU horizontal y un lanzamiento vertical (MRUA con a = −g) cuando la velocidad inicial forma un ángulo θ con la horizontal. Se descompone la velocidad inicial: v₀ₓ = v₀·cos θ (constante) y v₀ᵧ = v₀·sin θ (decrece, se anula en el punto más alto y luego crece hacia abajo). La trayectoria resultante es una parábola, como muestra la Fig. 4.

Descomposición de velocidades en el tiro parabólico

Fig. 4 ↓

Las magnitudes características del tiro parabólico desde el suelo se obtienen combinando ambos ejes: la altura máxima H = (v₀·sin θ)² / (2g) se alcanza cuando v_y = 0; el tiempo de vuelo total t_v = 2·v₀·sin θ / g; y el alcance horizontal R = v₀²·sin(2θ) / g. De esta última expresión se deduce que, para una rapidez inicial dada, el alcance es máximo cuando θ = 45° (entonces sin 2θ = 1), y que dos ángulos complementarios (por ejemplo 30° y 60°) producen el mismo alcance.

En todo momento la velocidad es tangente a la parábola y se obtiene componiendo v_x (constante) con v_y (variable): v = √(v_x² + v_y²). La aceleración es siempre la de la gravedad, vertical y hacia abajo, durante todo el vuelo. Conviene recordar que estas fórmulas desprecian el rozamiento con el aire, una idealización razonable para los problemas de la PAU pero no para proyectiles reales rápidos.

Vocabulario

→ Tarjetas

Principio de independenciaIdea de Galileo: los movimientos horizontal y vertical transcurren sin estorbarse, unidos solo por la variable tiempo.
Tiro horizontalComposición de un MRU horizontal y una caída libre; su tiempo de vuelo depende únicamente de la altura de partida.
Tiro parabólicoComposición de un MRU horizontal y un lanzamiento vertical; la trayectoria resultante es una parábola.
AlcanceDistancia horizontal recorrida hasta volver a la altura de partida: R = v₀²·sen(2θ)/g.
Altura máximaAltura del punto más alto, alcanzada cuando la componente vertical de la velocidad se anula.
Tiempo de vueloDuración total del lanzamiento; en un tiro desde el suelo vale 2·v₀·senθ/g.

Componentes de la velocidad inicial

v_{0x} = v_{0}\cos\theta \qquad v_{0y} = v_{0}\sin\theta

La velocidad inicial del tiro parabólico se descompone en una componente horizontal constante y una vertical que varía.

Ecuaciones de movimiento

x = v_{0x}\, t \qquad y = y_{0} + v_{0y}\, t - \tfrac{1}{2} g\, t^{2}

Horizontal: MRU. Vertical: MRUA con aceleración -g. El tiempo enlaza ambos ejes.

Altura máxima y alcance (lanzamiento desde el suelo)

H = \dfrac{(v_{0}\sin\theta)^{2}}{2g} \qquad R = \dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}

La altura máxima se da cuando v_y = 0; el alcance es máximo para theta = 45 grados.

Tiempo de vuelo del tiro horizontal

t_{vuelo} = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} \quad (\text{tiro horizontal})

Solo depende de la altura de caída, no de la velocidad horizontal inicial.

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Ejemplo resuelto

Tiro parabólico desde el suelo

Se lanza un balón desde el suelo con una rapidez de 20 m/s formando un ángulo de 30° con la horizontal. Tomando g = 10 m/s², calcula la altura máxima, el tiempo de vuelo y el alcance horizontal.

Componentes de la velocidad inicial
Descomponemos con sin 30° = 0,5 y cos 30° ≈ 0,866.
$v_{0x} = 20\cos 30^\circ \approx 17{,}3\ \text{m/s};\quad v_{0y} = 20\sin 30^\circ = 10\ \text{m/s}$
Altura máxima
Se alcanza cuando la componente vertical se anula.
$H = \dfrac{v_{0y}^{2}}{2g} = \dfrac{10^{2}}{2\cdot 10} = 5\ \text{m}$
Tiempo de vuelo
Subida y bajada simétricas: el doble del tiempo de subida.
$t_v = \dfrac{2\,v_{0y}}{g} = \dfrac{2\cdot 10}{10} = 2\ \text{s}$
Alcance horizontal
Distancia horizontal recorrida en el tiempo de vuelo (MRU en x).
$R = v_{0x}\,t_v = 17{,}3\cdot 2 \approx 34{,}6\ \text{m}$

Resultado: Altura máxima H = 5 m; tiempo de vuelo t_v = 2 s; alcance R ≈ 34,6 m. (Equivale a R = v₀²·sin 60° / g = 400·0,866/10 ≈ 34,6 m.)

Errores frecuentes

Aplicar aceleración al eje horizontal: en el tiro horizontal y parabólico el movimiento en x es un MRU (a_x = 0); la gravedad solo actúa en el eje vertical.
Olvidar descomponer la velocidad inicial en sus componentes v₀·cos θ y v₀·sin θ, o intercambiar el seno con el coseno.
Pensar que en el punto más alto la velocidad es totalmente nula: solo se anula la componente vertical v_y; la componente horizontal v_x se mantiene constante durante todo el vuelo.
Evaluar cos θ y sen θ con la calculadora en radianes cuando el ángulo viene en grados: es el error que más tiros parabólicos arruina, y se detecta porque el alcance sale absurdamente pequeño.

Repaso activo

Desde lo alto de un acantilado de 45 m de altura se lanza horizontalmente una piedra con una rapidez de 12 m/s (toma g = 10 m/s²). Calcula: (a) el tiempo que tarda en llegar al mar, (b) la distancia horizontal a la que cae respecto a la base del acantilado, y (c) el módulo de la velocidad con que impacta en el agua.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

Planificar un repaso

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Cinemática

4 secciones~23 min de lectura4 competenciasRevisado · 07/2026

Cinemática

Puntos clave

Espacio, desplazamiento y velocidades medias

Puntos clave

Frenada con deceleración constante (MRUA)

Puntos clave

MCU de un disco: magnitudes angulares y lineales

Puntos clave

Tiro parabólico desde el suelo

Fuentes

Cinemática

Puntos clave

Espacio, desplazamiento y velocidades medias

Puntos clave

Frenada con deceleración constante (MRUA)

Puntos clave

MCU de un disco: magnitudes angulares y lineales

Puntos clave

Tiro parabólico desde el suelo

Fuentes