ES · Selectividad

Distribuciones de probabilidad

Este tema cierra el bloque de Sentido estocástico de 2.º de Bachillerato: pasamos de la probabilidad de sucesos a las variables aleatorias, que asignan un número a cada resultado de un experimento. Estudiamos dos modelos fundamentales —la distribución binomial B(n, p) para conteos de éxitos en pruebas repetidas y la distribución normal N(μ, σ) para magnitudes continuas— junto con la tipificación, el manejo de la tabla de la N(0,1) y la aproximación de la binomial por la normal. Es uno de los apartados de mayor rendimiento en la Selectividad/PAU, porque sus ejercicios son sistemáticos y enlazan directamente con la inferencia estadística.

5 secciones~30 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

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Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales mediante las distribuciones binomial y normal, eligiendo el modelo adecuado y calculando probabilidades, media y desviación típica.CE3 · Formular y comprobar conjeturas sencillas utilizando el razonamiento y herramientas adecuadas (tabla de la N(0,1), calculadora), por ejemplo al decidir si un modelo binomial admite la aproximación normal.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento, reconociendo los modelos probabilísticos en demografía, control de calidad, encuestas y ciencias sociales.

Operadores:calculainterpretajustificarazonamodelizarelacionatipificaaproxima

nivel básico

Las distribuciones de probabilidad son contenido propio de la materia de modalidad Matemáticas Aplicadas a las CCSS II; no figuran en las materias comunes del Bachillerato.

nivel avanzado

Como profundización de modalidad, domina la lectura bidireccional de la tabla N(0,1) (de la probabilidad al valor crítico) y la corrección por continuidad, que son la base directa de los intervalos de confianza del tema de inferencia.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Distribuciones de probabilidad

5 secciones20 puntos clave18 fórmulas20 errores típicos

Variables aleatorias discretas y continuas: media y desviación típica#

~6 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, D. Sentido estocástico — 2. Distribuciones de probabilidad: «Variables aleatorias discretas y continuas. Parámetros de la distribución. Distribuciones binomial y normal.»

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado del espacio muestral de un experimento aleatorio. Por ejemplo, al lanzar tres monedas el resultado «cara, cruz, cara» es un suceso, pero «número de caras» (que vale 2 en ese resultado) es una variable aleatoria. Las variables aleatorias permiten tratar numéricamente la incertidumbre y son el puente entre la probabilidad de sucesos —que vimos en el tema anterior— y los modelos de distribución que estudiaremos aquí. Se suelen denotar con mayúsculas (X, Y) y sus valores concretos con minúsculas (x).

Distinguimos dos tipos. Una variable aleatoria es discreta cuando solo puede tomar valores aislados, normalmente un conjunto finito o numerable (0, 1, 2, …): el número de hijos de una familia, el número de respuestas acertadas en un test, el número de piezas defectuosas en un lote. Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor de un intervalo de la recta real: la estatura de una persona, el tiempo de espera en una cola, el peso de un producto. La diferencia es esencial porque el aparato matemático que las describe es distinto, como muestra la Fig. 1.

Variable discreta (barras) frente a variable continua (densidad)

Fig. 1 ↓

Una variable discreta se describe mediante su función de probabilidad (o función de masa), que a cada valor posible xᵢ le asigna su probabilidad pᵢ = P(X = xᵢ). Esta función cumple dos condiciones que actúan como control de coherencia: cada probabilidad está entre 0 y 1, y la suma de todas ellas es exactamente 1. Su representación habitual es un diagrama de barras. Una variable continua, en cambio, se describe mediante una función de densidad f(x): la probabilidad ya no se lee en un punto (P(X = a) = 0 para cualquier valor a concreto), sino como el área bajo la curva entre dos valores, de modo que P(a ≤ X ≤ b) es el área encerrada entre x = a y x = b. El área total bajo la curva de densidad vale 1.

Para resumir una variable usamos dos parámetros. La media o esperanza matemática μ = E[X] es el valor medio que cabe esperar a largo plazo; en el caso discreto se calcula como μ = Σ xᵢ·pᵢ, es decir, cada valor ponderado por su probabilidad. La varianza σ² = Σ (xᵢ − μ)²·pᵢ (que también puede obtenerse con la fórmula abreviada σ² = Σ xᵢ²·pᵢ − μ²) mide la dispersión, y la desviación típica σ = √(σ²) la expresa en las mismas unidades que la variable. La media indica «en torno a qué valor» se concentran los datos y la desviación típica «cuánto se separan» de ese centro: ambos parámetros reaparecen, ya con fórmulas cerradas, en la binomial y en la normal.

Vocabulario

→ Tarjetas

Variable aleatoriaFunción que asigna un número al resultado de un experimento aleatorio.
Variable discretaToma valores aislados que se pueden contar (número de aprobados, de caras).
Variable continuaToma cualquier valor de un intervalo (tiempo, peso); solo se pregunta por intervalos.
Función de probabilidadTabla o fórmula que asigna a cada valor su probabilidad; todas suman 1.
Esperanza (media)Suma de cada valor por su probabilidad; el promedio a largo plazo.
Desviación típicaMedida de dispersión de la variable en torno a su media.

Condiciones de una función de probabilidad (caso discreto)

\sum_{i} p_i = 1, \qquad 0 \le p_i \le 1

Las probabilidades de todos los valores posibles deben sumar 1 y cada una estar entre 0 y 1.

Media o esperanza (caso discreto)

\mu = E[X] = \sum_{i} x_i \, p_i

Cada valor de la variable se pondera por su probabilidad y se suma todo.

Varianza y desviación típica (fórmula abreviada)

\sigma^2 = \sum_{i} x_i^2 \, p_i - \mu^2, \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}

La varianza mide la dispersión; la desviación típica es su raíz cuadrada y se expresa en las unidades de la variable.

Probabilidad como área bajo la densidad (caso continuo)

P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx, \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1

En una variable continua la probabilidad es el área bajo la función de densidad; el área total vale 1.

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Ejemplo resuelto

Función de probabilidad, media y desviación típica de una variable discreta

El número de averías diarias X de una máquina sigue la distribución: P(X=0)=0,5; P(X=1)=0,3; P(X=2)=0,15; P(X=3)=0,05. (a) Comprueba que es una función de probabilidad. (b) Calcula la media y la desviación típica del número de averías diarias.

Comprobar la condición de la suma
Sumamos todas las probabilidades; deben dar 1.
Calcular la media
Ponderamos cada valor por su probabilidad.
Calcular Σ xᵢ²·pᵢ
Necesario para la varianza por la fórmula abreviada.
Calcular la varianza y la desviación típica
Restamos μ² y extraemos la raíz cuadrada.

Resultado: Es una función de probabilidad válida (suma 1). La media es μ = 0,75 averías diarias y la desviación típica σ ≈ 0,89 averías.

Errores frecuentes

Confundir la función de densidad con una probabilidad: en una variable continua, f(a) NO es P(X = a); la probabilidad es siempre el área (P(X = a) = 0 para un punto aislado).
Olvidar restar μ² al calcular la varianza con la fórmula abreviada σ² = Σ xᵢ²·pᵢ − μ², o tomar la varianza como desviación típica sin extraer la raíz cuadrada.
Confundir el valor de la variable con su probabilidad al calcular la media. La esperanza multiplica cada VALOR por su probabilidad y suma; no es la media aritmética de los valores.
Tratar como discreta una variable que es continua (tiempos, pesos, alturas). En una variable continua la probabilidad de un valor exacto es cero y solo tienen sentido los intervalos.

Repaso activo

Una variable aleatoria discreta X tiene la siguiente distribución de probabilidad: P(X = 0) = 0,1; P(X = 1) = 0,3; P(X = 2) = k; P(X = 3) = 0,2. (a) Determina el valor de k. (b) Calcula la media μ y la desviación típica σ de X.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

La distribución binomial: cálculo de probabilidades y parámetros#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, D. Sentido estocástico — 2. Distribuciones de probabilidad: «Variables aleatorias discretas y continuas. Parámetros de la distribución. Distribuciones binomial y normal.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, D. Sentido estocástico — 2. Distribuciones de probabilidad: «Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal. Cálculo de probabilidades asociadas mediante herramientas tecnológicas.»

La distribución binomial es el primer modelo discreto que estudiamos en profundidad y aparece siempre que repetimos un mismo experimento un número fijo de veces contando cuántas veces ocurre un determinado resultado. Una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, que escribimos X ~ B(n, p), cuando se cumplen cuatro condiciones: realizamos un número fijo n de pruebas; cada prueba tiene solo dos resultados, «éxito» y «fracaso»; la probabilidad de éxito p es constante en todas las pruebas; y las pruebas son independientes entre sí. La variable X cuenta el número de éxitos y puede valer 0, 1, 2, …, n. Llamamos q = 1 − p a la probabilidad de fracaso.

La función de probabilidad de la binomial se obtiene de la fórmula P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·q^(n−k). El número combinatorio C(n, k) = n!/[k!·(n−k)!] cuenta de cuántas maneras pueden colocarse los k éxitos entre las n pruebas; pᵏ es la probabilidad de esos k éxitos y q^(n−k) la de los restantes fracasos. Por ejemplo, en B(10; 0,3) la probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos es C(10,2)·0,3²·0,7⁸ = 45·0,09·0,0576 ≈ 0,2335. La Fig. 2 muestra cómo varía la forma del diagrama de barras según el valor de p: simétrico cuando p = 0,5 y asimétrico cuando p se aleja de 0,5.

Diagrama de barras de la binomial para distintos valores de p (n = 10)

Fig. 2 ↓

Los parámetros de la binomial tienen fórmulas cerradas muy sencillas, lo que la hace muy cómoda en los exámenes. La media o número esperado de éxitos es μ = n·p; la varianza es σ² = n·p·q; y la desviación típica es σ = √(n·p·q). Así, en B(10; 0,3) cabe esperar μ = 10·0,3 = 3 éxitos, con desviación típica σ = √(10·0,3·0,7) = √2,1 ≈ 1,449. Conviene memorizar que la media «n por p» es el resultado más probable o muy próximo a él.

En la práctica de Selectividad, el reto suele estar en traducir correctamente el enunciado: identificar la prueba elemental, qué se considera «éxito», el valor de n y el de p, y después reconocer qué probabilidad piden. «Exactamente k» es un único término P(X = k); «como mucho k» (o «a lo sumo») es una suma acumulada P(X ≤ k) = P(X = 0) + … + P(X = k); «al menos k» (o «como mínimo») conviene calcularla por el complementario P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1), que ahorra sumar muchos términos. Reescribir el suceso pedido con estas equivalencias antes de operar evita la mayor parte de los errores.

Vocabulario

→ Tarjetas

Distribución binomialModelo B(n, p) para el número de éxitos en n pruebas independientes con la misma probabilidad p.
ÉxitoEl resultado que se cuenta; se elige al plantear el problema y fija el valor de p.
Parámetro nNúmero de pruebas o repeticiones del experimento.
Parámetro pProbabilidad de éxito en una sola prueba; se mantiene constante.
Probabilidad acumuladaP(X ≤ k): la que dan directamente las tablas de la binomial.

Función de probabilidad de la binomial B(n, p)

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{\,n-k}, \qquad q = 1 - p

Probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n pruebas independientes con probabilidad de éxito p.

Número combinatorio

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Cuenta de cuántas maneras pueden situarse los k éxitos entre las n pruebas.

Media y desviación típica de la binomial

\mu = n p, \qquad \sigma = \sqrt{n p q}

El número esperado de éxitos es np y la dispersión típica es la raíz de npq.

«Al menos un éxito» por el complementario

P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - q^{\,n}

Suele ser mucho más rápido calcular el complementario que sumar todos los casos.

Ejemplo resuelto

Probabilidades en una binomial: control de calidad

En una cadena de producción, el 10 % de las piezas son defectuosas. Se extrae al azar una muestra de 10 piezas. Sea X el número de piezas defectuosas en la muestra. (a) Indica la distribución de X, su media y su desviación típica. (b) Calcula la probabilidad de que haya exactamente 2 piezas defectuosas. (c) Calcula la probabilidad de que haya al menos una pieza defectuosa.

Identificar el modelo
10 pruebas independientes, dos resultados (defectuosa / correcta), p constante = 0,1. Por tanto X ~ B(10; 0,1).
Media y desviación típica
Aplicamos μ = np y σ = √(npq).
Exactamente 2 defectuosas
Aplicamos la fórmula con k = 2.
Al menos una defectuosa (complementario)
Usamos P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0).

Resultado: X ~ B(10; 0,1), con μ = 1 pieza defectuosa esperada y σ ≈ 0,95. La probabilidad de exactamente 2 defectuosas es ≈ 0,1937 (19,37 %) y la de al menos una defectuosa es ≈ 0,6513 (65,13 %).

Errores frecuentes

Calcular «al menos uno» como P(X = 1) en lugar de P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0); el complementario es casi siempre la vía rápida y correcta.
Confundir la desviación típica con la varianza usando σ = npq en lugar de σ = √(npq), u olvidar elevar p y q a los exponentes k y n−k respectivamente.
Calcular P(X ≥ 3) como 1 − P(X ≤ 3). Al ser la variable discreta hay que ajustar el corte: P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2), porque el propio 3 pertenece al suceso que se busca.
Usar la binomial cuando las extracciones son sin reemplazamiento en una población pequeña. Al no devolver, p cambia en cada prueba y deja de cumplirse la condición de probabilidad constante.

Repaso activo

En un test de 8 preguntas tipo test, cada una con 4 opciones y una sola correcta, un estudiante responde todas al azar. Sea X el número de aciertos. (a) Justifica que X ~ B(8; 0,25) e indica su media y desviación típica. (b) Calcula la probabilidad de acertar exactamente 3 preguntas. (c) Calcula la probabilidad de acertar al menos una pregunta.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

La distribución normal: características y tipificación#

La distribución normal es el modelo continuo más importante de la estadística porque describe innumerables magnitudes de las ciencias sociales y naturales: estaturas, pesos, puntuaciones de tests, errores de medida o promedios muestrales. Decimos que una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y escribimos X ~ N(μ, σ), cuando su función de densidad es la célebre campana de Gauss representada en la Fig. 3. Esta curva queda completamente determinada por sus dos parámetros: μ fija dónde está el centro y σ fija cuán ancha y achatada es la campana.

Campana de Gauss N(μ, σ): simetría, σ y la tipificación X → Z

Fig. 3 ↓

La curva normal tiene rasgos característicos que conviene reconocer de un vistazo. Es simétrica respecto de la recta vertical x = μ, de modo que la media coincide con la mediana y con la moda. Tiene forma acampanada, con un único máximo en x = μ, y se acerca al eje horizontal sin tocarlo en ambos extremos (el eje OX es una asíntota horizontal). El área total bajo la curva vale 1, por lo que las áreas representan probabilidades. Además, cuanto mayor es σ, más se aplasta y ensancha la campana, manteniendo siempre el área total igual a 1.

Existe una distribución normal de referencia: la normal estándar N(0, 1), de media 0 y desviación típica 1, cuya variable se denota habitualmente con la letra Z. Su importancia radica en que sus probabilidades están tabuladas (la tabla de la N(0,1)). Para aprovechar esa tabla con cualquier normal N(μ, σ) recurrimos a la tipificación, que transforma la variable X en la variable estándar Z mediante el cambio Z = (X − μ)/σ. Tipificar significa, intuitivamente, medir la distancia de un valor a la media usando como unidad la desviación típica: un valor tipificado de 1,5 está «a una desviación típica y media por encima de la media». La Fig. 3 ilustra cómo el valor original x se transforma en el valor tipificado z.

La tipificación cumple una propiedad fundamental: las probabilidades se conservan. Es decir, P(X ≤ x) = P(Z ≤ (x − μ)/σ), de manera que cualquier cálculo de probabilidades con una N(μ, σ) cualquiera se reduce a un cálculo con la N(0, 1). Como referencia muy usada en ciencias sociales —y para detectar resultados disparatados— conviene recordar la «regla 68-95-99,7»: en una distribución normal, aproximadamente el 68 % de los datos cae en el intervalo [μ − σ, μ + σ], el 95 % en [μ − 2σ, μ + 2σ] y el 99,7 % en [μ − 3σ, μ + 3σ].

Vocabulario

→ Tarjetas

Distribución normalModelo continuo N(μ, σ) con forma de campana simétrica respecto de la media.
TipificarTransformar X en Z = (x − μ)/σ para poder usar la tabla estándar.
Distribución normal estándarLa N(0, 1), de media 0 y desviación típica 1; es la que está tabulada.
Puntuación zNúmero de desviaciones típicas a las que un valor está de la media.
Simetría de la campanaPropiedad que permite obtener las probabilidades de z negativo a partir de las de z positivo.

Tipificación de una variable normal

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,\ 1)

Transforma cualquier normal N(μ, σ) en la normal estándar N(0,1), que está tabulada.

La tipificación conserva las probabilidades

P(X \le x) = P\!\left(Z \le \frac{x - \mu}{\sigma}\right)

El cálculo con cualquier N(μ, σ) se reduce a un cálculo con la N(0,1).

Regla empírica 68-95-99,7 (primer tramo)

P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0.68

Cerca del 68 % de los datos cae a menos de una desviación típica de la media; el 95 % a menos de 2σ y el 99,7 % a menos de 3σ.

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Ejemplo resuelto

Tipificación e interpretación con una normal

La estatura de los chicos de cierta población se distribuye según una N(175, 8) (en cm). (a) Tipifica las estaturas 183 cm y 167 cm. (b) Interpreta los valores tipificados. (c) ¿Entre qué dos estaturas se encuentra aproximadamente el 68 % central de los chicos?

Tipificar 183 cm
Aplicamos Z = (X − μ)/σ con μ = 175 y σ = 8.
Tipificar 167 cm
Mismo cambio para el segundo valor.
Interpretar
El valor tipificado mide la distancia a la media en desviaciones típicas.
Aplicar la regla del 68 %
El 68 % central cae en [μ − σ, μ + σ].

Resultado: 183 cm corresponde a z = 1 (una desviación típica por encima de la media) y 167 cm a z = −1 (una por debajo). El 68 % central de los chicos mide aproximadamente entre 167 cm y 183 cm.

Explicación paso a paso8 pasos

1
Solo hay una tabla de la normal, y sin embargo las normales son infinitas: una por cada media y cada desviación típica. Tipificar es el truco que permite que una sola tabla sirva para todas.
2
La idea es traducir tu valor a un idioma común. En vez de preguntar « cuánto mide », preguntas « a cuántas desviaciones típicas de la media está ». Esa medida relativa es la puntuación z.
La tipificación
$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$
Primero se resta la media, que traslada la campana hasta centrarla en cero. Después se divide entre σ, que la reescala hasta que su desviación típica valga 1. El orden importa.
3
Un ejemplo. Las notas siguen una normal de media 6 y desviación típica 1,5, y quieres saber qué proporción supera el 7,5.
4
Tipificas: 7,5 menos 6 es 1,5, y dividido entre 1,5 da 1. Ese estudiante está exactamente a una desviación típica por encima de la media.
5
Ahora vas a la tabla con z = 1 y lees 0,8413. Pero cuidado con lo que ese número significa: la tabla da SIEMPRE el área a la izquierda.
La tabla acumula por la izquierda
$P(Z \le 1) = 0{,}8413 \;\Longrightarrow\; P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$
La pregunta era cuántos SUPERAN el 7,5, así que hay que restar de 1. Aproximadamente el 15,9 % de los estudiantes está por encima.
6
Si el z te sale negativo, no busques en la tabla: no hay valores negativos. Usa la simetría de la campana, que refleja el problema al lado positivo.
Simetría
$P(Z \le -a) = P(Z \ge a) = 1 - P(Z \le a)$
El área a la izquierda de −a es igual a la de la derecha de a, porque la campana es simétrica respecto de cero.
7
Y para un intervalo, tipifica los dos extremos y resta las acumuladas, siempre la de arriba menos la de abajo.
8
Un consejo que evita casi todos los errores: dibuja la campana y sombrea lo que te piden ANTES de tocar la tabla. Con el dibujo delante es imposible restar al revés.

Errores frecuentes

Equivocar el signo o el orden en la tipificación, escribiendo Z = (μ − X)/σ en lugar de Z = (X − μ)/σ.
Dividir por la varianza σ² en vez de por la desviación típica σ al tipificar, o confundir los parámetros pensando que N(μ, σ) lleva la varianza como segundo dato.
Restar y dividir en el orden equivocado al tipificar: primero se resta la media y DESPUÉS se divide entre la desviación típica, nunca al revés.
Buscar en la tabla un valor negativo de z. La tabla estándar solo recoge valores positivos; los negativos se resuelven por simetría, no leyendo la fila más parecida.

Repaso activo

Las puntuaciones de un test de aptitud se distribuyen según una N(100, 15). (a) Tipifica las puntuaciones 130 y 85. (b) Interpreta, en términos de desviaciones típicas respecto de la media, qué significan los valores tipificados obtenidos. (c) Usando la regla 68-95-99,7, indica entre qué dos puntuaciones se encuentra aproximadamente el 95 % central de las personas.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Cálculo de probabilidades con la tabla de la N(0,1)#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, D. Sentido estocástico — 2. Distribuciones de probabilidad: «Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal. Cálculo de probabilidades asociadas mediante herramientas tecnológicas.»

Una vez que sabemos tipificar, el corazón del tema es calcular probabilidades de la normal usando la tabla de la N(0,1). La tabla habitual proporciona la función de distribución acumulada Φ(z) = P(Z ≤ z), es decir, el área bajo la campana estándar a la izquierda del valor z, tal como se muestra sombreado en la Fig. 4. Por ejemplo, en la tabla se lee Φ(1) = P(Z ≤ 1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332 y Φ(2) = 0,9772. La estrategia general consta de tres pasos: dibujar la campana y sombrear el área pedida, tipificar los valores con Z = (X − μ)/σ, y traducir el área a valores de Φ leídos en la tabla.

Lectura de la tabla N(0,1): Φ(z) es el área acumulada a la izquierda

Fig. 4 ↓

Como la tabla solo da áreas a la izquierda y, en su versión más común, solo para valores de z positivos, necesitamos cuatro reglas de manejo basadas en la simetría y en que el área total vale 1. Primera, área a la derecha: P(Z > z) = 1 − Φ(z). Segunda, área entre dos valores: P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a). Tercera, valores negativos por simetría: P(Z ≤ −z) = 1 − Φ(z), porque la campana es simétrica respecto de 0. Cuarta, intervalo simétrico: P(−z ≤ Z ≤ z) = 2·Φ(z) − 1. Dominar estas cuatro transformaciones es lo que diferencia un ejercicio bien resuelto de uno con el área equivocada.

Conviene tener presente que, al ser la variable continua, los signos «≤» y «<» son intercambiables: P(Z ≤ z) = P(Z < z), porque la probabilidad de un punto aislado es 0. Esto simplifica los enunciados y evita dudas sobre si un extremo se incluye o no. También es útil recordar que, por simetría, P(Z ≤ 0) = 0,5: la media deja exactamente la mitad del área a cada lado, lo que sirve como comprobación rápida de coherencia (cualquier probabilidad por encima de la media debe quedar entre 0 y 0,5 a un lado, etc.).

También aparece el problema inverso: dada una probabilidad, hallar el valor z (o el valor original x) que la deja a su izquierda; es la lectura «de dentro hacia los bordes» de la tabla. Buscamos en el cuerpo de la tabla la probabilidad más próxima y leemos el z correspondiente. Por ejemplo, para encontrar el valor z tal que P(Z ≤ z) = 0,975 localizamos 0,975 y obtenemos z = 1,96. Una vez hallado z, se deshace la tipificación con x = μ + σ·z para volver a la variable original. Este cálculo inverso es exactamente el que se usará en el tema de inferencia para obtener los valores críticos de los intervalos de confianza, así que merece la pena dominarlo aquí.

Vocabulario

→ Tarjetas

Probabilidad acumuladaP(Z ≤ z): el área a la izquierda de z bajo la campana; es lo que da la tabla.
Probabilidad de un intervaloP(a ≤ X ≤ b), que se obtiene restando las dos acumuladas tipificadas.
Problema inversoDado un área, hallar el valor de la variable que la delimita.
Valor críticoEl z que deja a su derecha una probabilidad fijada de antemano.
Área bajo la campanaRepresentación gráfica de la probabilidad; el área total vale 1.

Lectura directa de la tabla N(0,1)

\Phi(z) = P(Z \le z)

La tabla da el área acumulada a la izquierda de z bajo la campana estándar.

Área a la derecha y simetría

P(Z > z) = 1 - \Phi(z), \qquad P(Z \le -z) = 1 - \Phi(z)

El complementario da el área a la derecha; la simetría respecto de 0 traslada los valores negativos a positivos.

Área entre dos valores

P(a \le Z \le b) = \Phi(b) - \Phi(a)

Se resta el área acumulada en el extremo inferior de la del extremo superior.

Deshacer la tipificación (problema inverso)

x = \mu + \sigma \cdot z

Tras hallar z en la tabla, se recupera el valor original de la variable.

Ejemplo resuelto

Probabilidades en una normal con la tabla N(0,1)

El peso de los paquetes que llegan a un almacén sigue una N(50, 10) (en kg). Calcula: (a) P(X ≤ 65); (b) P(40 ≤ X ≤ 70); (c) P(X > 35). Datos de la tabla: Φ(1,5) = 0,9332; Φ(1) = 0,8413; Φ(2) = 0,9772.

Apartado (a): tipificar 65
Z = (65 − 50)/10 = 1,5; leemos directamente Φ(1,5).
Apartado (b): tipificar 40 y 70
z = (40 − 50)/10 = −1 y z = (70 − 50)/10 = 2; usamos la simetría para −1.
Operar (b)
Φ(−1) = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587.
Apartado (c): tipificar 35
z = (35 − 50)/10 = −1,5; área a la derecha de un valor negativo.

Resultado: (a) P(X ≤ 65) = 0,9332 (93,32 %); (b) P(40 ≤ X ≤ 70) = 0,8185 (81,85 %); (c) P(X > 35) = 0,9332 (93,32 %).

Errores frecuentes

Olvidar la simetría con valores negativos y buscar directamente Φ(−z) en la tabla (que solo trae valores positivos), en vez de usar P(Z ≤ −z) = 1 − Φ(z).
Confundir el área a la izquierda con la de la derecha: tomar P(Z > z) = Φ(z) en lugar de P(Z > z) = 1 − Φ(z); dibujar la campana y sombrear evita este error.
Restar al revés al calcular un intervalo. Siempre es la acumulada del extremo SUPERIOR menos la del inferior; invertirlo da una probabilidad negativa, que es imposible.
Entrar en la tabla por el lado equivocado en el problema inverso. Si piden el valor que deja el 90 % por debajo, hay que buscar 0,90 en el CUERPO de la tabla y leer el z en los márgenes.

Repaso activo

El tiempo de espera en una gestoría se modela mediante una N(20, 5) (en minutos). (a) Calcula la probabilidad de esperar menos de 28 minutos. (b) Calcula la probabilidad de esperar entre 15 y 25 minutos. (c) Halla el tiempo de espera que solo es superado por el 10 % de los clientes (usa que P(Z ≤ 1,28) ≈ 0,90).

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Aproximación de la distribución binomial por la normal#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, D. Sentido estocástico — 2. Distribuciones de probabilidad: «Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal. Cálculo de probabilidades asociadas mediante herramientas tecnológicas.»Alcance de este apunte: la aproximación de la binomial por la normal no se cita explícitamente en el Anexo II; se incluye porque es la conexión entre las dos distribuciones que el saber sí nombra, y varias EBAU la exigen.

Calcular probabilidades binomiales con n grande es tedioso: una probabilidad como P(X ≤ 60) en una B(100; 0,5) exige sumar 61 términos. El teorema de De Moivre-Laplace resuelve el problema: cuando n es grande, la distribución binomial B(n, p) se parece mucho a una distribución normal con su misma media y su misma desviación típica. Por eso podemos aproximar B(n, p) por la normal N(np, √(npq)), sustituyendo un cálculo combinatorio largo por una simple tipificación. La Fig. 5 muestra cómo el perfil escalonado del diagrama de barras de la binomial se ajusta cada vez mejor a la suave campana normal a medida que n crece.

La binomial (barras) y su aproximación normal superpuesta

Fig. 5 ↓

La aproximación no siempre es lícita: requiere que la binomial sea suficientemente «ancha y centrada». El criterio habitual en Bachillerato es que se cumpla simultáneamente n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5 (algunos manuales exigen el límite más estricto np ≥ 10 y nq ≥ 10). Cuando p está cerca de 0 o de 1 la binomial es muy asimétrica y la aproximación falla salvo que n sea muy grande; cuando p se acerca a 0,5 la simetría favorece la aproximación incluso con n moderado. Comprobar este criterio antes de aproximar es un paso que el examen valora explícitamente.

Hay un detalle técnico imprescindible para que la aproximación sea precisa: la corrección por continuidad. Estamos aproximando una variable discreta (que solo toma valores enteros) por una variable continua (que toma cualquier valor real), de modo que cada valor entero k se «reparte» en el intervalo continuo [k − 0,5, k + 0,5]. Por eso, antes de tipificar, ampliamos el suceso medio punto: P(X = k) ≈ P(k − 0,5 ≤ Y ≤ k + 0,5); P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0,5); y P(X ≥ k) ≈ P(Y ≥ k − 0,5), donde Y es la normal aproximante. Olvidar este ajuste de 0,5 es el error más penalizado del apartado.

El procedimiento completo encadena, por tanto, todo lo aprendido en el tema: (1) comprobar el modelo binomial e identificar n y p; (2) verificar el criterio np ≥ 5 y nq ≥ 5; (3) calcular μ = np y σ = √(npq); (4) aplicar la corrección por continuidad reescribiendo el suceso; (5) tipificar y leer la tabla N(0,1). Esta aproximación es, además, la justificación matemática de por qué tantas magnitudes de las ciencias sociales —proporciones de votantes, tasas de respuesta en encuestas, frecuencias de un atributo en grandes muestras— se tratan como normales, y conecta directamente con la distribución muestral de la proporción del tema de inferencia.

Vocabulario

→ Tarjetas

Aproximación normalSustituir B(n, p) por N(np, √(np(1−p))) cuando n es grande.
Condición de aproximaciónSe exige n·p > 5 y n·(1 − p) > 5 para que la campana se ajuste bien.
Corrección de continuidadAjuste de ±0,5 al pasar de una variable discreta a una continua.
Media de la binomialμ = n·p, el número esperado de éxitos.
Desviación típica de la binomialσ = √(n·p·(1 − p)).

Aproximación normal de la binomial (De Moivre-Laplace)

B(n,\ p) \approx N\!\left(np,\ \sqrt{npq}\right) \quad \text{si } np \ge 5 \ \text{y}\ nq \ge 5

Con n grande, la binomial se aproxima por una normal de su misma media y desviación típica.

Corrección por continuidad para «como mucho k»

P(X \le k) \approx P(Y \le k + 0.5)

Se amplía el suceso medio punto al pasar de la variable discreta X a la continua Y.

Corrección por continuidad (otros casos)

P(X \ge k) \approx P(Y \ge k - 0.5), \qquad P(X = k) \approx P(k - 0.5 \le Y \le k + 0.5)

Cada valor entero k se reparte en el intervalo continuo [k − 0,5, k + 0,5].

Ejemplo resuelto

Aproximación normal de una binomial con corrección por continuidad

Una empresa lanza monedas en una promoción: cada cliente gana un premio con probabilidad 0,5, de forma independiente. En un día participan 100 clientes. Sea X el número de clientes premiados. (a) Justifica que X ~ B(100; 0,5) puede aproximarse por una normal e indica sus parámetros. (b) Aproxima, con corrección por continuidad, la probabilidad de que se premie a 60 clientes o menos. Dato: Φ(2,1) = 0,9821.

Modelo y criterio de aproximación
100 pruebas independientes, p = 0,5; comprobamos np y nq.
Parámetros de la normal aproximante
μ = np y σ = √(npq).
Corrección por continuidad
«60 o menos» se traduce en Y ≤ 60,5 al pasar a la normal.
Tipificar y leer la tabla
Tipificamos 60,5 con μ = 50 y σ = 5.

Resultado: Como np = nq = 50 ≥ 5, X ~ B(100; 0,5) ≈ N(50, 5). Con corrección por continuidad, la probabilidad de premiar a 60 clientes o menos es ≈ 0,9821 (98,21 %).

Errores frecuentes

Aproximar sin comprobar el criterio np ≥ 5, nq ≥ 5, o aplicarlo a binomiales muy asimétricas (p cercano a 0 o 1) donde la aproximación es mala.
Omitir la corrección por continuidad (sumar o restar 0,5) o aplicarla con el signo equivocado: para P(X ≤ k) hay que tipificar k + 0,5, no k − 0,5.
Aproximar sin comprobar la condición. Con n pequeño o p muy extremo la binomial es asimétrica y la normal da un resultado sensiblemente equivocado.
Olvidar la corrección de continuidad o aplicarla en el sentido contrario. Para P(X ≥ 10) se toma 9,5 y para P(X ≤ 10) se toma 10,5: la media unidad siempre AMPLÍA el intervalo que se busca.

Repaso activo

Se sabe que el 40 % de los votantes de una ciudad apoya cierta medida. Se elige al azar una muestra de 100 votantes. Sea X el número de partidarios en la muestra. (a) Indica la distribución de X y comprueba que puede aproximarse por una normal. (b) Aproxima, con corrección por continuidad, la probabilidad de que como mucho 45 votantes apoyen la medida. Datos: Φ(1,12) ≈ 0,8686.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

Planificar un repaso

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Distribuciones de probabilidad

5 secciones~30 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

Variables aleatorias discretas y continuas: media y desviación típica#

La distribución binomial: cálculo de probabilidades y parámetros#

La distribución normal: características y tipificación#

Cálculo de probabilidades con la tabla de la N(0,1)#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, D. Sentido estocástico — 2. Distribuciones de probabilidad: «Modelización de fenómenos estocásticos mediante las distribuciones de probabilidad binomial y normal. Cálculo de probabilidades asociadas mediante herramientas tecnológicas.»

Aproximación de la distribución binomial por la normal#

Distribuciones de probabilidad

Puntos clave

Función de probabilidad, media y desviación típica de una variable discreta

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Tipificación e interpretación con una normal

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Aproximación normal de una binomial con corrección por continuidad

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Aproximación normal de una binomial con corrección por continuidad

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