ES · Selectividad

Geometría en el espacio

Apunte de repaso de Matemáticas II (materia de modalidad, 2.º de Bachillerato, LOMLOE) sobre la geometría analítica del espacio tridimensional: las ecuaciones de la recta y del plano, sus posiciones relativas y las cuestiones métricas de distancias, ángulos, ortogonalidad y simetrías. Este bloque traduce los problemas geométricos del espacio al lenguaje del álgebra vectorial y de los sistemas de ecuaciones lineales, cerrando el «Sentido espacial» del currículo. Es contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad (PAU): casi todas las pruebas incluyen un problema de geometría del espacio en el que se pide hallar ecuaciones, discutir posiciones relativas o calcular una distancia, un ángulo o un elemento simétrico.

5 secciones~38 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

T·0888 / 12

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas geométricos del espacio aplicando estrategias diversas: traducir incidencia, paralelismo, distancias y ángulos a ecuaciones de rectas y planos y a operaciones vectoriales.CE2 · Verificar la validez de las soluciones mediante el razonamiento y la argumentación: justificar una posición relativa con el estudio de rangos o de vectores y comprobar la coherencia geométrica del resultado.CE5 · Establecer conexiones entre los diferentes elementos matemáticos, integrando vectores (escalar, vectorial y mixto), sistemas de ecuaciones lineales y geometría afín y métrica del espacio.

Operadores:calculahalladeterminaestudiaclasificajustificademuestrainterpretarazonarelacionalocalizaconstruye

nivel básico

Como contenido del bloque de Geometría de Matemáticas II, se exige escribir las ecuaciones de rectas y planos en sus distintas formas, estudiar posiciones relativas de puntos, rectas y planos, y resolver problemas métricos básicos de distancias y ángulos con vectores director y normal.

nivel avanzado

La profundización propia de la modalidad consiste en encadenar estas destrezas en problemas completos: construir el plano o la recta que cumple varias condiciones, hallar la perpendicular común a dos rectas que se cruzan, determinar proyecciones ortogonales y elementos simétricos, y justificar cada posición relativa relacionando el estudio de rangos con la interpretación geométrica.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Geometría en el espacio

5 secciones20 puntos clave13 fórmulas20 errores típicos

Ecuaciones de la recta y del plano en el espacio#

~8 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial (ecuaciones de una recta y de un plano en el espacio tridimensional; expresiones algebraicas de los objetos geométricos y selección de la más adecuada)

La geometría analítica del espacio, fundada por René Descartes, consiste en describir los objetos geométricos —puntos, rectas y planos— mediante coordenadas y ecuaciones, de modo que un problema geométrico se convierta en uno algebraico. En el espacio tridimensional fijamos un sistema de referencia con origen O y tres ejes perpendiculares, y todo punto queda identificado por una terna de coordenadas P(x, y, z). La idea clave es que una recta queda determinada por un punto y un vector que indica su dirección (su «vector director»), y un plano queda determinado por un punto y, o bien dos direcciones contenidas en él, o bien una dirección perpendicular a él (su «vector normal»). Elegir la expresión algebraica más adecuada según el contexto es una destreza explícita del currículo (Fig. 1).

Las cuatro formas de la ecuación de la recta

Fig. 1 ↓

Una RECTA admite varias formas equivalentes. Conocidos un punto A(a₁, a₂, a₃) y un vector director v = (v₁, v₂, v₃), la «ecuación vectorial» es (x, y, z) = (a₁, a₂, a₃) + t·(v₁, v₂, v₃), donde el parámetro t recorre todos los reales y va generando los puntos de la recta. Separando coordenadas se obtienen las «ecuaciones paramétricas» x = a₁ + t·v₁, y = a₂ + t·v₂, z = a₃ + t·v₃. Si ninguna componente del director es nula, despejando t e igualando se llega a la «ecuación continua» (x − a₁)/v₁ = (y − a₂)/v₂ = (z − a₃)/v₃. Por último, la recta puede verse como intersección de dos planos, lo que da sus «ecuaciones implícitas» (un sistema de dos ecuaciones lineales).

Un PLANO se describe con un punto y dos vectores directores no paralelos contenidos en él, o con un punto y su vector normal. Con un punto A y dos directores u y v, la «ecuación vectorial» es (x, y, z) = A + s·u + t·v (dos parámetros, porque el plano es una superficie). Desarrollando, las «ecuaciones paramétricas» del plano usan los parámetros s y t. La forma más útil para los cálculos es la «ecuación general o implícita» Ax + By + Cz + D = 0, una única ecuación lineal en la que el vector de coeficientes n = (A, B, C) es justamente un vector NORMAL al plano: perpendicular a todas las direcciones contenidas en él. Esta propiedad —leer la normal directamente de los coeficientes— es el motor de casi todos los problemas métricos.

Saber pasar de una forma a otra es esencial. Para hallar la general de un plano a partir de un punto y dos directores u y v, se calcula la normal como producto vectorial n = u × v (perpendicular a ambos) y se impone que pase por el punto para fijar D. Para obtener el vector director de una recta dada por dos planos, se hace el producto vectorial de las dos normales, porque la recta intersección es perpendicular a ambas. Y para escribir un plano del que solo conocemos un punto y la normal n = (A, B, C), basta usar la fórmula punto-normal A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0, que se reordena en la general. Cada problema sugiere la forma de partida más cómoda: paramétrica cuando damos direcciones, general cuando medimos distancias o ángulos.

Conviene tener presentes algunos casos particulares y comprobaciones. Un punto pertenece a una recta o a un plano si sus coordenadas verifican sus ecuaciones (en la recta, además, deben dar el MISMO valor del parámetro en las tres componentes). El vector director de una recta no es único: cualquier múltiplo no nulo sirve, igual que el vector normal de un plano. Si en la ecuación general falta una variable (por ejemplo, D = 0 hace que el plano pase por el origen, o C = 0 hace que el plano sea paralelo al eje Z), eso aporta información geométrica inmediata. Y los tres planos coordenados tienen ecuaciones especialmente simples: z = 0 es el plano XY, y = 0 el plano XZ y x = 0 el plano YZ.

Vocabulario

→ Tarjetas

Vector directorVector que marca la dirección de una recta; cualquier múltiplo no nulo sirve igual.
Vector normalVector perpendicular a un plano; en Ax + By + Cz + D = 0 son los coeficientes (A, B, C).
Ecuaciones paramétricasx = a₁ + t·v₁, y = a₂ + t·v₂, z = a₃ + t·v₃: generan los puntos de la recta al variar t.
Ecuación continuaIgualdad de los tres cocientes; solo es válida si ninguna componente del director es cero.
Ecuación generalForma implícita Ax + By + Cz + D = 0 de un plano; la más cómoda para medir.
Sistema de referenciaOrigen O y tres ejes perpendiculares que asignan una terna de coordenadas a cada punto.

Ecuación vectorial de la recta

r:\;(x,y,z) = (a_1,a_2,a_3) + t\,(v_1,v_2,v_3),\quad t\in\mathbb{R}

La recta que pasa por A(a₁,a₂,a₃) con vector director v se genera al recorrer el parámetro t todos los números reales.

Ecuación continua de la recta

r:\;\dfrac{x-a_1}{v_1} = \dfrac{y-a_2}{v_2} = \dfrac{z-a_3}{v_3}

Válida solo si todas las componentes del director son no nulas; se obtiene despejando e igualando el parámetro t en las tres ecuaciones paramétricas.

Ecuación general del plano y su vector normal

\pi:\;Ax + By + Cz + D = 0,\qquad \vec{n} = (A,B,C)\;\perp\;\pi

Los coeficientes de x, y, z forman un vector normal al plano. El término D se fija imponiendo que el plano pase por un punto conocido.

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Ejemplo resuelto

Plano por punto y dos directores; recta por punto y normal

Halla la ecuación general del plano π que contiene al punto A(1, 0, 2) y a los vectores u = (1, 1, 0) y v = (0, 1, 1). Después escribe las ecuaciones paramétrica y continua de la recta que pasa por A con vector director igual a la normal de π.

1. Normal del plano por producto vectorial
La normal n es perpendicular a u y a v, así que n = u × v. Calculando el determinante simbólico: n = (1·1 − 0·1, 0·0 − 1·1, 1·1 − 1·0) = (1, −1, 1).
2. Ecuación general imponiendo el punto
Con n = (1, −1, 1) la ecuación es x − y + z + D = 0. Imponemos A(1, 0, 2): 1 − 0 + 2 + D = 0, luego D = −3.
3. Recta con director = normal
La recta pasa por A(1, 0, 2) con director n = (1, −1, 1). Sus ecuaciones paramétricas son x = 1 + t, y = −t, z = 2 + t.
4. Ecuación continua
Como todas las componentes del director son no nulas, igualamos el parámetro t en las tres componentes.

Resultado: El plano es π: x − y + z − 3 = 0 (normal n = (1, −1, 1)). La recta pedida tiene paramétricas x = 1 + t, y = −t, z = 2 + t, y ecuación continua (x − 1)/1 = y/(−1) = (z − 2)/1. Esta recta es perpendicular al plano π.

Objetivo Selectividad

Escribir las ecuaciones de una recta o de un plano a partir de los datos del enunciado (puntos, vectores, paralelismos o perpendicularidades) y pasar con soltura de una forma a otra, especialmente de la paramétrica a la general usando el producto vectorial para la normal.
Se evalúa la elección de la forma adecuada: usar la general para medir distancias y ángulos, y la paramétrica para parametrizar puntos genéricos; un planteamiento limpio de las ecuaciones es el punto de partida de casi todo problema de geometría del espacio en la PAU.
En cuanto el enunciado dé un plano por su ecuación general, anota al margen su normal (A, B, C); es el dato que van a pedir todos los apartados siguientes.
Para hablar de «un punto genérico» de una recta, escribe sus paramétricas y usa el parámetro t; casi todos los problemas de proyección y simetría empiezan exactamente así.

Errores frecuentes

Escribir la «ecuación continua» de una recta cuando alguna componente del vector director es 0: en ese caso esa coordenada es constante y no puede ir en un denominador; hay que dejarla aparte (por ejemplo, como una ecuación independiente).
Confundir el vector director de una recta con el vector normal de un plano, o tomar los coeficientes (A, B, C) de un plano como su dirección en lugar de como su normal.
Al pasar un plano dado por punto y dos directores a la forma general, olvidar imponer que el plano pase por el punto para determinar el término independiente D.
Dar por distintas dos rectas cuyas ecuaciones no coinciden literalmente: si los directores son proporcionales y un punto de una pertenece a la otra, son la MISMA recta escrita de otro modo.

Repaso activo

Halla la ecuación general del plano que contiene al punto A(1, 0, 2) y a los vectores directores u = (1, 1, 0) y v = (0, 1, 1). Después, escribe las ecuaciones paramétrica y continua de la recta que pasa por A con vector director igual a la normal del plano hallado.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)) · Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Posiciones relativas de puntos, rectas y planos#

~7 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial (estudio de la posición relativa de puntos, rectas y planos en el espacio; geometría afín: incidencia y paralelismo; conexión con el análisis de soluciones de un sistema lineal)

Estudiar la «posición relativa» de dos objetos geométricos consiste en decidir cómo se sitúan uno respecto del otro: si se cortan, son paralelos, coinciden o se cruzan. En el espacio hay dos caminos complementarios para resolverlo, y conviene dominar ambos. El primero, ALGEBRAICO, interpreta la posición relativa como el estudio de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales: cada plano o recta aporta ecuaciones, y el teorema de Rouché-Frobenius (comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas) dice si hay solución única, infinitas o ninguna. El segundo, VECTORIAL, compara los vectores directores y normales y emplea un punto de cada objeto. Ambos métodos deben dar el mismo resultado, y usar el uno para confirmar el otro es una buena práctica (Fig. 2).

Posiciones relativas de dos rectas en el espacio

Fig. 2 ↓

DOS PLANOS en el espacio pueden ser secantes (se cortan en una recta), paralelos (no se cortan) o coincidentes (son el mismo plano). El criterio vectorial es directo: si las normales n₁ y n₂ NO son proporcionales, los planos son secantes y su intersección es una recta cuyo director es n₁ × n₂. Si las normales SÍ son proporcionales, los planos son paralelos o coincidentes; para distinguirlos se mira si también los términos independientes guardan la misma proporción (coincidentes) o no (paralelos estrictos). En términos de sistemas, dos ecuaciones con tres incógnitas: rango 2 = secantes, rango 1 con sistema compatible = coincidentes, rango 1 incompatible = paralelos.

Una RECTA Y UN PLANO pueden cortarse en un punto, ser paralelos (la recta no toca el plano) o estar la recta contenida en el plano. La herramienta clave es el producto escalar del vector director v de la recta por la normal n del plano. Si v·n ≠ 0, la recta «atraviesa» el plano y lo corta en un punto (se halla sustituyendo las paramétricas de la recta en la ecuación del plano y despejando t). Si v·n = 0, la dirección de la recta es paralela al plano; entonces se comprueba si un punto de la recta pertenece al plano: si pertenece, la recta está contenida; si no, son paralelos estrictos.

DOS RECTAS en el espacio presentan una casuística más rica, porque pueden además «cruzarse» (algo imposible en el plano). Las posibilidades son: coincidentes, paralelas (mismos directores y no se cortan), secantes (se cortan en un punto, son coplanarias) o que se CRUCEN (no son paralelas ni se cortan, no están en un mismo plano). El método sistemático compara primero los vectores directores v₁ y v₂ y el vector AB que une un punto de cada recta. Si v₁ y v₂ son proporcionales, las rectas son paralelas o coincidentes (se distingue viendo si AB es también proporcional a ellos). Si NO son proporcionales, las rectas son secantes o se cruzan, y se decide con el producto mixto [v₁, v₂, AB]: si es 0 son coplanarias y secantes; si es distinto de 0, las rectas SE CRUZAN.

El producto mixto [v₁, v₂, AB] = det(v₁, v₂, AB) es el detector definitivo del cruce: geométricamente representa (salvo signo) el volumen del paralelepípedo construido sobre los tres vectores, y solo es cero cuando los tres son coplanarios. Por eso un mixto no nulo certifica que las dos rectas no caben en ningún plano común, esto es, que se cruzan. Este resultado conecta de manera directa este tema con el de vectores (producto mixto) y con el de sistemas de ecuaciones lineales (rangos), siendo un ejemplo perfecto de cómo la geometría del espacio integra los demás bloques del álgebra.

Vocabulario

→ Tarjetas

Posición relativaDescripción de cómo se sitúan dos objetos: se cortan, son paralelos, coinciden o se cruzan.
Rectas secantesSe cortan en un punto y son coplanarias; producto mixto nulo con directores no proporcionales.
Rectas que se cruzanNo son paralelas ni se cortan; no caben en un plano común y su producto mixto no es cero.
Planos secantesNormales no proporcionales; se cortan en una recta de director n₁ × n₂.
Recta contenida en un planoCaso con v · n = 0 y, además, un punto de la recta perteneciente al plano.
CoplanariedadPertenencia a un mismo plano; se detecta anulando el producto mixto de los tres vectores.

Criterio del producto mixto para dos rectas

[\vec{v_1},\vec{v_2},\overrightarrow{AB}] = \det\begin{pmatrix} \vec{v_1} \\ \vec{v_2} \\ \overrightarrow{AB} \end{pmatrix} \;\begin{cases} =0 & \text{coplanarias (paralelas o secantes)} \\ \neq 0 & \text{se cruzan} \end{cases}

El producto mixto de los dos directores y del vector que une un punto de cada recta es cero si y solo si las rectas son coplanarias; si es distinto de cero, las rectas se cruzan.

Recta y plano: criterio del producto escalar

\vec{v}\cdot\vec{n} = 0 \;\Rightarrow\; r \parallel \pi \text{ o } r\subset\pi; \qquad \vec{v}\cdot\vec{n}\neq 0 \;\Rightarrow\; r \text{ corta a } \pi

Si el director de la recta es perpendicular a la normal del plano (producto escalar nulo), la recta es paralela al plano o está contenida; si no, lo corta en un punto.

Ejemplo resuelto

Clasificación de dos rectas mediante el producto mixto

Estudia la posición relativa de r: (x, y, z) = (1, 0, 0) + t·(1, 1, 0) y s: (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ·(0, 1, 1).

1. Comparar los directores
v₁ = (1, 1, 0) y v₂ = (0, 1, 1). No son proporcionales (no existe k con (1,1,0) = k(0,1,1)), así que las rectas no son paralelas ni coincidentes: serán secantes o se cruzarán.
2. Vector que une un punto de cada recta
Tomamos A(1, 0, 0) en r y B(0, 1, 1) en s. El vector AB = B − A = (−1, 1, 1).
3. Producto mixto [v₁, v₂, AB]
Calculamos el determinante de la matriz cuyas filas son v₁, v₂ y AB. Desarrollando por la primera fila: 1·(1·1 − 1·1) − 1·(0·1 − 1·(−1)) + 0 = 1·0 − 1·1 + 0 = −1.
4. Interpretar
Como el producto mixto es distinto de cero, los tres vectores no son coplanarios; por tanto, las rectas no están en un mismo plano y no pueden cortarse.

Resultado: Las rectas r y s SE CRUZAN: sus directores no son proporcionales (no son paralelas) y el producto mixto [v₁, v₂, AB] = −1 ≠ 0 (no son coplanarias, luego no son secantes).

Objetivo Selectividad

Clasificar la posición relativa de dos rectas, de recta y plano o de dos planos, justificando la respuesta con el estudio de directores, normales y, en su caso, el producto mixto o el teorema de Rouché-Frobenius; y, cuando se cortan, hallar el punto o la recta de corte.
Es uno de los problemas más frecuentes de la PAU; se valora especialmente identificar el caso de rectas que se cruzan mediante el producto mixto y conectar el resultado con el análisis de un sistema de ecuaciones lineales.
Usa siempre el mismo guion con dos rectas: (1) ¿son proporcionales los directores?; (2) si no, ¿es nulo el producto mixto [v₁, v₂, AB]? Esas dos preguntas agotan los cuatro casos.
Si la posición relativa lleva PARÁMETRO, resuélvela con rangos; es el mismo esquema de Rouché-Frobenius del bloque de álgebra y así los casos salen ya ordenados.

Errores frecuentes

Confundir rectas paralelas con rectas que se cruzan: las paralelas tienen directores proporcionales; las que se cruzan NO los tienen y, además, tienen producto mixto distinto de cero.
Concluir que dos rectas con directores no proporcionales se cortan, sin comprobar antes con el producto mixto que son coplanarias (podrían cruzarse).
Al estudiar recta y plano, olvidar que v·n = 0 deja dos posibilidades (contenida o paralela) y no comprobar si un punto de la recta está en el plano.
Concluir «paralelas» solo porque las rectas no se cortan: en el espacio dos rectas pueden no cortarse sin ser paralelas —se cruzan—, y esa es justamente la novedad respecto del plano.

Repaso activo

Dadas las rectas r: (x, y, z) = (1, 0, 0) + t·(1, 1, 0) y s: (x, y, z) = (0, 1, 1) + λ·(0, 1, 1), estudia su posición relativa. Calcula el producto mixto de sus directores y del vector que une un punto de cada una, y concluye razonadamente si son paralelas, secantes o se cruzan.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob) · Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Geometría métrica: distancias y ángulos#

~7 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial (geometría métrica: medida de ángulos entre rectas y planos, distancias entre puntos, rectas y planos, y ortogonalidad)

La geometría métrica del espacio mide longitudes y ángulos entre los objetos geométricos, y se apoya por completo en el producto escalar y en el producto vectorial de vectores. La distancia más sencilla es la que hay entre DOS PUNTOS A y B: es el módulo del vector AB, es decir, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias de coordenadas. A partir de esta distancia básica y de unas pocas fórmulas con productos vectoriales y escalares se obtienen todas las demás distancias del temario (Fig. 3).

Coseno o seno: qué fórmula usar en cada ángulo

Fig. 3 ↓

La fórmula estrella es la DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO. Si el plano es π: Ax + By + Cz + D = 0 y el punto es P(x₀, y₀, z₀), la distancia es el valor absoluto de Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D dividido entre el módulo del vector normal (A, B, C). El numerador mide «cuánto se desvía» el punto de cumplir la ecuación del plano, y dividir entre el módulo de la normal lo convierte en una longitud real. De esta fórmula se deriva casi todo lo demás: la distancia entre dos planos paralelos se calcula tomando un punto de uno y midiendo su distancia al otro, y la distancia de un punto a una recta se puede abordar también por proyección.

La DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA r (que pasa por un punto A con director v) se obtiene con el producto vectorial: es el módulo de AP × v dividido entre el módulo de v, donde P es el punto exterior. La interpretación geométrica es elegante: |AP × v| es el área del paralelogramo de lados AP y v, y al dividirla entre la base |v| se obtiene la altura, que es precisamente la distancia buscada. Por su parte, la DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN combina los dos productos: es el valor absoluto del producto mixto [v₁, v₂, AB] dividido entre el módulo de v₁ × v₂; el mixto da el volumen del paralelepípedo y v₁ × v₂ da el área de su base, de modo que el cociente es la altura, esto es, la separación entre las dos rectas.

Los ÁNGULOS se miden siempre con el producto escalar, tomando los ángulos AGUDOS (de ahí el valor absoluto en las fórmulas). El ángulo entre DOS RECTAS es el ángulo agudo entre sus vectores directores: su coseno es el valor absoluto del producto escalar de los directores entre el producto de sus módulos. El ángulo entre DOS PLANOS es el ángulo agudo entre sus normales, con la misma fórmula aplicada a los vectores normales. En particular, dos rectas son perpendiculares cuando sus directores tienen producto escalar nulo, y dos planos son perpendiculares cuando lo son sus normales.

El ángulo entre RECTA Y PLANO requiere un matiz importante: NO se mide entre el director de la recta y la normal del plano directamente, sino que se define como el ángulo entre la recta y su proyección sobre el plano. Por eso, mientras que con los demás pares se usa el coseno, aquí se usa el SENO: el seno del ángulo entre la recta y el plano es el valor absoluto del producto escalar del director v y la normal n entre el producto de sus módulos. La razón es geométrica: el ángulo entre recta y plano es el complementario del ángulo entre el director y la normal, y el coseno de uno es el seno del otro. Confundir seno y coseno aquí es uno de los errores más penalizados de la PAU.

Vocabulario

→ Tarjetas

Distancia punto-plano|Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| dividido entre |(A, B, C)|: la fórmula de la que cuelgan casi todas.
Distancia punto-recta|AP × v| entre |v|: el área del paralelogramo dividida por la base da la altura.
Distancia entre rectas que se cruzan|[v₁, v₂, AB]| entre |v₁ × v₂|: el volumen dividido por el área de la base.
Ángulo agudoEl que se toma siempre entre rectas o entre planos; de ahí el valor absoluto en las fórmulas.
Ángulo recta-planoÁngulo con la proyección de la recta sobre el plano; se calcula con el SENO, no con el coseno.
ComplementarioÁngulo que suma 90° con otro; explica por qué recta-plano usa seno donde los demás usan coseno.

Distancia de un punto a un plano

d(P,\pi) = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Se sustituye el punto en la ecuación general del plano y se divide el valor absoluto resultante entre el módulo del vector normal (A, B, C).

Distancia entre dos rectas que se cruzan

d(r,s) = \dfrac{\bigl|\,[\vec{v_1},\vec{v_2},\overrightarrow{AB}]\,\bigr|}{\,|\vec{v_1}\times\vec{v_2}|\,}

El producto mixto da el volumen del paralelepípedo formado por los directores y el segmento AB, y |v₁×v₂| es el área de la base; el cociente es la altura, es decir, la distancia entre las rectas.

Ángulos entre objetos del espacio

\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\,|\vec{n}|}\;\;(\text{recta-plano}); \qquad \cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{w}|}{|\vec{u}|\,|\vec{w}|}\;\;(\text{recta-recta o plano-plano})

Entre recta y plano se usa el seno (interviene la normal); entre dos rectas o dos planos se usa el coseno de sus directores o de sus normales. El valor absoluto asegura el ángulo agudo.

Ejemplo resuelto

Distancia punto-plano y ángulo recta-plano

Dado el plano π: 2x − y + 2z − 6 = 0 y el punto P(3, 1, 4), calcula la distancia de P a π y el ángulo que forma con π la recta r de director v = (1, 2, 2).

1. Distancia punto-plano
Sustituimos P(3, 1, 4) en el numerador: 2·3 − 1 + 2·4 − 6 = 6 − 1 + 8 − 6 = 7. El módulo de la normal n = (2, −1, 2) es √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
2. Ángulo recta-plano: elegir seno
Entre recta y plano se usa el SENO del ángulo, con el director v = (1, 2, 2) y la normal n = (2, −1, 2), porque el ángulo es el complementario del que forman v y n.
3. Producto escalar y módulos
v·n = 1·2 + 2·(−1) + 2·2 = 2 − 2 + 4 = 4. Los módulos son |v| = √(1+4+4) = 3 y |n| = 3.
4. Calcular el ángulo
El seno del ángulo es |4|/(3·3) = 4/9. Por tanto, α = arcsen(4/9) ≈ 26,39°.

Resultado: La distancia de P al plano es d(P, π) = 7/3 unidades. El ángulo entre la recta y el plano es α = arcsen(4/9) ≈ 26,39° (se usa el seno porque interviene la normal del plano).

Objetivo Selectividad

Calcular distancias entre puntos, rectas y planos —especialmente la distancia de un punto a un plano y la distancia entre dos rectas que se cruzan— y ángulos entre rectas, entre planos y entre recta y plano, eligiendo bien coseno o seno.
Se evalúa la aplicación correcta de cada fórmula y el uso de valores absolutos para obtener ángulos agudos y distancias positivas; un ejercicio típico combina una posición relativa con el cálculo de la distancia o el ángulo asociado.
Para la distancia entre dos rectas PARALELAS no sirve la fórmula del producto mixto —daría cero—: toma un punto de una y calcula su distancia a la otra.
Antes de aplicar la fórmula de la distancia punto-plano, asegúrate de que la ecuación está igualada a CERO; escrita como Ax + By + Cz = D el término independiente cambia de signo.

Errores frecuentes

Usar el coseno para el ángulo entre recta y plano: en ese caso se usa el SENO (porque interviene la normal, complementaria de la proyección), mientras que entre dos rectas o dos planos se usa el coseno.
Olvidar el valor absoluto en el numerador de la distancia punto-plano o en las fórmulas de ángulos, obteniendo distancias negativas o ángulos obtusos sin sentido geométrico.
Dividir entre el módulo equivocado: en la distancia punto-recta hay que dividir entre |v| (el director), y en la distancia entre rectas que se cruzan entre |v₁ × v₂|, no entre |AB|.
Aplicar la fórmula del producto mixto a dos rectas que se cortan o que son paralelas: allí la distancia vale 0 o se mide punto-recta; el mixto solo sirve para rectas que SE CRUZAN.

Repaso activo

Dado el plano π: 2x − y + 2z − 6 = 0 y el punto P(3, 1, 4), calcula la distancia de P a π. Después, halla el ángulo que forma con π la recta r de vector director v = (1, 2, 2) que pasa por P, indicando si usas seno o coseno y por qué.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Perpendicular común, proyecciones ortogonales y simetrías#

~8 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial (recta que corta perpendicularmente a dos rectas que se cruzan; vectores normales; estudio de la simetría: punto simétrico respecto de punto, plano y recta; recta simétrica respecto de un plano; recta proyección ortogonal sobre un plano)

Este apartado reúne las construcciones geométricas más completas del tema, en las que se combinan ecuaciones, posiciones relativas y productos vectoriales. La «perpendicular común» a dos rectas que se cruzan es la única recta que corta a ambas formando ángulo recto con cada una; su dirección es necesariamente perpendicular a los dos directores, de modo que su vector director es w = v₁ × v₂ (el producto vectorial de los directores). Hallarla por completo es un problema clásico de la PAU que pone a prueba el dominio de todo el tema (Fig. 4).

Perpendicular común a dos rectas que se cruzan

Fig. 4 ↓

Para construir la perpendicular común de las rectas r y s que se cruzan, una estrategia eficaz es la de los DOS PLANOS. La perpendicular común está contenida en el plano que pasa por r y tiene como direcciones v₁ y w = v₁ × v₂; y también en el plano que pasa por s con direcciones v₂ y w. La intersección de esos dos planos es justamente la perpendicular común. Alternativamente, se puede parametrizar un punto genérico de cada recta, imponer que el vector que los une sea proporcional a w (o, equivalentemente, perpendicular a v₁ y a v₂), y resolver el sistema para encontrar los pies de la perpendicular en cada recta.

La «proyección ortogonal» de un punto P sobre un plano π es el pie H de la perpendicular trazada desde P al plano: el punto del plano más cercano a P. Se halla escribiendo la recta que pasa por P con dirección la normal n del plano, y cortándola con π. La proyección ortogonal de una RECTA sobre un plano es la recta formada por las proyecciones de todos sus puntos; en la práctica se obtiene como intersección del plano π con el plano que contiene a la recta y es perpendicular a π (un plano «proyectante»). Estas proyecciones son la base para definir el ángulo recta-plano y para muchos problemas de simetría.

Las SIMETRÍAS son transformaciones que invierten la posición de un objeto respecto de un elemento de referencia. El «simétrico de un punto P respecto de otro punto M» es el punto P' tal que M es el punto medio del segmento PP'; se calcula con P' = 2M − P. El «simétrico de un punto P respecto de un plano π» es el punto P' alineado con P perpendicularmente al plano y a la misma distancia al otro lado: se halla la proyección H de P sobre π y entonces P' = 2H − P (H es el punto medio de PP'). El «simétrico de un punto P respecto de una recta r» se obtiene igual, proyectando P ortogonalmente sobre r para hallar el pie M y aplicando P' = 2M − P.

A partir del punto simétrico se construyen los demás objetos simétricos. La «recta simétrica de r respecto de un plano π» se obtiene hallando los simétricos de dos puntos de r respecto de π y uniéndolos (o, si r corta a π, tomando el punto de corte —que es su propio simétrico— y el simétrico de otro punto de r). La «recta proyección ortogonal de r sobre π» se halla proyectando dos puntos de r sobre π. El hilo conductor de todas estas construcciones es el mismo: proyectar ortogonalmente usando la normal del plano (o la perpendicular a la recta) y aplicar la fórmula del punto medio. Por eso conviene tener absolutamente automatizadas la proyección de un punto y la fórmula P' = 2M − P.

Vocabulario

→ Tarjetas

Perpendicular comúnÚnica recta que corta a dos rectas que se cruzan formando ángulo recto con ambas.
Pie de la perpendicularPunto donde la perpendicular encuentra al objeto; es el punto más cercano y el punto medio de la simetría.
Proyección ortogonalImagen de un punto o una recta al proyectar en la dirección normal al plano.
Plano proyectantePlano que contiene a la recta y es perpendicular al plano de proyección.
Punto simétricoP′ = 2M − P, con M el pie de la perpendicular o el centro de simetría.
Punto medioM = (P + P′)/2; la fórmula que verifica toda simetría en una sola línea.

Dirección de la perpendicular común a dos rectas

\vec{w} = \vec{v_1}\times\vec{v_2}

La perpendicular común a dos rectas que se cruzan tiene como vector director el producto vectorial de los directores, pues debe ser perpendicular a ambos.

Simétrico de P respecto de M (punto medio)

P' = 2M - P

Si M es el punto medio del segmento PP', el simétrico se obtiene como 2M − P. Sirve para la simetría respecto de un punto, y respecto de un plano o recta tomando M como el pie de la perpendicular.

Simétrico de un punto respecto de un plano

P \xrightarrow{\ \vec{n}\ } H = r_{P,\vec{n}} \cap \pi \;\Rightarrow\; P' = 2H - P

Se traza la recta por P en la dirección de la normal n, se corta con el plano para hallar el pie H (proyección ortogonal) y se aplica la fórmula del punto medio.

Ejemplo resuelto

Proyección ortogonal y punto simétrico respecto de un plano

Dado P(2, 3, 1) y el plano π: x + 2y − 2z − 3 = 0, halla la proyección ortogonal H de P sobre π y el simétrico P' de P respecto de π.

1. Recta perpendicular por P
La normal del plano es n = (1, 2, −2). La recta que pasa por P en la dirección de n tiene paramétricas x = 2 + t, y = 3 + 2t, z = 1 − 2t.
2. Corte con el plano
Sustituimos en π: (2 + t) + 2(3 + 2t) − 2(1 − 2t) − 3 = 0, es decir 2 + t + 6 + 4t − 2 + 4t − 3 = 0, que da 9t + 3 = 0, luego t = −1/3.
3. Pie de la perpendicular H
Sustituyendo t = −1/3: x = 2 − 1/3 = 5/3, y = 3 − 2/3 = 7/3, z = 1 + 2/3 = 5/3. Esa es la proyección ortogonal.
4. Simétrico con el punto medio
Como H es el punto medio de PP', aplicamos P' = 2H − P: P' = (10/3 − 2, 14/3 − 3, 10/3 − 1) = (4/3, 5/3, 7/3).

Resultado: La proyección ortogonal de P sobre π es H = (5/3, 7/3, 5/3) y el simétrico es P' = (4/3, 5/3, 7/3). Se comprueba que H = (P + P')/2 es el punto medio del segmento PP'.

Explicación paso a paso7 pasos

1
La perpendicular común a dos rectas que se cruzan es el problema más completo del tema: usa ecuaciones, producto vectorial, producto mixto y resolución de sistemas. Lo hacemos entero con estas dos rectas.
Las dos rectas
$r: \ A(1,0,1),\ \vec{v_{1}} = (1,2,0) \qquad s: \ B(0,1,0),\ \vec{v_{2}} = (0,1,1)$
Cada una viene dada por un punto y su vector director; con eso basta para todo lo que sigue.
2
Paso cero, que nunca hay que saltarse: comprobar que efectivamente se cruzan. Los directores no son proporcionales y el producto mixto con el vector AB no se anula, así que no son coplanarias.
Comprobación: se cruzan
$\overrightarrow{AB} = (-1,1,-1), \qquad [\,\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \overrightarrow{AB}\,] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -4 \neq 0$
Mixto distinto de cero significa que los tres vectores no caben en un plano; sin ser paralelas, las rectas no se cortan.
3
Paso uno: la dirección de la perpendicular común. Tiene que ser perpendicular a los dos directores a la vez, así que es su producto vectorial.
Dirección de la perpendicular común
$\vec{w} = \vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2,\,-1,\,1)$
Comprobación inmediata: w · v₁ = 2 − 2 + 0 = 0 y w · v₂ = 0 − 1 + 1 = 0, luego es perpendicular a ambas.
4
Paso dos: antes incluso de localizar los pies, ya tenemos la distancia entre las dos rectas. El mixto da el volumen del paralelepípedo y el módulo del producto vectorial da el área de su base; el cociente es la altura.
Distancia entre las dos rectas
$d(r,s) = \frac{\bigl|[\,\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \overrightarrow{AB}\,]\bigr|}{|\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}|} = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1{,}63$
|w| = √(4 + 1 + 1) = √6. Esta distancia es exactamente la longitud del segmento de la perpendicular común.
5
Paso tres: los pies. Se escribe un punto genérico de cada recta con su propio parámetro y se forma el vector que los une. Ese vector tiene que ser paralelo a w.
Los dos puntos genéricos
$P = (1+t,\ 2t,\ 1) \in r, \qquad Q = (0,\ 1+u,\ u) \in s, \qquad \overrightarrow{PQ} = \lambda\,\vec{w}$
Tres ecuaciones (una por coordenada) con tres incógnitas: t, u y λ. Es un sistema lineal ordinario.
6
Paso cuatro: se resuelve el sistema. Sale lambda igual a menos dos tercios y los dos parámetros iguales a un tercio, que es la coincidencia que delata que el planteamiento va bien.
El sistema de los pies
$\left\{\begin{aligned} -1-t &= 2\lambda \\ 1+u-2t &= -\lambda \\ u-1 &= \lambda \end{aligned}\right. \;\Longrightarrow\; \lambda = -\tfrac{2}{3},\quad t = u = \tfrac{1}{3}$
De la tercera ecuación u = 1 + λ; sustituida en la segunda da t = 1 + λ, y la primera cierra en λ = −2/3.
7
Paso cinco: se sustituyen los parámetros y aparecen los dos pies. El vector que los une es exactamente menos dos tercios de w, y su módulo coincide con la distancia calculada antes: esa coincidencia es la comprobación final del ejercicio.
Los pies y la comprobación
$P\left(\tfrac{4}{3}, \tfrac{2}{3}, 1\right), \quad Q\left(0, \tfrac{4}{3}, \tfrac{1}{3}\right), \quad \overrightarrow{PQ} = -\tfrac{2}{3}(2,-1,1), \quad |\overrightarrow{PQ}| = \tfrac{2\sqrt{6}}{3}$
La perpendicular común es la recta que pasa por P con dirección w; su longitud entre las dos rectas reproduce la distancia hallada con la fórmula.

Objetivo Selectividad

Hallar la perpendicular común a dos rectas que se cruzan, la proyección ortogonal de un punto o de una recta sobre un plano, y los elementos simétricos (punto respecto de punto, plano o recta; recta respecto de un plano), encadenando con rigor proyecciones y la fórmula del punto medio.
Estos problemas integran todo el tema y suelen valer una pregunta completa; se valora el orden del procedimiento (recta auxiliar, corte con el plano, punto medio) y la justificación de cada paso.
Automatiza la proyección de un punto sobre un plano en tres movimientos —recta por P con dirección n, sustituir en π, despejar t—; todo el apartado de simetrías cuelga de ahí.
Comprueba cada simétrico verificando que el pie es el punto medio, (P + P′)/2 = H; es una línea de cálculo que caza cualquier error de signo.

Errores frecuentes

Calcular el simétrico de un punto respecto de un plano olvidando que el pie de la perpendicular H es el PUNTO MEDIO, y escribir P' = H en vez de P' = 2H − P.
Tomar como dirección de la perpendicular común un vector que no es perpendicular a ambos directores; debe ser w = v₁ × v₂.
Para proyectar un punto sobre un plano, usar una dirección cualquiera en lugar de la normal n del plano, con lo que el pie obtenido no es el más cercano (no es la proyección ortogonal).
Proyectar una RECTA sobre un plano proyectando un solo punto: hacen falta dos puntos proyectados (o el punto de corte más otro proyectado) para determinar la recta imagen.

Repaso activo

Dado el punto P(2, 3, 1) y el plano π: x + 2y − 2z − 3 = 0, halla la proyección ortogonal H de P sobre π y el punto P' simétrico de P respecto del plano π. Comprueba que H es el punto medio del segmento PP'.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Áreas, volúmenes y problemas de incidencia y paralelismo#

~7 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido espacial (construcción del plano que contiene a una recta y pasa por un punto exterior, o a dos rectas paralelas o secantes; geometría afín de incidencia y paralelismo; áreas y volúmenes)

El último apartado integra los anteriores en dos frentes: la geometría AFÍN, que trata la incidencia (qué objetos pasan por dónde) y el paralelismo sin medir, y el cálculo de ÁREAS y VOLÚMENES de figuras del espacio mediante productos vectoriales y mixtos. Una destreza explícita del currículo es CONSTRUIR planos y rectas que cumplen condiciones de incidencia: el plano que contiene a una recta y pasa por un punto exterior, el plano que contiene a dos rectas paralelas o a dos rectas secantes, o la recta que pasa por un punto y corta a otras dos. La idea común es reunir un punto y dos direcciones independientes para fijar el plano (Fig. 5).

Construcción de planos por condiciones de incidencia

Fig. 5 ↓

Para hallar el PLANO que contiene a una recta r (punto A, director v) y pasa por un punto exterior P, se toma A como punto del plano y como direcciones v y AP (el vector de A a P). La normal es entonces n = v × AP, y se impone que pase por A. Para el plano que contiene a DOS RECTAS PARALELAS r y s, se usa un punto de cada una y la dirección común v; las dos direcciones del plano son v y el vector que une un punto de r con uno de s. Y para el plano que contiene a DOS RECTAS SECANTES, basta tomar el punto de corte (o un punto de cualquiera de ellas) y los dos directores v₁ y v₂ como direcciones del plano, con normal v₁ × v₂.

El cálculo de áreas se apoya en el producto vectorial. El ÁREA DE UN PARALELOGRAMO de lados los vectores u y v es el módulo de su producto vectorial, |u × v|; y el ÁREA DE UN TRIÁNGULO de vértices A, B y C es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados, es decir, ½·|AB × AC|. La razón geométrica es que el módulo del producto vectorial mide el área del paralelogramo definido por los dos vectores, del que el triángulo es exactamente la mitad. Estas fórmulas permiten medir superficies en el espacio sin recurrir a la trigonometría.

El cálculo de volúmenes se apoya en el producto mixto. El VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO de aristas los vectores u, v y w es el valor absoluto de su producto mixto, |[u, v, w]| = |det(u, v, w)|; y el VOLUMEN DE UN TETRAEDRO de vértices A, B, C y D es la sexta parte de ese valor, (1/6)·|[AB, AC, AD]|. El producto mixto da el volumen del paralelepípedo construido sobre los tres vectores, y el tetraedro ocupa exactamente un sexto de ese paralelepípedo. Por eso el producto mixto es, a la vez, el detector de coplanariedad (volumen cero) y la herramienta de cálculo de volúmenes (Fig. 6).

Tetraedro ABCD: área de una cara y volumen

Fig. 6 ↓

Estas herramientas se combinan en problemas completos. Por ejemplo, para comprobar que cuatro puntos son COPLANARIOS basta verificar que el producto mixto de los tres vectores que parten de uno de ellos es cero (volumen nulo del tetraedro). Para hallar la distancia de un punto a un plano definido por tres puntos, se puede combinar el volumen del tetraedro con el área de la base triangular: la altura (que es la distancia) es 3·V/Área de la base. Así, áreas y volúmenes no son solo fórmulas finales, sino piezas que se ensamblan con las posiciones relativas y las distancias para resolver los problemas de geometría del espacio más exigentes de la PAU.

Vocabulario

→ Tarjetas

IncidenciaRelación de pertenencia entre puntos, rectas y planos, sin medir nada.
ParalelismoIgualdad de direcciones (o de normales) entre dos objetos que no se cortan.
Plano por punto y dos direccionesConstrucción básica: un punto fija la posición y dos directores independientes, la orientación.
Área del triángulo½·|AB × AC|: la mitad del área del paralelogramo que definen dos de sus lados.
Volumen del tetraedro(1/6)·|[AB, AC, AD]|: la sexta parte del paralelepípedo construido sobre las tres aristas.
Altura de un tetraedroh = 3V/área de la base; permite obtener una distancia punto-plano sin hallar la ecuación del plano.

Área de un triángulo

\text{Área}_{\triangle ABC} = \tfrac{1}{2}\,\bigl|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr|

Es la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados, porque |AB×AC| es el área del paralelogramo del que el triángulo es la mitad.

Volúmenes con el producto mixto

V_{\text{paralelep.}} = \bigl|\,[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\,\bigr|, \qquad V_{\text{tetraedro}} = \tfrac{1}{6}\,\bigl|\,[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]\,\bigr|

El producto mixto da el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores; el tetraedro ocupa un sexto de ese paralelepípedo.

Ejemplo resuelto

Área de un triángulo y volumen de un tetraedro

Dados A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) y D(1, 1, 1), calcula el área del triángulo ABC y el volumen del tetraedro ABCD.

1. Vectores desde A
AB = B − A = (−1, 2, 0), AC = C − A = (−1, 0, 3) y AD = D − A = (0, 1, 1).
2. Producto vectorial AB × AC
AB × AC = (2·3 − 0·0, 0·(−1) − (−1)·3, (−1)·0 − 2·(−1)) = (6, 3, 2). Su módulo es √(36 + 9 + 4) = √49 = 7.
3. Área del triángulo
El área es la mitad del módulo del producto vectorial.
4. Volumen del tetraedro con el producto mixto
El producto mixto es AD·(AB × AC) = (0, 1, 1)·(6, 3, 2) = 0 + 3 + 2 = 5. El volumen es un sexto de su valor absoluto.

Resultado: El área del triángulo ABC es 7/2 = 3,5 unidades cuadradas (con el producto vectorial) y el volumen del tetraedro ABCD es 5/6 unidades cúbicas (con el producto mixto). Como el volumen no es cero, los cuatro puntos no son coplanarios.

Objetivo Selectividad

Construir el plano (o la recta) que cumple condiciones de incidencia y paralelismo, y calcular áreas de triángulos y paralelogramos con el producto vectorial y volúmenes de tetraedros y paralelepípedos con el producto mixto.
Se evalúa la elección correcta de punto y direcciones para definir un plano y la aplicación de las fórmulas de área y volumen; un problema típico pide construir un plano por incidencia y luego una medida (área, volumen o distancia) asociada.
Para definir un plano hacen falta un punto y DOS direcciones independientes; comprueba que su producto vectorial no sale nulo antes de continuar.
Si piden la distancia de un punto al plano determinado por otros tres, hay dos vías —la fórmula punto-plano tras hallar la ecuación, o altura = 3V/área de la base—: elige una y dilo.

Errores frecuentes

Olvidar el factor 1/2 en el área del triángulo o el factor 1/6 en el volumen del tetraedro, dando el área del paralelogramo o el volumen del paralelepípedo en su lugar.
Para construir un plano por una recta y un punto exterior, tomar como segunda dirección un vector que no es independiente del director (por ejemplo, otro punto de la misma recta), con lo que el producto vectorial sale nulo.
Confundir coplanariedad con paralelismo: cuatro puntos son coplanarios si el producto mixto es cero, no por que algún par de vectores sea proporcional.
Buscar el plano que contiene a dos rectas que SE CRUZAN: no existe. Solo hay plano común si las rectas son paralelas o secantes, así que conviene comprobarlo antes de empezar.

Repaso activo

Dados los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) y D(1, 1, 1), calcula el área del triángulo ABC y el volumen del tetraedro ABCD. Indica qué producto (vectorial o mixto) usas en cada caso.

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Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

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Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Geometría en el espacio

Puntos clave

Plano por punto y dos directores; recta por punto y normal

Puntos clave

Clasificación de dos rectas mediante el producto mixto

Puntos clave

Distancia punto-plano y ángulo recta-plano

Puntos clave

Proyección ortogonal y punto simétrico respecto de un plano

Puntos clave

Área de un triángulo y volumen de un tetraedro

Fuentes