ES · Selectividad

Matrices y determinantes

Las matrices son el lenguaje con el que el Álgebra Lineal organiza datos y relaciones, y los determinantes son el número que condensa la información esencial de una matriz cuadrada. Este tema, perteneciente a los sentidos numérico y algebraico de Matemáticas II, construye toda la herramienta de cálculo —operaciones, potencias, determinantes, inversa y rango— sobre la que después se apoyan los sistemas de ecuaciones lineales y la geometría del espacio. En la Selectividad / PAU es un bloque de presencia constante, tanto como pregunta propia (cálculo de inversas, determinantes con propiedades, rango con parámetro) como herramienta para resolver el resto del bloque de Álgebra.

5 secciones~29 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

T·0555 / 12

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas aplicando estrategias: representación matricial de datos y de relaciones, y cálculo con matrices, determinantes, inversa y rango.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas: las matrices como modelo de grafos, de procesos cíclicos, de la economía y de la informática.CE7 · Reconocer el patrimonio matemático y su evolución, valorando la aportación de Cayley, Sylvester y Gauss a la teoría de matrices y de determinantes.

Operadores:calculaanalizajustificademuestrainterpretarazonarelacionatraducediscute

nivel básico

Como materia de modalidad, todo el contenido es exigible: domina con seguridad las operaciones, el cálculo de determinantes 2x2 y 3x3, la inversa y el rango, porque son la base operativa del resto del bloque de Álgebra.

nivel avanzado

Profundiza en las propiedades de los determinantes (efecto de las operaciones elementales sobre el valor del determinante), en las potencias en situaciones cíclicas y en la discusión del rango de matrices dependientes de uno o varios parámetros, que es donde la PAU exige razonamiento y no solo cálculo.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Matrices y determinantes

5 secciones20 puntos clave17 fórmulas20 errores típicos

Tipos de matrices y operaciones#

~6 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido numérico / Sentido algebraico — conjuntos de matrices: estructura y propiedades; tipos de matrices; adición, producto y producto por escalar

Una matriz de orden m×n es una tabla rectangular de números reales dispuestos en m filas y n columnas; el elemento que ocupa la fila i y la columna j se denota a_{ij}. Lejos de ser una simple tabla, una matriz es un objeto algebraico con operaciones propias: representa datos estructurados (ventas por producto y mes, conexiones de un grafo, coeficientes de un sistema) y, sobre todo, transformaciones. Comprender esta doble naturaleza —dato y operador— es la clave para entender todo el tema y su lugar dentro del bloque de Álgebra de Matemáticas II.

El currículo exige conocer y distinguir los tipos fundamentales de matrices (Fig. 1). Según la forma: matriz fila (1×n), matriz columna (m×1) y matriz cuadrada (n×n, con su diagonal principal a_{11}, a_{22}, …, a_{nn}). Entre las cuadradas destacan la matriz diagonal (todo cero fuera de la diagonal), la triangular superior o inferior (ceros por debajo o por encima de la diagonal), la matriz nula (todos los elementos cero) y la matriz identidad I_n (unos en la diagonal y ceros fuera), que actúa como elemento neutro del producto.

Tipos fundamentales de matrices cuadradas

Fig. 1 ↓

La matriz traspuesta A^t se obtiene intercambiando filas por columnas: el elemento a_{ij} de A pasa a ocupar la posición ji en A^t. A partir de ella se definen dos tipos clave para la Selectividad: una matriz es simétrica si A^t = A (es simétrica respecto de la diagonal principal) y antisimétrica si A^t = −A (lo que obliga a tener ceros en la diagonal principal, pues a_{ii} = −a_{ii}). Conviene recordar que cualquier matriz cuadrada se descompone como suma de una simétrica y una antisimétrica.

Las operaciones son tres. La adición A + B se hace elemento a elemento y solo entre matrices del mismo orden; es conmutativa y asociativa. El producto por un escalar λ·A multiplica cada elemento por λ. El producto de matrices A·B exige que el número de columnas de A coincida con el número de filas de B: si A es m×n y B es n×p, el resultado es m×p, y el elemento de la posición ij es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B (Fig. 2). La advertencia capital del tema es que el producto de matrices NO es conmutativo: en general A·B ≠ B·A, e incluso uno de los dos productos puede no estar definido. Sí cumple la asociatividad y la distributividad respecto de la suma, y tiene a la identidad como neutro.

Mecanismo del producto fila por columna

Fig. 2 ↓

Estas propiedades configuran una estructura algebraica rica pero llena de trampas respecto a la aritmética habitual: como el producto no es conmutativo, fórmulas como (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 son falsas en general (lo correcto es A^2 + AB + BA + B^2); además, A·B = 0 no implica que A = 0 o B = 0, de modo que no existe la «ley de cancelación» sin más. Manejar con soltura estas reglas es el cimiento de todo el bloque.

Vocabulario

→ Tarjetas

Orden de una matrizPar m×n que da su número de filas y de columnas; condiciona qué operaciones son posibles.
Diagonal principalElementos a₁₁, a₂₂, …, aₙₙ de una matriz cuadrada; la traza es su suma.
Matriz identidadIₙ, con unos en la diagonal y ceros fuera; es el elemento neutro del producto.
Matriz traspuestaAᵗ, resultado de intercambiar filas por columnas; existe para cualquier matriz.
Matriz simétricaCumple Aᵗ = A; es simétrica respecto de la diagonal principal y necesariamente cuadrada.
Producto fila por columnaRegla del producto: el elemento ij es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B.

Producto de matrices

(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\, b_{kj}

El elemento ij del producto es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B; exige que el número de columnas de A iguale el de filas de B.

Traspuesta, simetría y antisimetría

(A^{t})_{ij} = a_{ji}, \qquad A \text{ simétrica} \iff A^{t}=A, \qquad A \text{ antisimétrica} \iff A^{t}=-A

La traspuesta intercambia filas y columnas; una matriz simétrica coincide con su traspuesta y una antisimétrica es su opuesta (con diagonal nula).

Identidad y no conmutatividad

A\cdot I_{n}=I_{n}\cdot A = A, \qquad A\cdot B \neq B\cdot A \text{ (en general)}

La matriz identidad es el neutro del producto; el producto matricial es asociativo y distributivo, pero no conmutativo.

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Ejemplo resuelto

Producto de matrices y no conmutatividad

Dadas A = (1 2 ; 3 1) y B = (2 0 ; 1 4), calcula A·B y B·A y comprueba que el producto no es conmutativo.

Plantear A·B
Cada elemento es la fila de A por la columna de B. Primera fila: (1·2 + 2·1, 1·0 + 2·4) = (4, 8). Segunda fila: (3·2 + 1·1, 3·0 + 1·4) = (7, 4).
Plantear B·A
Ahora la fila de B por la columna de A. Primera fila: (2·1 + 0·3, 2·2 + 0·1) = (2, 4). Segunda fila: (1·1 + 4·3, 1·2 + 4·1) = (13, 6).
Comparar
Los dos productos están bien definidos y dan resultados distintos, lo que confirma que el producto de matrices no es conmutativo.

Resultado: A·B = (4 8 ; 7 4) y B·A = (2 4 ; 13 6); como A·B ≠ B·A, el producto matricial no es conmutativo.

Errores frecuentes

Aplicar la conmutatividad del producto (escribir A·B = B·A) o usar identidades algebraicas del tipo (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 sin tener en cuenta que el producto matricial no conmuta.
Intentar multiplicar matrices con dimensiones incompatibles (columnas de A distintas de filas de B), o sumar matrices de órdenes diferentes.
Confundir la traspuesta con la inversa: A^t se obtiene intercambiando filas por columnas y existe siempre; A^{-1} exige |A| ≠ 0.
Colocar un elemento no nulo en la diagonal de una matriz antisimétrica: de a_{ii} = −a_{ii} se sigue a_{ii} = 0, así que esa diagonal es toda ceros.

Repaso activo

Dadas A = (1 2 ; 3 1) y B = (2 0 ; 1 4), calcula A·B y B·A, comprueba que A·B ≠ B·A y determina además A·B^t.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)) · Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Potencias de matrices y situaciones cíclicas#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido numérico — potencia de una matriz cuadrada: cálculo en situaciones cíclicas

La potencia de una matriz cuadrada se define del modo natural: A^n = A·A·…·A (n factores), con la convención A^0 = I. Como la matriz se multiplica por sí misma, el orden no plantea problema, pero el cálculo directo de A^n para n grande es inviable; por eso el currículo se centra precisamente en las llamadas situaciones cíclicas, en las que las potencias se repiten con un período fijo y permiten dar una fórmula cerrada de A^n para cualquier n.

Una matriz presenta comportamiento cíclico (o periódico) cuando existe un entero p tal que A^p = I (o, de forma más débil, A^p = A). A partir de ahí, las potencias se repiten: A^{p+1} = A, A^{p+2} = A^2, etc. La estrategia de la Selectividad consiste en calcular las primeras potencias A^2, A^3, A^4, … hasta detectar el patrón, identificar el período p y entonces reducir el exponente mediante el resto de la división: A^n = A^{r}, donde r es el resto de dividir n entre p (Fig. 3).

Ciclo de potencias de período 4

Fig. 3 ↓

Conviene reconocer dos patrones recurrentes. El primero, las potencias que vuelven a la identidad: por ejemplo, la matriz de un «giro» como (0 1 ; −1 0) cumple A^2 = −I, A^3 = −A, A^4 = I, de modo que su período es 4 y A^n depende solo de n módulo 4. El segundo, las matrices del tipo A = I + N donde N es nilpotente (alguna potencia de N es nula, N^k = 0): entonces el binomio de Newton —que SÍ es válido porque I y N conmutan— se trunca en pocos términos, y se obtiene una fórmula polinómica en n para A^n.

El binomio de Newton merece una advertencia explícita. La fórmula (A + B)^n = Σ C(n,k) A^{n−k} B^k SOLO es válida cuando A y B conmutan (A·B = B·A); en particular vale si una de ellas es la identidad o un múltiplo suyo. Cuando A = I + N, como I conmuta con todo, A^n = Σ C(n,k) N^k, y al ser N nilpotente la suma tiene muy pocos términos no nulos. Este es uno de los recursos más elegantes y más pedidos del tema.

Las potencias cíclicas no son un capricho: modelizan procesos que se repiten en el tiempo —rotaciones, permutaciones, transiciones de estados en un grafo, evolución periódica de un sistema—, lo que conecta directamente con la competencia CE6 (vínculos con la informática, la economía o la física).

Vocabulario

→ Tarjetas

Potencia n-ésimaAⁿ = A·A·…·A con n factores, y por convenio A⁰ = I.
Matriz periódicaLa que cumple A^p = I (o A^p = A) para algún p; sus potencias se repiten en ciclo.
PeríodoEl menor p con A^p = I; permite reducir Aⁿ a A^r con r el resto de dividir n entre p.
Matriz nilpotenteMatriz N con N^k = 0 para algún k; trunca el binomio de Newton en pocos términos.
Binomio de Newton matricialDesarrollo de (A + B)ⁿ, válido SOLO si A y B conmutan; el caso típico es A = I + N.
InducciónDemostración en tres pasos (base, hipótesis, paso) con la que se valida la fórmula conjeturada de Aⁿ.

Definición de potencia

A^{n}=\underbrace{A\cdot A\cdots A}_{n}, \qquad A^{0}=I, \qquad A^{m+n}=A^{m}\cdot A^{n}

La potencia n-ésima es el producto de A por sí misma n veces; cumple las reglas usuales de exponentes porque A conmuta consigo misma.

Reducción cíclica del exponente

\text{Si } A^{p}=I \ \Rightarrow\ A^{n}=A^{\,r}, \quad r = n \bmod p

Si las potencias tienen período p, basta reducir el exponente al resto de dividir n entre p para conocer A^n.

Binomio de Newton (matrices que conmutan)

(I+N)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} N^{k}, \qquad \text{válido porque } I N = N I

Solo es lícito cuando los sumandos conmutan; con N nilpotente (N^k=0) la suma se trunca y da una fórmula cerrada de la potencia.

Ejemplo resuelto

Potencia n-ésima por el binomio de Newton

Sea A = (1 1 ; 0 1). Halla A^n para todo n natural.

Descomponer A
Escribimos A = I + N, con I la identidad 2x2 y N = (0 1 ; 0 0). Comprobamos que N es nilpotente: N^2 = (0 0 ; 0 0).
Aplicar el binomio
Como I conmuta con N, vale el binomio: A^n = (I+N)^n = Σ C(n,k) N^k. Al ser N^2 = 0, solo sobreviven los términos k=0 y k=1.
Escribir el resultado
Sumando I y nN obtenemos la matriz con un n en la esquina superior derecha.
Comprobar
Para n=2 da (1 2 ; 0 1) y para n=3 da (1 3 ; 0 1), que coinciden con el cálculo directo A^2 y A^3.

Resultado: A^n = (1 n ; 0 1) para todo n natural, obtenido con el binomio de Newton al ser N nilpotente.

Errores frecuentes

Aplicar el binomio de Newton (A+B)^n sin comprobar que A y B conmutan; con matrices generales la fórmula es falsa.
Detectar mal el período (confundir A^4 = I con A^3 = I) o equivocarse al calcular el resto del exponente, lo que da una potencia errónea.
Escribir (A·B)ⁿ = Aⁿ·Bⁿ: solo es cierto si A y B conmutan; en general los factores se intercalan y no pueden separarse.
Anunciar el período tras calcular únicamente A²: una coincidencia en la segunda potencia no es un patrón; hay que llegar al menos a A³ o A⁴ antes de afirmarlo.

Repaso activo

Sea A = (1 1 ; 0 1). Calcula A^2 y A^3, conjetura la forma de A^n y demuéstrala (puedes escribir A = I + N con N = (0 1 ; 0 0) y usar el binomio de Newton).

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob) · Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Determinantes: definición, cálculo y propiedades#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido numérico — determinantes: definición, propiedades y cálculo (regla de Sarrus, adjuntos)

El determinante es un número real que se asigna a cada matriz CUADRADA y que condensa información esencial sobre ella: si vale cero, la matriz es singular (no tiene inversa, sus filas son linealmente dependientes); si es distinto de cero, la matriz es regular (invertible y de rango máximo). Geométricamente, el determinante mide el factor por el que la matriz dilata las áreas (en 2×2) o los volúmenes (en 3×3), lo que explica por qué reaparece en el cálculo de áreas y volúmenes con vectores.

Para una matriz 2×2, el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria: |A| = a·d − b·c. Para una matriz 3×3 disponemos de la regla de Sarrus, que suma los tres productos «descendentes» (la diagonal principal y sus paralelas) y resta los tres «ascendentes» (la diagonal secundaria y sus paralelas), como muestra la Fig. 4. La regla de Sarrus es exclusiva del orden 3: NO se puede extender a 4×4.

Regla de Sarrus para un determinante 3x3

Fig. 4 ↓

El método general, válido para cualquier orden, es el desarrollo por adjuntos (o por cofactores, teorema de Laplace): se elige una fila o columna y se desarrolla el determinante como suma de cada elemento por su adjunto. El menor complementario M_{ij} es el determinante que queda al suprimir la fila i y la columna j; el adjunto es A_{ij} = (−1)^{i+j} M_{ij}, donde el signo sigue el «tablero de ajedrez» de signos alternados. Conviene desarrollar siempre por la fila o columna con más ceros, porque cada cero anula un sumando entero.

Las propiedades de los determinantes son tan importantes como el cálculo, y la Selectividad las explota a fondo. Las principales: el determinante de la traspuesta coincide con el de la matriz (|A^t| = |A|); si se intercambian dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo; si una fila se multiplica por un escalar λ, el determinante queda multiplicado por λ (y por tanto |λA| = λ^n |A| en orden n); si dos filas son iguales o proporcionales el determinante es cero; el determinante no varía si a una fila le sumamos una combinación lineal de las otras (clave para «hacer ceros» antes de desarrollar); y el determinante del producto es el producto de los determinantes: |A·B| = |A|·|B|.

De estas propiedades se deduce inmediatamente una relación muy útil: |A^{-1}| = 1/|A| (tomando determinantes en A·A^{-1} = I). Además, un determinante de una matriz triangular es simplemente el producto de los elementos de su diagonal principal, lo que sugiere una estrategia muy eficaz: triangular la matriz mediante operaciones que no alteren (o alteren de forma controlada) el determinante, y multiplicar la diagonal.

Vocabulario

→ Tarjetas

Matriz regularAquella con |A| ≠ 0: es invertible y su rango es máximo.
Matriz singularAquella con |A| = 0: no tiene inversa y sus filas son linealmente dependientes.
Menor complementarioM_{ij}, determinante que queda al suprimir la fila i y la columna j.
Adjunto (cofactor)A_{ij} = (−1)^{i+j}·M_{ij}: el menor con el signo del tablero de ajedrez.
Regla de SarrusMétodo exclusivo del orden 3: tres productos descendentes menos tres ascendentes.
Desarrollo por adjuntosTeorema de Laplace: se desarrolla por la fila o columna con más ceros, válido en cualquier orden.

Determinante de orden 2

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc

Producto de la diagonal principal menos el de la secundaria.

Regla de Sarrus (orden 3)

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}

Suma de los tres productos descendentes menos los tres ascendentes; exclusiva del orden 3.

Desarrollo por adjuntos (fila i)

\det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\,(-1)^{i+j}M_{ij}

Cada elemento por su adjunto, con el signo del tablero de ajedrez; M_{ij} es el menor complementario. Válido para cualquier orden.

Propiedades clave

|A^{t}|=|A|, \quad |A\cdot B|=|A|\cdot|B|, \quad |\lambda A|=\lambda^{n}|A|, \quad |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}

El determinante respeta la trasposición y el producto, escala con la potencia n del escalar y se invierte al invertir la matriz.

Ejemplo resuelto

Determinante 3x3 por Sarrus y por adjuntos

Calcula el determinante de A = (2 1 −1 ; 0 3 2 ; 1 0 4).

Regla de Sarrus — descendentes
Productos descendentes: 2·3·4 + 1·2·1 + (−1)·0·0 = 24 + 2 + 0 = 26.
Regla de Sarrus — ascendentes
Productos ascendentes (que se restan): (−1)·3·1 + 2·2·0 + 1·0·4 = −3 + 0 + 0 = −3.
Combinar
El determinante es la suma de descendentes menos ascendentes: 26 − (−3) = 29.
Comprobar por adjuntos (1ª columna)
Desarrollando por la primera columna: 2·det(3 2 ; 0 4) − 0·(…) + 1·det(1 −1 ; 3 2) = 2·(12) + 1·(2−(−3)) = 24 + 5 = 29. Coincide.

Resultado: |A| = 29 (coincide por Sarrus y por desarrollo por adjuntos).

Objetivo Selectividad

Calcular determinantes 3×3 por Sarrus o por adjuntos, y determinantes de orden 4 (o con parámetros) haciendo ceros con operaciones elementales antes de desarrollar.
Se evalúa especialmente el uso razonado de las propiedades: deducir el valor de un determinante a partir de otro conocido tras multiplicar una fila por un escalar, intercambiar filas o sumar combinaciones lineales, sin recalcularlo desde cero.
Antes de desarrollar, haz ceros en una fila o columna sumándole combinación lineal de las otras —esa operación NO altera el determinante— y desarrolla por ella; es la diferencia entre dos líneas de cálculo y diez.
Si el enunciado da |A| y pregunta por |2A|, |Aᵗ|, |A^{-1}| o |A³|, responde con las propiedades sin escribir ni una matriz: en orden n, |2A| = 2ⁿ·|A|.

Errores frecuentes

Aplicar la regla de Sarrus a matrices que no son 3×3 (no existe Sarrus para orden 4) o equivocar los signos de las diagonales ascendentes.
Olvidar el signo (−1)^{i+j} del adjunto, o creer que |A+B| = |A| + |B| (falso: el determinante no es lineal respecto de la suma de matrices).
Escribir |2A| = 2·|A|: el escalar multiplica CADA una de las n filas, de modo que |2A| = 2ⁿ·|A| —en orden 3, ocho veces el original—.
Cambiar el signo al trasponer: |Aᵗ| = |A| siempre; lo que cambia de signo es el intercambio de dos filas o de dos columnas.

Repaso activo

Calcula el determinante de la matriz A = (2 1 −1 ; 0 3 2 ; 1 0 4) por la regla de Sarrus y, después, por desarrollo por la primera columna, comprobando que coinciden.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Matriz inversa: cálculo por adjuntos y por Gauss#

~5 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido numérico — matriz inversa: definición, propiedades y cálculo

La matriz inversa de una matriz cuadrada A es la única matriz A^{-1} que cumple A·A^{-1} = A^{-1}·A = I. No toda matriz cuadrada la tiene: una matriz es invertible (regular) si y solo si su determinante es distinto de cero; si |A| = 0 se llama singular y carece de inversa. La inversa es la pieza que permite «despejar» en las ecuaciones matriciales y resolver sistemas de forma compacta, por lo que es uno de los contenidos más rentables del bloque de Álgebra.

El primer método es el cálculo por adjuntos. Se construye la matriz de adjuntos o cofactores (cuyos elementos son A_{ij} = (−1)^{i+j} M_{ij}) y su traspuesta se divide por el determinante. La fórmula es A^{-1} = (1/|A|)·(Adj A)^t, donde (Adj A) es la matriz cuyos elementos son los adjuntos A_{ij} = (−1)^{i+j} M_{ij}. El procedimiento ordenado es: (1) comprobar |A| ≠ 0; (2) calcular todos los menores complementarios; (3) aplicar el tablero de signos para obtener los adjuntos; (4) trasponer; (5) dividir por |A| (Fig. 5). El orden de los pasos (trasponer y dividir) es donde más errores se cometen.

Pasos del cálculo de la inversa por adjuntos

Fig. 5 ↓

El segundo método es la inversa por el método de Gauss-Jordan. Se forma la matriz ampliada (A | I) y, mediante operaciones elementales por filas (intercambiar filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra), se transforma A en la identidad; las mismas operaciones convierten la I de la derecha en A^{-1}: (A | I) → (I | A^{-1}). Es especialmente eficiente para órdenes 3 y superiores, donde el método de adjuntos se vuelve laborioso. Si en el proceso aparece una fila de ceros en la parte izquierda, la matriz no es invertible.

Las propiedades de la inversa estructuran su uso. La inversa de un producto invierte el orden: (A·B)^{-1} = B^{-1}·A^{-1} (otra manifestación de la no conmutatividad). Además, (A^{-1})^{-1} = A, (A^t)^{-1} = (A^{-1})^t y |A^{-1}| = 1/|A|. La regla de inversión del orden en el producto es decisiva al resolver ecuaciones matriciales: hay que multiplicar por la inversa por el lado correcto (por la izquierda o por la derecha), porque el producto no conmuta.

La inversa es la herramienta natural para resolver ecuaciones matriciales del tipo A·X = B o X·A = B: si A es invertible, se despeja X = A^{-1}·B (multiplicando por la izquierda) o X = B·A^{-1} (multiplicando por la derecha), respetando siempre el lado. Esta técnica enlaza directamente con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante la expresión matricial AX = b, que se estudia en el tema siguiente.

Vocabulario

→ Tarjetas

Matriz inversaÚnica A^{-1} con A·A^{-1} = A^{-1}·A = I; existe si y solo si |A| ≠ 0.
Matriz de adjuntosLa formada por los cofactores A_{ij}; su traspuesta dividida por |A| es la inversa.
Gauss-JordanMétodo que lleva (A | I) hasta (I | A^{-1}) mediante operaciones elementales por filas.
Operación elemental por filasIntercambiar filas, multiplicar una por un escalar no nulo o sumarle un múltiplo de otra.
Ecuación matricialIgualdad con una matriz incógnita, del tipo A·X = B o X·A = B; el lado importa.
Matriz ampliada (A | I)Yuxtaposición de A y la identidad sobre la que actúa Gauss-Jordan.

Definición y condición de existencia

A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I, \qquad A^{-1} \text{ existe} \iff |A|\neq 0

La inversa es el neutro multiplicativo por ambos lados; existe exactamente cuando el determinante no se anula.

Inversa por adjuntos

A^{-1}=\frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^{t}

Se construye la matriz de adjuntos (cofactores con signo), se traspone y se divide por el determinante.

Inversa por Gauss-Jordan

(A\mid I) \xrightarrow{\;\text{operaciones de fila}\;} (I\mid A^{-1})

Las operaciones elementales que llevan A a la identidad transforman la identidad en la inversa.

Propiedades de la inversa

(A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}, \qquad (A^{-1})^{-1}=A, \qquad (A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}

La inversa de un producto invierte el orden de los factores; la inversa es involutiva y conmuta con la trasposición.

Ejemplo resuelto

Inversa de una matriz 3x3 por adjuntos

Calcula la inversa de C = (1 0 1 ; 2 1 0 ; 1 1 1) por el método de los adjuntos.

Determinante
Por adjuntos sobre la primera fila: |C| = 1·(1·1 − 0·1) − 0 + 1·(2·1 − 1·1) = 1·1 + 1·1 = 2 ≠ 0, así que C es invertible.
Matriz de adjuntos
Calculamos los nueve adjuntos A_{ij} = (−1)^{i+j}M_{ij}: A11=1, A12=−2, A13=1; A21=1, A22=0, A23=−1; A31=−1, A32=2, A33=1.
Trasponer
Trasponemos la matriz de adjuntos intercambiando filas por columnas.
Dividir por |C|
Dividimos cada elemento por el determinante (2) para obtener la inversa.
Verificar
Multiplicando C·C^{-1} se obtiene la identidad I, lo que confirma el resultado.

Resultado: C^{-1} = (1/2)·(1 1 −1 ; −2 0 2 ; 1 −1 1), es decir (0,5 0,5 −0,5 ; −1 0 1 ; 0,5 −0,5 0,5).

Errores frecuentes

Olvidar trasponer la matriz de adjuntos (o trasponer al final en vez de antes de dividir), y descuidar los signos (−1)^{i+j} de los cofactores.
Despejar mal en una ecuación matricial multiplicando por la inversa por el lado equivocado (escribir X = A^{-1}B cuando la ecuación es XA = B, donde lo correcto es X = BA^{-1}).
Dividir por una matriz: en álgebra matricial la división no existe; solo se multiplica por la inversa, y por un lado concreto.
Escribir (A·B)^{-1} = A^{-1}·B^{-1}: la inversa de un producto invierte el orden de los factores, (A·B)^{-1} = B^{-1}·A^{-1}.

Repaso activo

Dada la matriz C = (1 0 1 ; 2 1 0 ; 1 1 1), comprueba que es invertible y calcula su inversa por el método de los adjuntos; verifica el resultado comprobando que C·C^{-1} = I.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Rango de una matriz (con y sin parámetros)#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido numérico / Sentido algebraico — cálculo del rango de una matriz, posiblemente dependiente de parámetros, por Gauss o por determinantes; matrices para representar datos y situaciones de contexto real

El rango de una matriz es el número de filas (equivalentemente, de columnas) linealmente independientes que contiene. Es una medida de la «información efectiva» de la matriz y resulta ser el concepto que articula todo el bloque de Álgebra: el rango decide si una matriz es invertible (una matriz n×n es regular si y solo si su rango es n) y, mediante el teorema de Rouché-Frobenius del tema siguiente, decide la compatibilidad y el tipo de solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Hay dos métodos para calcularlo. Por menores (determinantes): el rango es el orden del mayor menor no nulo que se puede extraer de la matriz; se busca, de forma orlada, un menor de orden 1 no nulo, luego uno de orden 2 que lo contenga, y así sucesivamente, hasta que no haya ningún menor de orden superior distinto de cero. Por el método de Gauss: se escalona la matriz mediante operaciones elementales por filas (que no alteran el rango) y se cuenta el número de filas no nulas (escalones) que quedan (Fig. 6). En la práctica, Gauss suele ser más rápido para matrices grandes y los menores son cómodos cuando hay un parámetro.

Cálculo del rango por el método de Gauss

Fig. 6 ↓

El contenido estrella de la Selectividad es la discusión del rango de una matriz que depende de uno o varios parámetros. La estrategia con determinantes es: tomar el mayor menor posible (si la matriz es cuadrada, su propio determinante), igualarlo a cero y resolver la ecuación en el parámetro; esos valores son los «valores críticos». Para los valores del parámetro que NO anulan el determinante, el rango es máximo; para cada valor crítico se sustituye y se recalcula el rango con un menor de orden inferior. Así se obtiene una discusión completa, normalmente por casos.

Las operaciones elementales por filas conservan el rango: intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo y sumar a una fila un múltiplo de otra no cambian el número de filas independientes. Esto justifica el método de Gauss y, además, permite simplificar una matriz antes de calcular menores. Conviene recordar que el rango de A coincide con el rango de su traspuesta (rg A = rg A^t), de modo que se puede trabajar indistintamente por filas o por columnas.

Una matriz es invertible exactamente cuando su rango es máximo (igual a su orden) o, equivalentemente, cuando su determinante es no nulo: las tres condiciones —determinante ≠ 0, rango máximo, filas linealmente independientes— son distintas formas de decir lo mismo. Esta equivalencia es la columna vertebral del álgebra lineal de Matemáticas II y enlaza este tema con la inversa, los sistemas y la geometría. Las matrices, por lo demás, sirven para representar datos estructurados y situaciones reales —matrices de adyacencia de grafos, tablas de transición, datos económicos—, donde el rango informa de cuánta «independencia» real hay en esos datos (competencias CE1 y CE6).

Vocabulario

→ Tarjetas

RangoNúmero de filas (o columnas) linealmente independientes; coincide con rg(Aᵗ).
Menor de orden kDeterminante de una submatriz k×k obtenida eligiendo k filas y k columnas.
OrladoAmpliación de un menor no nulo con una fila y una columna más, para subir el rango un escalón.
EscalonamientoReducción por Gauss a forma escalonada; el rango es el número de filas no nulas resultantes.
Valor críticoValor del parámetro que anula el menor de mayor orden y obliga a estudiar un caso aparte.
Independencia linealNinguna fila es combinación de las demás; es lo que el rango cuenta.

Dos definiciones operativas del rango

\operatorname{rg}(A)=\text{orden del mayor menor no nulo}=\text{número de filas no nulas tras escalonar}

Por menores: el mayor orden con determinante no nulo. Por Gauss: el número de escalones (filas no nulas) tras escalonar.

Rango máximo e invertibilidad

A_{n\times n} \text{ invertible} \iff |A|\neq 0 \iff \operatorname{rg}(A)=n

Para una matriz cuadrada, tener rango máximo equivale a determinante no nulo y a ser invertible.

Invariancia del rango

\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{t}), \qquad \text{las operaciones elementales por filas conservan el rango}

El rango por filas y por columnas coincide, y no cambia bajo operaciones elementales por filas.

Ejemplo resuelto

Discusión del rango de una matriz con parámetro

Discute, según los valores del parámetro real m, el rango de M = (1 1 1 ; 1 m 1 ; 1 1 m).

Calcular el determinante
Desarrollando (por ejemplo restando la primera fila a las otras dos) se obtiene un determinante factorizado. El cálculo da |M| = (m−1)^2.
Valores críticos
Igualamos a cero: (m−1)^2 = 0 ⟹ m = 1. Ese es el único valor crítico.
Caso m ≠ 1
Si m ≠ 1, el determinante es distinto de cero, luego la matriz tiene rango máximo: rg(M) = 3.
Caso m = 1
Sustituyendo m = 1, las tres filas son iguales a (1, 1, 1). Solo hay una fila independiente, así que rg(M) = 1.

Resultado: Si m ≠ 1, rg(M) = 3; si m = 1, rg(M) = 1.

Explicación paso a paso7 pasos

1
La discusión del rango con parámetro es el ejercicio que más se repite de todo el bloque de Álgebra, y también el que peor se presenta. Lo hacemos entero sobre la matriz simétrica A que tiene el parámetro a en la diagonal y unos fuera.
La matriz que vamos a discutir
$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$
Cuadrada de orden 3, con un único parámetro a en la diagonal principal; el rango podrá valer 3, 2 o 1.
2
Paso uno: como la matriz es cuadrada, el menor de mayor orden es su propio determinante. Lo calculamos en función de a y lo dejamos factorizado, porque lo que interesa son sus raíces, no su forma desarrollada.
El determinante en función del parámetro
$|A| = a^{3} - 3a + 2 = (a-1)^{2}\,(a+2)$
Desarrollado por la primera fila; la factorización deja a la vista las dos raíces, que son los valores críticos.
3
Paso dos: se iguala a cero. Salen dos valores críticos, a = 1 (doble) y a = −2. Todo el resto de la recta real forma el caso genérico, y esos dos números son los únicos que habrá que estudiar aparte.
Los valores críticos
$(a-1)^{2}(a+2) = 0 \iff a = 1 \ \text{o} \ a = -2$
Son los únicos valores del parámetro para los que el determinante se anula y, por tanto, el rango puede bajar.
4
Paso tres: el caso genérico. Si a es distinto de 1 y de −2, el determinante no se anula, la matriz es regular y el rango es máximo. Una línea, y es el caso que cubre casi todos los valores.
Caso genérico
$a \neq 1 \ \text{y} \ a \neq -2 \;\Longrightarrow\; |A| \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A) = 3$
Determinante no nulo equivale a rango máximo y a filas linealmente independientes: son tres formas de decir lo mismo.
5
Paso cuatro: sustituimos a = 1. La matriz se convierte en la que tiene todos los elementos iguales a uno; las tres filas coinciden, así que solo hay una fila independiente y el rango cae hasta 1. Es el descenso más brusco posible.
Caso a = 1
$a = 1: \quad A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A) = 1$
Las tres filas son iguales, luego solo una es independiente; cualquier menor de orden 2 vale cero.
6
Paso cinco: sustituimos a = −2. Ahora el determinante también se anula, pero las filas no coinciden. Basta encontrar UN menor de orden dos distinto de cero para asegurar que el rango es exactamente 2; el de las dos primeras filas y columnas vale tres.
Caso a = −2
$a = -2: \quad \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A) = 2$
El determinante de orden 3 es nulo, pero existe un menor de orden 2 no nulo: el rango es exactamente 2.
7
Y así se escribe la respuesta: tres casos, cada uno con su encabezado y su rango. Ese formato es el que el corrector busca; una lista de cuentas sin los casos separados no comunica la discusión aunque los números estén bien.
La discusión completa
$\operatorname{rg}(A) = \begin{cases} 3 & \text{si } a \neq 1 \text{ y } a \neq -2 \\ 2 & \text{si } a = -2 \\ 1 & \text{si } a = 1 \end{cases}$
Una llave con los tres casos: es la forma canónica de presentar cualquier discusión con parámetro.

Errores frecuentes

Olvidar discutir los casos críticos: dar solo el rango genérico sin sustituir los valores del parámetro que anulan el determinante para recalcular el rango en cada uno.
Realizar operaciones por filas que no conservan el rango (por ejemplo multiplicar una fila por 0) o confundir una fila de ceros con un escalón válido al contar el rango por Gauss.
Anunciar rango 3 en una matriz 2×4: el rango está acotado por el menor de las dos dimensiones, de modo que ahí el máximo posible es 2.
Buscar los valores críticos anulando un menor de orden pequeño: salen de anular el menor de MAYOR orden posible; los menores menores solo se usan después, ya dentro de cada caso.

Repaso activo

Discute, según los valores del parámetro real m, el rango de la matriz M = (1 1 1 ; 1 m 1 ; 1 1 m).

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Recuerdo activo

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Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

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Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Matrices y determinantes

5 secciones~29 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

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