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Funciones y modelización

Una función es el instrumento con el que traducimos una relación entre magnitudes sociales o económicas en un objeto matemático que podemos analizar, representar y, sobre todo, usar para predecir. En este tema aprenderás a identificar qué clase de función —polinómica, racional, exponencial, logarítmica o definida a trozos— modeliza mejor cada situación, a estudiar sus propiedades (dominio, recorrido, crecimiento, simetría) y a apoyarte en herramientas digitales para analizarlas y ajustar modelos a datos reales. Es uno de los grandes núcleos del bloque de Sentido algebraico de Matemáticas Aplicadas a las CCSS II y la base sobre la que se levantan los temas de límites, derivadas e integrales que llegan después.

5 secciones~30 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

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Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales eligiendo y construyendo el modelo funcional adecuado (oferta y demanda, crecimiento, costes).CE4 · Utilizar el pensamiento computacional y las herramientas tecnológicas (GeoGebra, Desmos, hoja de cálculo) para analizar, representar e interpretar funciones.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con la economía y las ciencias sociales: interés compuesto, crecimiento poblacional, escalas logarítmicas y ajuste de datos.

Operadores:identificaanalizainterpretamodelizacompararepresentajustificarelacionacalcularazona

nivel básico

Como materia de modalidad, el dominio del lenguaje funcional es exigible: debes saber reconocer la clase de función, leer sus propiedades en la gráfica y plantear el modelo de un enunciado social o económico.

nivel avanzado

La profundización propia de la modalidad CCSS II consiste en encadenar este tema con el análisis (límites, derivadas e integrales) y en argumentar la idoneidad de un modelo frente a otro y los límites de su validez.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Funciones y modelización

5 secciones20 puntos clave12 fórmulas20 errores típicos

Funciones como modelos de fenómenos sociales y económicos#

~6 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 2. Modelo matemático: «Relaciones cuantitativas en situaciones complejas: estrategias de identificación y determinación de la clase o clases de funciones que pueden modelizarlas.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 1. Patrones: «Generalización de patrones en situaciones diversas.»

Modelizar es traducir una situación real a un lenguaje matemático manejable, y la herramienta central de esa traducción es la función. Una función f es una correspondencia que asigna a cada valor de una variable independiente x (precio, tiempo, número de unidades, renta) un único valor de la variable dependiente y = f(x) (demanda, capital, coste, población). El primer paso de cualquier problema de ciencias sociales no es calcular, sino decidir qué magnitud explica a qué otra y, a partir de ahí, qué clase de función reproduce el comportamiento que observamos en los datos o que nos describe el enunciado.

Antes de operar conviene fijar el dominio del modelo: el conjunto de valores de x para los que la función tiene sentido matemático y, además, sentido en el contexto. Una función puede estar definida en toda la recta real, pero si x representa un número de empleados o un precio, el dominio realista es x ≥ 0; si modeliza la población de un país a lo largo de los años, no admitimos tiempos negativos. Esta distinción entre dominio matemático y dominio contextual es una de las marcas de la modelización en ciencias sociales y aparece de forma constante en la PAU.

Para elegir la clase de función nos guiamos por el patrón de variación de los datos. Si la magnitud crece (o decrece) en cantidades aproximadamente constantes por cada unidad de tiempo, el modelo es lineal o polinómico; si crece en porcentajes constantes —se multiplica por un factor fijo en cada periodo— el modelo es exponencial; si crece deprisa al principio y luego cada vez más despacio, sin límite pero frenándose, el modelo es logarítmico; si la relación cambia de regla a partir de cierto umbral (tarifas, tramos del IRPF, descuentos por volumen), el modelo es una función definida a trozos. La Fig. 2 contrasta el ritmo de un crecimiento lineal, uno exponencial y uno logarítmico sobre los mismos ejes.

Tres ritmos de crecimiento: lineal, exponencial y logarítmico

Fig. 2 ↓

Las propiedades que describen una función son el vocabulario común a todas sus clases: el dominio y el recorrido (los valores de salida realmente alcanzados), la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento), las simetrías (par si f(−x) = f(x), impar si f(−x) = −f(x)), la continuidad y el comportamiento a largo plazo (las tendencias y asíntotas, que estudiarás con detalle en el tema de límites). En esta materia analizamos esas propiedades para extraer lecturas económicas: un máximo es un beneficio óptimo, una asíntota horizontal es un techo de mercado, un punto de corte con los ejes es un valor inicial o un punto de equilibrio.

Un ejemplo socioeconómico canónico cierra esta idea: el modelo de oferta y demanda. La demanda D(p) suele decrecer con el precio p (a más precio, menos compradores) y la oferta S(p) crecer con él (a más precio, más productores dispuestos a vender). El precio de equilibrio es la abscisa donde ambas curvas se cortan, D(p) = S(p), y la cantidad de equilibrio es la ordenada común. La Fig. 1 muestra este cruce, que es el modelo funcional más reconocible de toda la economía elemental y un clásico del examen.

Modelo de oferta y demanda: el punto de equilibrio

Fig. 1 ↓

Vocabulario

→ Tarjetas

Modelo matemáticoFunción que describe de forma aproximada una relación real entre dos magnitudes.
Variable independienteLa magnitud que se elige o se observa, normalmente el tiempo; se representa en el eje horizontal.
Variable dependienteLa magnitud que resulta del modelo, y = f(x); se representa en el eje vertical.
Parámetro del modeloConstante que ajusta la función a los datos concretos (pendiente, base, tasa).
Rango de validezIntervalo de valores dentro del cual el modelo describe razonablemente la realidad.

Función como modelo

y = f(x)

A cada valor de la variable independiente x se le asigna un único valor de la variable dependiente y.

Punto de equilibrio

D(p) = S(p) \;\Longrightarrow\; p^{*} = p_{\text{equilibrio}}

El precio de equilibrio es la solución de igualar oferta y demanda; la cantidad de equilibrio es el valor común.

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Ejemplo resuelto

Equilibrio de mercado

La demanda de un bien es D(p) = 120 − 2p y la oferta S(p) = 20 + 3p, con p el precio en euros y las cantidades en miles de unidades. Halla el precio y la cantidad de equilibrio e interpreta el resultado.

Plantear la condición de equilibrio
El mercado está en equilibrio cuando la cantidad demandada iguala a la ofrecida: D(p) = S(p).
Despejar el precio
Agrupamos los términos en p en un miembro y los números en el otro.
Calcular la cantidad
Sustituimos p = 20 en cualquiera de las dos funciones (deben coincidir).
Interpretar
A un precio de 20 €, la cantidad demandada coincide con la ofrecida, 80 mil unidades: no hay escasez ni excedente.

Resultado: El precio de equilibrio es 20 € y la cantidad de equilibrio 80 mil unidades.

Objetivo Selectividad

Ante un enunciado verbal, saber elegir y plantear la función adecuada (lineal, cuadrática, racional, exponencial, logarítmica o a trozos) justificando la elección por el patrón de variación descrito.
Determinar el dominio realista de un modelo y leer sobre la gráfica los puntos de corte con los ejes, el crecimiento y las tendencias, interpretándolos en términos del contexto (precio inicial, equilibrio, techo de mercado).
Elegir razonadamente la clase de función que modeliza una situación descrita en palabras, justificando la elección con el comportamiento que describe el enunciado (crecimiento constante, porcentual o con techo).
Interpretar los parámetros del modelo en el lenguaje del problema: qué significan la pendiente, la ordenada en el origen o la base de la exponencial en el contexto dado.

Errores frecuentes

Confundir el dominio matemático con el dominio del contexto: aceptar valores negativos de precio, tiempo o número de unidades que no tienen sentido en el problema.
Confundir un crecimiento que se frena (logarítmico) con uno que se estabiliza en un techo (exponencial con asíntota): un logaritmo crece sin límite, solo cada vez más despacio.
Extrapolar el modelo mucho más allá del rango de los datos y presentar el resultado como una predicción segura. Un modelo vale dentro del intervalo en que se ajustó; fuera de él hay que advertirlo.
Confundir crecimiento constante con crecimiento porcentual: « sube 200 € al año » es lineal, « sube un 4 % al año » es exponencial, y los dos modelos divergen enormemente a largo plazo.

Repaso activo

La demanda de un producto viene dada por D(p) = 120 − 2p y la oferta por S(p) = 20 + 3p, donde p es el precio en euros y las cantidades en miles de unidades. (a) Indica el dominio realista de cada función. (b) Calcula el precio y la cantidad de equilibrio. (c) Interpreta qué ocurre en el mercado si el precio se fija en 25 €.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Clases de funciones modelizadoras y sus propiedades#

Cada gran clase de función tiene una firma reconocible y un papel típico en la modelización. Conocer esas firmas permite pasar del enunciado al modelo casi de inmediato, sin tanteos. En esta sección recorremos las clases que el currículo señala —polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas y definidas a trozos— centrándonos en su forma, su dominio y la lectura social o económica que admiten.

Las funciones polinómicas, f(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀, están definidas en todos los números reales y son continuas y suaves. Las de grado 1 (rectas) modelizan costes con parte fija y parte variable o ingresos proporcionales; las de grado 2 (parábolas) son el modelo estrella del beneficio, porque tienen un único máximo o mínimo —el vértice— que en economía es el punto de beneficio máximo o coste mínimo. Su simetría (una parábola es simétrica respecto del eje vertical que pasa por el vértice) y la orientación de sus ramas se leen directamente del signo del coeficiente principal.

Las funciones racionales son cocientes de polinomios, f(x) = P(x)/Q(x), y su rasgo distintivo es que excluyen del dominio los valores que anulan el denominador, donde suelen aparecer asíntotas verticales. Modelizan situaciones de reparto o de promedio: el coste medio por unidad, C̄(x) = C(x)/x, es el ejemplo recurrente, porque al repartir un coste fijo entre cada vez más unidades el promedio baja, pero el coste variable lo vuelve a subir, generando un mínimo que se ve muy bien en la Fig. 3. Estudiar su comportamiento a largo plazo (asíntotas horizontales) anticipa el tema de límites.

Coste medio: una función racional con mínimo

Fig. 3 ↓

Las funciones exponenciales, f(x) = a·bˣ con b > 0 y b ≠ 1, tienen como firma que se multiplican por el mismo factor b en cada paso: crecen (b > 1) o decrecen (0 < b < 1) en porcentaje constante. Son el modelo del interés compuesto, del crecimiento de poblaciones sin restricciones y de la depreciación de un bien. Su recorrido es siempre positivo y poseen una asíntota horizontal en y = 0. Las logarítmicas, f(x) = logₐ(x), son sus inversas: solo admiten x > 0, crecen sin límite pero cada vez más despacio, y modelizan saturaciones (curvas de aprendizaje, rendimientos decrecientes) y escalas comprimidas como la del pH o la magnitud de los terremotos.

Las funciones definidas a trozos asignan reglas distintas según el intervalo en el que caiga x, y son omnipresentes en lo social: tarifas con tramos, impuestos progresivos, descuentos por volumen o costes con escalones. Su análisis exige cuidar los puntos de empalme entre tramos, donde habrá que estudiar la continuidad. En todas las clases, las cuatro propiedades clave —dominio, recorrido, monotonía y simetría— forman la rejilla común con la que comparamos modelos, como recoge el mapa de la Fig. 4.

Las cuatro preguntas con las que se compara cualquier modelo

Fig. 4 ↓

Vocabulario

→ Tarjetas

DominioConjunto de valores de x para los que la función está definida.
Recorrido (o imagen)Conjunto de valores de y que la función llega a alcanzar.
MonotoníaComportamiento creciente o decreciente de la función en un intervalo del eje X.
Función racionalCociente de dos polinomios; su dominio excluye las raíces del denominador.
Función definida a trozosFunción con distintas expresiones según el intervalo en que se encuentra x.
Simetría parPropiedad f(−x) = f(x); la gráfica es simétrica respecto del eje Y.

Función exponencial

f(x) = a\,b^{x}, \quad b > 0,\; b \neq 1

Crece si b>1 y decrece si 0<b<1; se multiplica por el factor b en cada paso unitario.

Coste medio

\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}

Coste por unidad: se obtiene repartiendo el coste total entre el número de unidades producidas.

Simetrías

f(-x) = f(x)\ \text{(par)} \qquad f(-x) = -f(x)\ \text{(impar)}

Una función par es simétrica respecto del eje OY; una función impar, respecto del origen.

Ejemplo resuelto

Minimizar el coste medio

El coste total de producir x miles de unidades de un artículo es C(x) = x² + 100 (en miles de euros), con x > 0. Determina la producción que minimiza el coste medio por unidad y el valor de dicho mínimo.

Construir el coste medio
El coste medio es el coste total dividido entre las unidades producidas.
Derivar e igualar a cero
Buscamos el mínimo derivando respecto de x y anulando la derivada (dominio x > 0).
Resolver y descartar la raíz no válida
x = ±10, pero el dominio exige x > 0, así que x = 10 (miles de unidades).
Calcular el mínimo
Sustituimos x = 10 en el coste medio.

Resultado: Produciendo 10 mil unidades el coste medio es mínimo e igual a 20 mil euros por unidad de millar (20 € por unidad).

Errores frecuentes

Olvidar excluir del dominio de una función racional los valores que anulan el denominador, o no detectar la asíntota vertical asociada.
Tratar el coste medio C(x)/x como si fuese el coste total C(x): se minimizan en puntos distintos y tienen interpretaciones económicas diferentes.
Dar el dominio de una función racional como « todos los reales » sin resolver la ecuación del denominador. Cada raíz del denominador es un punto excluido del dominio.
Escribir la monotonía en términos de y en lugar de x. Los intervalos de crecimiento se dan siempre sobre el EJE X: « crece en (2, 5) » significa para x entre 2 y 5.

Repaso activo

El coste total de producir x unidades (en miles) de un artículo es C(x) = x² + 100 (en miles de euros), con x > 0. (a) Escribe la función coste medio por unidad C̄(x). (b) Estudia su dominio. (c) Determina la producción que minimiza el coste medio y el valor de ese mínimo.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Funciones exponenciales y logarítmicas en contextos socioeconómicos#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 4. Relaciones y funciones: «Propiedades de las distintas clases de funciones: comprensión y comparación.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 2. Modelo matemático: «Relaciones cuantitativas en situaciones complejas: estrategias de identificación y determinación de la clase o clases de funciones que pueden modelizarlas.»

El crecimiento exponencial aparece siempre que una magnitud varía un porcentaje fijo en cada periodo, y en ciencias sociales eso es la norma: un capital que produce un tipo de interés, una población que crece a una tasa anual, un precio que se revaloriza con la inflación. El modelo es C(t) = C₀·(1 + i)ᵗ, donde C₀ es el valor inicial, i el tipo por periodo (en tanto por uno) y t el número de periodos. La Fig. 5 muestra la curva del interés compuesto frente a la del interés simple, que sería una simple recta.

Interés compuesto frente a interés simple

Fig. 5 ↓

El interés compuesto es la aplicación económica directa del modelo exponencial. Frente al interés simple, que añade cada periodo la misma cantidad sobre el capital inicial, el compuesto reinvierte los intereses, de modo que en cada periodo se calculan sobre un capital mayor. Por eso la curva del compuesto se separa cada vez más de la recta del simple: el dinero «crece sobre el dinero». La misma estructura modeliza, con 0 < base < 1, la depreciación de un bien (un coche que pierde un 15 % de su valor cada año) o el decaimiento de cualquier magnitud.

El crecimiento poblacional sin restricciones también es exponencial, pero los modelos realistas incorporan un freno: cuando los recursos son limitados, el crecimiento se ralentiza al acercarse a una capacidad de carga. Esto da lugar a la curva logística, con su forma de S, que arranca casi exponencial, tiene un punto de inflexión y se aplana hacia una asíntota horizontal. La Fig. 6 representa esa curva con su capacidad de carga; aunque su análisis fino llega con derivadas y límites, es importante reconocerla ya como el modelo de crecimiento con tope.

Modelo logístico de población con capacidad de carga

Fig. 6 ↓

La función logarítmica es la inversa de la exponencial, y por eso responde a la pregunta inversa: «¿cuánto tiempo tarda en…?». Si C(t) = C₀·(1 + i)ᵗ, despejar t exige tomar logaritmos, y de ahí sale, por ejemplo, el tiempo que tarda un capital en duplicarse. Los logaritmos transforman productos en sumas (log(a·b) = log a + log b) y potencias en productos (log(aⁿ) = n·log a), propiedades que son justamente las que permiten despejar el exponente t de una ecuación exponencial.

Además de su papel inverso, las funciones logarítmicas modelizan por sí mismas saturaciones y escalas comprimidas. Una curva de aprendizaje o de rendimientos decrecientes (cada hora de estudio adicional rinde menos que la anterior) tiene perfil logarítmico. Y las escalas logarítmicas —pH, decibelios, magnitud de un terremoto en la escala de Richter, o la propia representación logarítmica de variables económicas que abarcan varios órdenes de magnitud— comprimen rangos enormes en ejes manejables, donde un crecimiento exponencial se ve como una recta. Reconocer cuándo conviene una escala logarítmica es una destreza propia de esta materia.

Vocabulario

→ Tarjetas

Función exponencialFunción del tipo f(x) = a·b^x, con base b positiva; crece o decrece de forma porcentual.
Factor de crecimientoNúmero por el que se multiplica cada periodo; un 4 % anual da un factor de 1,04.
Función logarítmicaInversa de la exponencial; responde a la pregunta « a qué exponente hay que elevar la base ».
Interés compuestoModelo C·(1 + r)^t en el que los intereses generan a su vez intereses.
Tiempo de duplicaciónTiempo que tarda una magnitud en multiplicarse por dos; se obtiene resolviendo (1 + r)^t = 2.

Interés compuesto

C(t) = C_{0}\,(1 + i)^{t}

C0 es el capital inicial, i el tipo por periodo en tanto por uno y t el número de periodos.

Tiempo de duplicación

t = \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + i)}

Se obtiene de imponer C(t)=2C0 y despejar t tomando logaritmos neperianos.

Propiedades de los logaritmos

\log_a(x\cdot y) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a(x^{n}) = n\,\log_a x

Transforman productos en sumas y potencias en productos; son la clave para despejar exponentes.

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Ejemplo resuelto

Interés compuesto y tiempo de duplicación

Se depositan 1000 € a un interés compuesto anual del 4 %. ¿Cuánto capital habrá a los 10 años y cuántos años tardará el capital inicial en duplicarse?

Escribir el modelo
Capital inicial 1000 € y tipo i = 0,04 anual; el modelo es exponencial.
Capital a los 10 años
Sustituimos t = 10 y calculamos la potencia.
Plantear la duplicación
Buscamos t tal que el capital sea el doble del inicial, 2000 €.
Despejar tomando logaritmos
Aplicamos logaritmos a ambos miembros y usamos log(aᵗ) = t·log a.

Resultado: A los 10 años habrá unos 1480,24 € y el capital se duplica al cabo de unos 17,67 años (es decir, durante el año 18).

Explicación paso a paso7 pasos

1
Cuando un enunciado pregunta « cuántos años tardará en… », casi siempre hay una exponencial detrás y el logaritmo es la única forma de despejar. Merece la pena tener el camino automatizado.
2
Lo primero es escribir el modelo. Un aumento del r por uno cada periodo multiplica por 1 + r cada vez, así que después de t periodos el factor acumulado es (1 + r) elevado a t.
Crecimiento porcentual constante
$C(t) = C_0 \cdot (1 + r)^{\,t}$
C₀ es la cantidad inicial, r la tasa en tanto por uno (un 4 % es r = 0,04) y t el número de periodos. El factor 1 + r contiene el capital original más su aumento.
3
Ahora impón la condición del enunciado. Si preguntan cuándo se duplica, escribes que la cantidad final es el doble de la inicial, y la C₀ se simplifica: el tiempo de duplicación no depende del capital.
4
Te queda una ecuación con la incógnita en el exponente. Ahí es donde entra el logaritmo, y la propiedad que lo hace funcionar es la que baja el exponente delante.
La propiedad que resuelve la ecuación
$\log\left(a^{\,t}\right) = t \cdot \log a$
Es la única propiedad que saca la incógnita del exponente. Sirve cualquier base de logaritmo mientras se use la misma en los dos miembros.
5
Toma logaritmos en los DOS miembros, aplica la propiedad y despeja t dividiendo. El resultado es un cociente de logaritmos, no el logaritmo de un cociente.
Tiempo de duplicación
$t = \dfrac{\log 2}{\log (1 + r)}$
Con r = 0,04 sale t ≈ 17,7 periodos. El resultado no depende de C₀, lo cual conviene comentar: cualquier capital al 4 % tarda lo mismo en duplicarse.
6
Interpreta el número. Si t sale 17,7 años y el interés se paga una vez al año, el capital no se ha duplicado todavía a los 17: la respuesta con sentido es 18 años.
7
Y una comprobación que cuesta nada: sustituye tu t en el modelo original y mira si el resultado se parece a lo que pedían. Un error de signo en el logaritmo se detecta al instante porque sale un tiempo negativo.

Errores frecuentes

Al despejar el exponente, aplicar mal las propiedades de los logaritmos: por ejemplo escribir ln(1+i)ᵗ como t + ln(1+i) en lugar de t·ln(1+i).
Confundir interés simple con compuesto: usar un modelo lineal C₀(1 + i·t) cuando el enunciado dice que los intereses se reinvierten (modelo exponencial C₀(1+i)ᵗ).
Escribir log(a + b) = log a + log b. El logaritmo transforma productos en sumas, no sumas en sumas: log(a·b) = log a + log b, y log(a + b) no se puede desarrollar.
Interpretar el 4 % anual como multiplicar por 0,04. El factor de crecimiento es 1,04 (el capital más su aumento); multiplicar por 0,04 sería quedarse con el 4 % del capital.

Repaso activo

Se invierten 1000 € a un interés compuesto anual del 4 %. (a) Escribe la función C(t) que da el capital al cabo de t años. (b) ¿Cuánto se tendrá a los 10 años? (c) ¿Cuántos años tardará el capital en duplicarse? Da el resultado con dos decimales.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Funciones definidas a trozos en situaciones reales#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 4. Relaciones y funciones: «Propiedades de las distintas clases de funciones: comprensión y comparación.»

Muchas relaciones económicas no se rigen por una única fórmula, sino que cambian de regla al cruzar ciertos umbrales. Una tarifa eléctrica con un precio por los primeros kilovatios y otro a partir de ahí, un impuesto progresivo con tramos, un descuento que solo se aplica por encima de cierta compra, una comisión bancaria que salta a partir de un saldo: todas estas situaciones se modelizan con funciones definidas a trozos, que asignan a cada intervalo de la variable su propia expresión. Es uno de los modelos más característicos —y más prácticos— de las ciencias sociales.

Para escribir una función a trozos se especifica, mediante una llave, qué fórmula rige en cada subintervalo del dominio, indicando con cuidado los extremos (qué tramo incluye el punto de corte). La gráfica se construye dibujando cada trozo solo en su intervalo, lo que produce esos perfiles con escalones, codos o cambios de pendiente tan reconocibles en facturas y recibos. La Fig. 7 muestra una tarifa por tramos: una pendiente suave hasta el umbral y otra más pronunciada después.

Tarifa por tramos: una función definida a trozos continua

Fig. 7 ↓

El punto delicado de estas funciones es el empalme entre tramos. Allí debemos preguntarnos si la función es continua, es decir, si al llegar al umbral por la izquierda obtenemos el mismo valor que define el tramo de la derecha. En una tarifa bien diseñada la función es continua: lo que pagas justo en el umbral no cambia de golpe. Comprobar la continuidad en un punto de empalme —que los límites laterales coincidan con el valor de la función— conecta directamente este tema con el de límites y continuidad, y es una pregunta habitual de examen.

A menudo el enunciado pide ajustar un parámetro para que el modelo sea continuo, o incluso para que tenga sentido económico (que no haya saltos que penalicen cruzar el umbral). En esos casos se impone la igualdad de los valores en el punto de empalme y se despeja el parámetro. También es frecuente que se pida evaluar la función en distintos valores (calcular la factura para varios consumos), eligiendo con cuidado en qué tramo cae cada uno: el error más común es aplicar la fórmula del tramo equivocado.

Conviene distinguir las funciones a trozos continuas (la regla cambia, pero sin saltos: tarifas marginales, IRPF bien construido) de las que presentan saltos genuinos (un peaje fijo, un coste de activación, un precio que salta de golpe a partir de cierta cantidad). Ambas son legítimas y modelizan situaciones reales distintas; lo importante es identificar de cuál se trata y leer correctamente la gráfica. Esta lectura —dónde sube, dónde salta, dónde cambia de ritmo— es exactamente la interpretación contextual que la materia exige.

Vocabulario

→ Tarjetas

Trozo (o rama)Cada una de las expresiones de la función, válida solo en su intervalo.
Punto de fronteraValor de x donde cambia la expresión de la función.
Punto llenoMarca que indica que ese extremo del tramo SÍ pertenece a la función.
Punto huecoMarca que indica que ese extremo NO pertenece a la función.
Tarifa por tramosModelo real de función a trozos: el precio unitario cambia al superar cierto consumo.

Ejemplo de función a trozos (tarifa)

f(x) = \begin{cases} 0.10\,x & 0 \le x \le 100 \\[4pt] 0.06\,x + 4 & x > 100 \end{cases}

Dos reglas de precio según el consumo; el término +4 se elige para que ambos tramos coincidan en x=100.

Continuidad en el empalme

\lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a)

La función es continua en el punto de cambio a si los límites laterales coinciden con el valor de la función.

Ejemplo resuelto

Continuidad de una tarifa por tramos

Una tarifa de impresión cobra 0,10 € por copia para las primeras 100 copias y 0,06 € por copia más una cuota fija b para las copias a partir de la 100. El importe es f(x) = 0,10x si 0 ≤ x ≤ 100 y f(x) = 0,06x + b si x > 100. Halla b para que f sea continua en x = 100 y calcula el importe de 150 copias.

Imponer la continuidad
Para que no haya salto en x = 100, los dos tramos deben valer lo mismo en ese punto.
Calcular cada límite lateral
Por la izquierda usamos 0,10x; por la derecha, 0,06x + b, ambos en x = 100.
Despejar el parámetro
Resolvemos la ecuación para b.
Evaluar 150 copias
Como 150 > 100, aplicamos el segundo tramo con b = 4.

Resultado: Con b = 4 € la tarifa es continua y el importe de 150 copias es 13 €.

Errores frecuentes

Aplicar al evaluar la fórmula del tramo equivocado, sobre todo justo en el punto de empalme o muy cerca de él.
Concluir que una función a trozos es continua sin comprobarlo: hay que verificar que los límites laterales en el punto de cambio coinciden con el valor de la función.
Dibujar cada trozo en todo el eje en lugar de restringirlo a su intervalo, obteniendo una gráfica con tramos que no pertenecen a la función.
Evaluar en el punto de frontera con el trozo equivocado. Hay que mirar si la desigualdad del intervalo es estricta o no: el ≤ indica qué tramo se queda con ese punto.

Repaso activo

Una compañía factura el consumo de agua así: 0,80 €/m³ para los primeros 20 m³ y, a partir de ahí, un coste fijo más 1,20 €/m³ por el consumo que supere los 20 m³. Sea f(x) el importe (€) por consumir x m³. (a) Escribe f(x) como función a trozos sabiendo que en x = 20 m³ ambos tramos deben coincidir. (b) Determina el coste fijo del segundo tramo para que f sea continua. (c) Calcula la factura por 30 m³.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Análisis e interpretación de funciones con herramientas tecnológicas#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 4. Relaciones y funciones: «Representación, análisis e interpretación de funciones con herramientas digitales.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 5. Pensamiento computacional: «Formulación, resolución y análisis de problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales empleando las herramientas o los programas más adecuados.»

El currículo de esta materia integra de forma explícita el uso de herramientas digitales: GeoGebra, Desmos y la hoja de cálculo son parte del método, no un adorno. Su valor no es que calculen por nosotros, sino que nos permiten explorar: deslizar parámetros y ver cómo cambia la gráfica, comparar varios modelos sobre los mismos datos, localizar cortes y extremos con precisión y, sobre todo, ajustar funciones a nubes de puntos reales. Este es el contenido que materializa la competencia CE4, el pensamiento computacional aplicado a las funciones.

El uso típico de un graficador es el análisis cualitativo guiado por parámetros. Al definir una función con deslizadores —por ejemplo y = a·bˣ con a y b ajustables— el estudiante observa de inmediato el efecto de cada parámetro: a desplaza o escala verticalmente, b controla el ritmo de crecimiento. Esta exploración construye la intuición que luego sostiene la elección del modelo. El esquema de la Fig. 8 resume el flujo de trabajo: datos → elección de la clase → ajuste → validación → interpretación.

Flujo de trabajo del ajuste de un modelo con herramientas digitales

Fig. 8 ↓

El ajuste o regresión consiste en encontrar, dentro de una clase de funciones elegida, la que mejor reproduce un conjunto de datos. La hoja de cálculo y GeoGebra ofrecen ajustes lineales, polinómicos, exponenciales, logarítmicos y potenciales; el programa devuelve los coeficientes del modelo y un indicador de la bondad del ajuste (el coeficiente de determinación R², entre 0 y 1: cuanto más cerca de 1, mejor explica el modelo la variabilidad de los datos). Interpretar ese ajuste, y no solo obtenerlo, es lo que se evalúa: ¿qué modelo encaja con la tendencia?, ¿es razonable extrapolar más allá de los datos?

Conviene distinguir interpolación de extrapolación. Interpolar es estimar el valor del modelo dentro del rango de los datos observados —una estimación generalmente fiable—; extrapolar es predecir fuera de ese rango, donde el modelo puede dejar de ser válido (una población no crece exponencialmente para siempre, una tendencia económica se rompe). La Fig. 9 ilustra una nube de puntos con su recta de ajuste, distinguiendo la zona de interpolación de la de extrapolación. Saber hasta dónde es legítimo predecir es una destreza crítica de las ciencias sociales.

Ajuste de una recta a una nube de puntos: interpolación y extrapolación

Fig. 9 ↓

La elección de la clase de función para ajustar no es automática: la sugiere el patrón de los datos y el conocimiento del fenómeno. Si la nube de puntos sube en progresión porcentual, probaremos un ajuste exponencial; si se aplana, uno logarítmico o logístico; si tiene un máximo claro, uno cuadrático. El criterio final combina el ajuste numérico (R² alto) con la coherencia del modelo con la teoría social o económica subyacente. Un buen R² con un modelo que no tiene sentido contextual es una mala modelización: la herramienta calcula, pero la interpretación y la valoración crítica son responsabilidad del analista, y eso es precisamente lo que la materia te pide desarrollar.

Vocabulario

→ Tarjetas

Nube de puntosRepresentación de los pares de datos observados en el plano.
Regresión linealRecta que mejor se ajusta a una nube de puntos.
InterpolarEstimar un valor dentro del intervalo de los datos observados.
ExtrapolarEstimar un valor fuera del intervalo observado; siempre con reservas.
CorrelaciónGrado de asociación lineal entre dos variables; no implica causalidad.

Modelo exponencial de ajuste

y = a\,b^{x}

Clase de función habitual para ajustar datos que crecen en porcentaje constante; a es el valor inicial y b el factor de crecimiento.

Coeficiente de determinación

0 \le R^{2} \le 1

Mide la bondad del ajuste: cuanto más cerca de 1, mejor explica el modelo la variabilidad de los datos.

Ejemplo resuelto

Identificar y ajustar un modelo exponencial

Una hoja de cálculo recoge la población (en miles) de una comarca: año 0 → 50; año 1 → 55; año 2 → 60,5; año 3 → 66,55. Decide qué clase de función la modeliza, escribe el modelo y razona si conviene extrapolarlo a 40 años.

Buscar el patrón de variación
Calculamos el cociente entre cada valor y el anterior para ver si crece en porcentaje constante.
Identificar la clase
El factor es constante (1,10), un 10 % de crecimiento anual: el modelo es exponencial, no lineal.
Escribir el modelo
Valor inicial a = 50 (año 0) y factor b = 1,10.
Valorar la extrapolación
A 40 años el modelo daría P(40) = 50·(1,10)⁴⁰ ≈ 2263 mil habitantes, un crecimiento sin freno poco realista: a tan largo plazo intervienen recursos limitados (modelo logístico). La extrapolación no es fiable.

Resultado: El modelo es exponencial, P(t) = 50·(1,10)ᵗ; sirve para interpolar y predecir a corto plazo, pero extrapolarlo a 40 años no es fiable porque ningún crecimiento poblacional es exponencial indefinidamente.

Errores frecuentes

Extrapolar sin reservas: usar el modelo para predecir muy lejos de los datos observados como si su validez fuera ilimitada.
Elegir el modelo solo por un R² alto, sin comprobar que la clase de función tenga sentido en el contexto del fenómeno estudiado.
Presentar una correlación fuerte como prueba de causalidad. Que dos variables se ajusten bien a una recta no demuestra que una cause la otra; puede haber una tercera variable detrás.
Copiar los decimales que da la máquina sin redondear ni indicar unidades. El resultado de un ajuste se comunica con una precisión razonable para el contexto y siempre con su unidad.

Repaso activo

La población (en miles) de una localidad en los últimos años ha sido: año 0 → 50; año 1 → 55; año 2 → 60,5; año 3 → 66,55. (a) Comprueba que el crecimiento es aproximadamente porcentual constante y di qué clase de función conviene ajustar. (b) Estima el factor de crecimiento anual y escribe el modelo. (c) Razona si sería fiable usarlo para predecir la población dentro de 40 años.

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Recuerdo activo

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Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

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Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Funciones y modelización

5 secciones~30 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

Funciones como modelos de fenómenos sociales y económicos#

Funciones exponenciales y logarítmicas en contextos socioeconómicos#

Análisis e interpretación de funciones con herramientas tecnológicas#

Funciones y modelización