ES · Selectividad

Programación lineal

La programación lineal traduce un problema real de las ciencias sociales —repartir recursos limitados para maximizar un beneficio o minimizar un coste— en un modelo matemático formado por una función objetivo lineal y un conjunto de restricciones lineales. En este tema aprenderás a plantear el modelo a partir del enunciado, a dibujar la región factible como intersección de semiplanos y a localizar la solución óptima evaluando la función objetivo en los vértices. Es un contenido netamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad/PAU, donde aparece como problema de optimización con dos variables resuelto por el método gráfico.

5 secciones~30 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

T·0333 / 11

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de optimización de la vida cotidiana y de las ciencias sociales aplicando la programación lineal: traducir un enunciado a función objetivo y restricciones, y obtener la solución óptima.CE2 · Verificar la validez de las soluciones de un problema empleando el razonamiento y la argumentación: comprobar que la solución óptima cumple todas las restricciones e interpretarla en el contexto.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento, reconociendo la optimización de recursos en economía y empresa (producción, costes, mezclas, transporte).

Operadores:modelizaplanteatraducerepresentalocalizacalculamaximizaminimizainterpretajustificarazonadiscute

nivel básico

En las materias comunes la optimización lineal no se trabaja; aquí basta dominar el planteamiento de inecuaciones y su interpretación gráfica básica como repaso previo.

nivel avanzado

Como materia de modalidad (Matemáticas Aplicadas a las CCSS II), debes resolver íntegramente un problema de programación lineal con dos variables por el método gráfico: planteamiento, región factible, vértices, óptimo e interpretación, incluidos los casos de solución múltiple o región no acotada.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Programación lineal

5 secciones20 puntos clave9 fórmulas20 errores típicos

El problema de programación lineal: función objetivo y restricciones#

~6 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 2. Modelo matemático: «Programación lineal: modelización de problemas reales y resolución mediante herramientas digitales.»

Un problema de programación lineal consiste en optimizar —maximizar o minimizar— una magnitud que depende linealmente de unas variables de decisión, cuando estas están sometidas a un conjunto de limitaciones también lineales. El primer paso, y el más decisivo en un examen, es siempre la modelización: leer el enunciado, identificar qué se desea decidir, asignarle variables y escribir matemáticamente tanto lo que se quiere optimizar como lo que restringe la decisión. Todo el resto del método es mecánico; el verdadero examen está en traducir bien.

Las «variables de decisión» son las cantidades desconocidas que el problema nos pide determinar: normalmente las llamamos «x» e «y» y representan, por ejemplo, el número de unidades de dos productos que se fabrican, los kilogramos de dos ingredientes de una mezcla o las unidades transportadas por dos rutas. Conviene escribir explícitamente «sea x = … e y = …» con sus unidades, porque una solución sin variables definidas pierde puntos y, sobre todo, hace casi imposible interpretar después el resultado.

La «función objetivo» es la expresión lineal z = ax + by que mide la magnitud que queremos optimizar (beneficio, coste, ingreso, tiempo). Sus coeficientes «a» y «b» son los datos del enunciado: el beneficio o coste por unidad de cada variable. Junto a ella debe quedar claro si el problema es de máximo (beneficios, ingresos) o de mínimo (costes, tiempos), pues de ello depende qué vértice será la solución.

Las «restricciones» son las inecuaciones lineales que limitan las decisiones: disponibilidad de materias primas, horas de máquina o de trabajo, capacidad, requisitos mínimos de una dieta, etc. Cada limitación del enunciado se traduce en una inecuación del tipo a1·x + b1·y ≤ c1 (recursos que no se pueden superar) o ≥ c1 (requisitos que hay que cubrir). A ellas se añaden casi siempre las «restricciones de no negatividad» x ≥ 0, y ≥ 0, porque las cantidades reales (unidades, kilogramos, horas) no pueden ser negativas. El conjunto de todas las restricciones define qué decisiones son admisibles (Fig. 1).

Anatomía de un problema de programación lineal

Fig. 1 ↓

Es importante distinguir un problema de programación lineal de un simple sistema de ecuaciones: aquí no buscamos «la» solución que cumple las igualdades, sino, de entre todas las decisiones admisibles, la que hace óptima la función objetivo. Por eso las limitaciones son inecuaciones (≤, ≥) y no ecuaciones, y por eso suele haber infinitas decisiones posibles entre las que elegir la mejor.

Vocabulario

→ Tarjetas

Programación linealTécnica para optimizar una función lineal sujeta a restricciones lineales.
Variables de decisiónLas cantidades que el problema permite elegir, normalmente x e y.
Función objetivoExpresión z = ax + by que se quiere hacer máxima o mínima.
RestricciónInecuación que expresa una limitación de recursos, tiempo o capacidad.
Condiciones de no negatividadLas restricciones x ≥ 0, y ≥ 0, que confinan el problema al primer cuadrante.

Función objetivo

z = a\,x + b\,y \;\longrightarrow\; \text{optimizar (máx. o mín.)}

Expresión lineal de las variables de decisión cuyo valor queremos hacer máximo (beneficio, ingreso) o mínimo (coste, tiempo).

Restricciones

\begin{cases} a_1 x + b_1 y \le c_1 \\ a_2 x + b_2 y \ge c_2 \\ \;\;\vdots \\ x \ge 0,\quad y \ge 0 \end{cases}

Cada limitación del enunciado es una inecuación lineal; las dos últimas son las condiciones de no negatividad, casi siempre presentes.

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Ejemplo resuelto

Planteamiento de un problema de producción

Un taller fabrica dos modelos de mesa, M1 y M2. Cada M1 requiere 1 hora de carpintería y 2 horas de barnizado; cada M2 requiere 1 hora de carpintería y 1 hora de barnizado. Se dispone de 50 horas de carpintería y 80 horas de barnizado a la semana. El beneficio es de 40 € por M1 y 30 € por M2. Plantea el modelo de programación lineal (variables, función objetivo y restricciones).

Definir las variables de decisión
Sea x = número de mesas M1 fabricadas a la semana e y = número de mesas M2 fabricadas a la semana. Por ser cantidades de unidades, x ≥ 0 e y ≥ 0.
Escribir la función objetivo
El beneficio total es z = 40x + 30y, y se trata de un problema de máximo (maximizar el beneficio).
Restricción de carpintería
Cada mesa, de cualquier tipo, consume 1 hora de carpintería; no se pueden superar las 50 horas.
Restricción de barnizado
Cada M1 consume 2 horas y cada M2, 1 hora de barnizado; el total no puede pasar de 80 horas.
Reunir el modelo
El problema completo queda definido por la función objetivo y el sistema de restricciones, incluida la no negatividad.

Resultado: Modelo: maximizar z = 40x + 30y sujeto a x + y ≤ 50, 2x + y ≤ 80, x ≥ 0, y ≥ 0. (Su resolución gráfica se aborda en los apartados siguientes.)

Errores frecuentes

Olvidar las condiciones de no negatividad x ≥ 0, y ≥ 0, con lo que la región factible queda mal definida y pueden aparecer «soluciones» imposibles (cantidades negativas).
Confundir el sentido de una desigualdad: escribir ≤ donde el enunciado exige un mínimo (≥) —por ejemplo en una dieta— o viceversa, lo que invierte por completo el problema.
Olvidar las condiciones de no negatividad x ≥ 0, y ≥ 0. Casi ningún enunciado las dice con esas palabras, pero no se pueden fabricar unidades negativas y sin ellas la región queda abierta por donde no debe.
Definir las variables sin unidad ni referencia temporal (« x = producto A ») y perder después el sentido del resultado. La definición correcta nombra magnitud y unidad: « x = número de unidades de A fabricadas al día ».

Repaso activo

Una pastelería elabora dos tipos de tarta, A y B. Cada tarta A necesita 200 g de harina y 3 huevos; cada tarta B necesita 100 g de harina y 4 huevos. Se dispone de 6 kg de harina y 90 huevos. El beneficio es de 5 € por tarta A y 4 € por tarta B. Define las variables de decisión, escribe la función objetivo indicando si es de máximo o de mínimo y plantea el sistema completo de restricciones (no resuelvas todavía).

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Construcción de la región factible#

Una vez planteado el modelo, el segundo paso es representar gráficamente las restricciones para obtener la región factible: el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano que cumplen simultáneamente todas las inecuaciones. Geométricamente, cada inecuación lineal define un semiplano, y la región factible es la intersección de todos esos semiplanos. Como las restricciones son lineales, la región resultante es siempre un polígono convexo (acotado) o una región poligonal abierta (no acotada).

Para dibujar el semiplano asociado a una inecuación, primero se representa la recta «frontera» sustituyendo la desigualdad por una igualdad: a·x + b·y = c. Lo más cómodo es hallar sus dos cortes con los ejes (hacer x = 0 y luego y = 0) y unir esos puntos. Esta recta divide el plano en dos semiplanos: el que cumple la inecuación y el que no.

Para decidir cuál de los dos semiplanos es el bueno se usa un «punto de prueba» que no esté sobre la recta: lo más sencillo es probar el origen (0, 0) siempre que no pertenezca a la frontera. Si las coordenadas del punto de prueba satisfacen la inecuación, el semiplano válido es el que contiene a ese punto; si no la satisfacen, es el semiplano contrario. Conviene sombrear cada semiplano válido y, al final, quedarse solo con la zona común a todos.

Las condiciones de no negatividad x ≥ 0, y ≥ 0 confinan la región factible al primer cuadrante (Fig. 2), lo que en la práctica simplifica mucho el dibujo: salvo casos excepcionales, basta trabajar en el cuadrante superior derecho. Los lados de la región son trozos de las rectas frontera y sus esquinas son los «vértices», que se calculan resolviendo los sistemas de dos ecuaciones formados por las rectas que se cortan en cada esquina; estos vértices serán los protagonistas del siguiente apartado.

Las condiciones de no negatividad confinan la región al primer cuadrante

Fig. 2 ↓

Una región factible puede ser acotada (un polígono cerrado, como un triángulo o un cuadrilátero) o no acotada (se extiende infinitamente en alguna dirección, típico de los problemas de dieta con restricciones ≥). También puede ocurrir que la intersección sea vacía: si las restricciones se contradicen, no hay ninguna decisión admisible y el problema no tiene solución. Reconocer el tipo de región es clave para anticipar si existirá óptimo.

Vocabulario

→ Tarjetas

Intersección de semiplanosZona común a todos los semiplanos solución; es la región factible.
Solución factibleCualquier punto de la región: una decisión que respeta todas las restricciones.
Primer cuadranteZona x ≥ 0, y ≥ 0 donde vive la región cuando las variables son cantidades.
Recta fronteraRecta que se obtiene al sustituir el signo ≤ o ≥ de una restricción por un =.
Región vacíaSituación en la que las restricciones se contradicen y no hay ninguna decisión admisible.

Semiplano de una inecuación

a\,x + b\,y \le c \;\Longleftrightarrow\; \text{semiplano que contiene el punto de prueba si lo verifica}

Cada inecuación lineal define un semiplano; el válido se elige sustituyendo un punto de prueba (p. ej. el origen) en la inecuación.

Región factible

R = \bigcap_{i} \{(x,y): a_i x + b_i y \le c_i\}

La región factible R es la intersección de todos los semiplanos asociados a las restricciones; es un polígono convexo (acotado o no).

Ejemplo resuelto

Región factible y sus vértices

Determina la región factible del modelo de producción del taller (x + y ≤ 50, 2x + y ≤ 80, x ≥ 0, y ≥ 0), indica si es acotada y calcula las coordenadas de todos sus vértices.

Rectas frontera
x + y = 50 corta los ejes en (50, 0) y (0, 50). 2x + y = 80 corta los ejes en (40, 0) y (0, 80).
Semiplanos válidos
El origen (0, 0) verifica 0 ≤ 50 y 0 ≤ 80, luego ambas inecuaciones se cumplen en el semiplano que contiene al origen. Con x ≥ 0, y ≥ 0 la región queda en el primer cuadrante.
Vértice de corte de las dos rectas
Resolvemos el sistema x + y = 50 y 2x + y = 80. Restando la primera de la segunda: x = 30; sustituyendo, y = 20.
Vértices sobre los ejes
Sobre y = 0, la restricción más exigente es 2x ≤ 80, es decir x ≤ 40: vértice (40, 0). Sobre x = 0, la más exigente es y ≤ 50: vértice (0, 50). El origen (0, 0) es el cuarto vértice.
Verificación
Comprobamos que (30, 20) cumple todo: 30 + 20 = 50 ≤ 50 y 2·30 + 20 = 80 ≤ 80. Es vértice válido.

Resultado: La región factible es un cuadrilátero ACOTADO con vértices (0, 0), (40, 0), (30, 20) y (0, 50).

Errores frecuentes

Sombrear el semiplano equivocado por no usar un punto de prueba (o por usar el origen cuando este está sobre la recta frontera), obteniendo una región factible incorrecta.
Dar por vértice de la región la intersección de dos rectas que en realidad cae fuera de la zona factible: todo punto de corte debe verificarse sustituyéndolo en TODAS las restricciones antes de aceptarlo como vértice.
Dibujar la región « a ojo » a partir de los cortes con los ejes y dar por buenos vértices que en realidad quedan fuera de alguna restricción.
Sombrear la unión de los semiplanos en lugar de su intersección. La región factible es donde se cumplen TODAS las restricciones a la vez, es decir, la zona común, no la suma de zonas.

Repaso activo

Representa gráficamente la región factible definida por el sistema de inecuaciones: x + y ≤ 6, x ≤ 4, y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0. Indica si la región es acotada o no acotada y calcula las coordenadas de todos sus vértices.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Resolución gráfica: rectas de nivel y vértices#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 2. Modelo matemático: «Programación lineal: modelización de problemas reales y resolución mediante herramientas digitales.»

Una vez dibujada la región factible, queda elegir, entre sus infinitos puntos, el que optimiza la función objetivo. El método gráfico aprovecha que los puntos donde la función objetivo z = ax + by toma un valor constante k forman una recta: ax + by = k. A esas rectas se las llama «rectas de nivel» (o curvas de nivel) de la función objetivo, y al variar k se obtiene una familia de rectas todas paralelas entre sí, porque comparten la misma pendiente −a/b.

Aumentar el valor de k desplaza la recta de nivel paralelamente a sí misma en una dirección fija (la del vector de coeficientes); disminuir k la desplaza en sentido contrario. Maximizar z equivale, por tanto, a empujar la recta de nivel lo más lejos posible en la dirección de crecimiento sin salir de la región factible; minimizar z es empujarla en la dirección contraria. La recta de nivel que «toca» la región factible en su punto extremo señala la solución óptima (Fig. 3).

Rectas de nivel paralelas: la última que toca la región marca el óptimo

Fig. 3 ↓

Como la región factible es un polígono convexo, ese último contacto de la recta de nivel se produce siempre en un vértice (o, en casos especiales, a lo largo de toda una arista). De ahí la estrategia práctica: basta calcular las coordenadas de todos los vértices, evaluar en cada uno la función objetivo y quedarse con el mayor valor (máximo) o el menor (mínimo). Este procedimiento, conocido como «método de los vértices», es el que se espera en la Selectividad.

Para trazar la dirección de las rectas de nivel basta con dibujar una sola de ellas, normalmente la que pasa por el origen (z = 0, es decir ax + by = 0) o cualquier otra cómoda, y entender hacia dónde hay que moverla. No es imprescindible dibujar muchas: la recta de nivel sirve para «ver» en qué vértice se alcanza el óptimo, pero el cálculo riguroso se hace evaluando la función objetivo en los vértices.

Conviene observar que dos funciones objetivo con coeficientes proporcionales (por ejemplo z = 2x + 3y y z = 4x + 6y) tienen rectas de nivel con la misma pendiente y, por tanto, alcanzan su óptimo en el mismo vértice; lo que cambia es solo el valor numérico del óptimo. La pendiente −a/b de las rectas de nivel respecto de las pendientes de los lados de la región es justamente lo que determina en qué vértice cae la solución.

Vocabulario

→ Tarjetas

Recta de nivelRecta ax + by = z formada por los puntos donde la función objetivo toma un mismo valor z.
Método gráficoResolución de un problema lineal dibujando la región y desplazando las rectas de nivel.
Dirección de crecimientoSentido del vector (a, b) de coeficientes; hacia allí aumenta z.
Vértice óptimoÚltimo vértice que toca la recta de nivel antes de abandonar la región.
Valor óptimoEl número z que toma la función objetivo en el vértice óptimo.

Recta de nivel

a\,x + b\,y = k \quad\Longrightarrow\quad y = -\dfrac{a}{b}\,x + \dfrac{k}{b}

Los puntos con z = k forman una recta de pendiente −a/b; al variar k se obtiene una familia de rectas paralelas.

Método de los vértices

z^{*} = \max_{(x,y)\in R} (a x + b y) = \max_{v \;\in\; \text{vértices}} (a v_x + b v_y)

El valor óptimo de z sobre la región factible se alcanza en uno de sus vértices; basta evaluar z en todos ellos.

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Ejemplo resuelto

Recta de nivel y dirección de mejora

Para el problema de producción del taller (z = 40x + 30y a maximizar), escribe la ecuación de la recta de nivel correspondiente a z = 1200, halla su pendiente y razona en qué dirección hay que desplazarla para aumentar el beneficio.

Ecuación de la recta de nivel
Imponemos z = 1200: 40x + 30y = 1200. Despejando y obtenemos su forma explícita.
Pendiente
La pendiente es −a/b = −40/30 = −4/3, común a todas las rectas de nivel de esta función objetivo (son paralelas).
Dirección de crecimiento
Como los coeficientes 40 y 30 son positivos, aumentar z desplaza la recta hacia arriba y hacia la derecha (alejándose del origen). Hay que empujarla en esa dirección hasta el último punto de la región factible.
Último contacto
El último vértice que toca la recta al alejarse del origen es (30, 20); allí z alcanza su valor máximo, z = 1800, como se confirma en el siguiente apartado.

Resultado: Recta de nivel z = 1200: y = −(4/3)x + 40, pendiente −4/3; para aumentar z se desplaza paralelamente alejándose del origen, hasta el vértice (30, 20).

Explicación paso a paso8 pasos

1
La pregunta que todo el mundo hace la primera vez es por qué el óptimo aparece siempre en una esquina. Vale la pena entenderlo, porque a partir de ahí el método se vuelve mecánico.
2
Empieza dibujando los puntos donde la función objetivo vale lo mismo. Si z = 3x + 2y, los puntos con z = 6 forman una recta. Los que dan z = 12, otra.
La familia de rectas de nivel
$3x + 2y = z \;\Longleftrightarrow\; y = \dfrac{z - 3x}{2}$
Al despejar y, la pendiente vale −3/2 sea cual sea z. Cambiar z solo mueve la ordenada en el origen: las rectas se desplazan sin girar.
3
Ahí está la clave: todas esas rectas son paralelas. Aumentar z no las inclina, las empuja. Es como una regla que barre el plano siempre con la misma inclinación.
4
Ahora superpón la región factible y desliza la regla en el sentido en que z crece. Mientras la recta corte a la región, ese valor de z es alcanzable.
5
Sigue empujando. Llega un momento en que la recta está a punto de salirse y solo toca la región en un punto. Ese valor de z es el máximo, y ese punto es la solución.
6
Y ese último punto de contacto de una recta con un polígono convexo es, por fuerza, un vértice. Salvo en un caso: si la recta llega justamente paralela a un lado, lo toca entero.
7
De ahí sale el atajo que se usa en el examen: como el óptimo solo puede estar en un vértice, no hace falta dibujar ninguna recta de nivel. Basta evaluar z en todos los vértices y comparar.
8
Dibuja igualmente una recta de nivel en el papel. Cuesta diez segundos, enseña al corrector que sabes por qué el método funciona y te avisa del caso de la arista completa.

Errores frecuentes

Confundir la dirección de desplazamiento de la recta de nivel y elegir el vértice de menor z cuando se pide el máximo (o al revés); por seguridad, conviene SIEMPRE evaluar z en todos los vértices, no fiarse solo del dibujo.
Tomar la pendiente de la recta de nivel como a/b en lugar de −a/b, lo que lleva a dibujarla con la inclinación equivocada y a malinterpretar hacia dónde crece la función objetivo.
Desplazar la recta de nivel cambiando su inclinación. Todas las rectas de nivel de una misma función objetivo son PARALELAS entre sí; solo cambia el valor de z, nunca la pendiente.
Confundir el sentido de crecimiento y dar como máximo el vértice donde z es mínimo. Basta evaluar z en dos vértices para fijar el sentido antes de concluir.

Repaso activo

Para la función objetivo z = 3x + 2y, escribe la ecuación de la recta de nivel que pasa por el punto (4, 3), indica su pendiente y razona en qué sentido hay que desplazarla para aumentar el valor de z.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Maximización y minimización: el teorema fundamental#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 2. Modelo matemático: «Programación lineal: modelización de problemas reales y resolución mediante herramientas digitales.»Alcance de este apunte: el Anexo II no enuncia el teorema fundamental de la programación lineal; se demuestra su consecuencia práctica (el óptimo se alcanza en un vértice) porque sin ella el método gráfico queda sin justificación.

El procedimiento de evaluar la función objetivo solo en los vértices se justifica con el «teorema fundamental de la programación lineal»: si una función objetivo lineal alcanza su valor óptimo (máximo o mínimo) sobre una región factible no vacía, ese óptimo se alcanza en al menos un vértice de la región; y si se alcanza en dos vértices, entonces se alcanza en todos los puntos del segmento (arista) que los une. Este resultado es la base de todo el método y conviene saber enunciarlo.

La consecuencia práctica es directa: para resolver un problema de programación lineal con dos variables no hace falta examinar los infinitos puntos de la región, basta calcular los vértices, evaluar z en cada uno y comparar. El vértice con mayor valor de z resuelve el problema de máximo; el de menor valor, el de mínimo. Es muy útil organizar el cálculo en una «tabla de vértices» (Fig. 4) que recoja cada vértice y el valor de z correspondiente.

Tabla de evaluación de la función objetivo en los vértices

Fig. 4 ↓

El método se aplica igual tanto si se maximiza como si se minimiza: la única diferencia es que al final se elige el valor más grande o el más pequeño de la tabla. Por eso un mismo dibujo de la región factible puede servir para dos preguntas distintas (un máximo de beneficio y un mínimo de coste) sin más que cambiar la comparación final.

Para que el teorema garantice la existencia de óptimo, la región factible debe ser no vacía y, en el caso de un máximo con coeficientes positivos, acotada en la dirección de crecimiento. En una región acotada (un polígono cerrado) siempre existen tanto el máximo como el mínimo. En una región no acotada puede existir uno y no el otro: por ejemplo, en un problema de minimización de costes con región abierta hacia arriba suele existir el mínimo aunque el máximo sea infinito; este caso especial se trata en el último apartado.

Una recomendación de método para la PAU: tras hallar el vértice óptimo conviene comprobar que verifica todas las restricciones y, sobre todo, redondear o ajustar al contexto cuando las variables solo admiten valores enteros (no se pueden fabricar 30,5 mesas). En este curso, sin embargo, se trabaja con programación lineal continua y, salvo aviso, se acepta la solución que dan los vértices.

Vocabulario

→ Tarjetas

Método de los vérticesEvaluar la función objetivo en cada vértice de la región y comparar los valores obtenidos.
Solución óptimaPunto de la región donde la función objetivo alcanza su valor máximo o mínimo.
MaximizarBuscar el mayor valor posible de z dentro de la región factible.
MinimizarBuscar el menor valor posible de z dentro de la región factible.
Convexidad de la regiónPropiedad de la región factible que garantiza que el óptimo se alcance en un vértice.

Teorema fundamental (programación lineal)

(x,y)\;\text{óptimo} \;\in\; \{\text{vértices de } R\}

Si la función objetivo lineal alcanza su óptimo sobre la región factible, lo alcanza en (al menos) un vértice.

Ejemplo resuelto

Maximización del beneficio por el método de los vértices

Resuelve el problema de producción del taller: maximiza z = 40x + 30y sobre la región factible de vértices (0, 0), (40, 0), (30, 20) y (0, 50). Indica el beneficio máximo y la producción que lo proporciona.

Evaluar z en (0, 0)
z = 40·0 + 30·0 = 0.
Evaluar z en (40, 0)
z = 40·40 + 30·0 = 1600.
Evaluar z en (30, 20)
z = 40·30 + 30·20 = 1200 + 600 = 1800.
Evaluar z en (0, 50)
z = 40·0 + 30·50 = 1500.
Comparar y concluir
El mayor valor de la tabla es 1800, en el vértice (30, 20). Como x = 30 e y = 20 son enteros, la solución es directamente aplicable.

Resultado: El beneficio máximo es z = 1800 €, fabricando 30 mesas M1 y 20 mesas M2 a la semana.

Errores frecuentes

Olvidar evaluar la función objetivo en el origen (0, 0) o en alguno de los vértices, con lo que se puede pasar por alto el verdadero óptimo.
Aplicar el método de los vértices a una región no acotada en la dirección en la que se busca el óptimo (p. ej. buscar un máximo donde z crece sin límite) y dar como solución un vértice cuando en realidad el problema es no acotado.
Evaluar la función objetivo solo en los vértices « que parecen buenos ». El método exige evaluarla en TODOS los vértices de la región; el óptimo suele estar donde no se espera.
Responder con el vértice y no con el valor, o al revés. La respuesta completa dice dónde se alcanza el óptimo (las coordenadas, interpretadas en el contexto) Y cuánto vale z allí.

Repaso activo

Dada la región factible de vértices (0, 0), (6, 0), (4, 4) y (0, 5), maximiza la función objetivo z = 50x + 60y construyendo la tabla de vértices y señalando el vértice óptimo.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Interpretación de la solución óptima y casos especiales#

~7 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 2. Modelo matemático: «Programación lineal: modelización de problemas reales y resolución mediante herramientas digitales.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 5. Pensamiento computacional: «Formulación, resolución y análisis de problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales empleando las herramientas o los programas más adecuados.»

Resolver matemáticamente el problema no es el final: la última fase, siempre exigida en la Selectividad, es interpretar la solución en el contexto del enunciado. No basta con escribir «el máximo es 1800 en (30, 20)»; hay que decir qué significa: «el beneficio máximo es de 1800 € y se obtiene fabricando 30 unidades del primer producto y 20 del segundo». Una respuesta sin interpretación es incompleta y pierde puntos.

El primer caso especial es la «solución múltiple» (óptimo en una arista). Ocurre cuando las rectas de nivel de la función objetivo son paralelas a uno de los lados de la región factible: entonces el óptimo no se alcanza en un único vértice, sino en los dos vértices de ese lado y en todos los puntos del segmento que los une (Fig. 5). El teorema fundamental lo prevé: si el óptimo se da en dos vértices, se da en toda la arista. En la práctica, todos esos puntos producen el mismo valor óptimo de z, y se interpreta diciendo que hay infinitas soluciones óptimas, una por cada punto del segmento.

Solución óptima múltiple: óptimo sobre toda una arista

Fig. 5 ↓

El segundo caso especial es el «problema no acotado»: cuando la región factible es abierta en la dirección en que se quiere optimizar, la función objetivo puede crecer (o decrecer) sin límite y no existe óptimo finito. Por ejemplo, maximizar un beneficio sobre una región que se extiende infinitamente hacia arriba y a la derecha no tiene solución: siempre se puede mejorar. Es fundamental reconocer esta situación y no «inventar» un vértice óptimo; la respuesta correcta es que el problema no está acotado.

Un tercer caso, menos frecuente pero posible, es el de la «región factible vacía» (problema infactible): si las restricciones se contradicen entre sí, no hay ningún punto que las cumpla todas y el problema no tiene solución. También conviene recordar que una región no acotada puede tener mínimo aunque no tenga máximo (o al revés): en un problema de minimización de costes con restricciones de tipo ≥ (un mínimo de nutrientes en una dieta), la región se abre hacia arriba pero el mínimo sí existe, en un vértice.

El análisis de estos casos enlaza la programación lineal con su utilidad real en economía y empresa, donde se usa para optimizar producción, mezclas, dietas, transporte y asignación de recursos. Históricamente, el método sistemático para resolver estos problemas con muchas variables es el «método del símplex», desarrollado por George B. Dantzig en 1947, que dio origen a la investigación operativa. En este curso solo se estudia el método gráfico con dos variables, pero es bueno saber que el símplex es su generalización para problemas reales de gran tamaño (este detalle histórico es ampliación, no contenido evaluable en sí mismo).

Vocabulario

→ Tarjetas

Solución múltipleSituación en la que toda una arista de la región alcanza el valor óptimo.
Problema no acotadoProblema en el que z crece indefinidamente dentro de la región y no existe máximo.
Solución enteraSolución con valores enteros, exigible cuando las variables cuentan objetos indivisibles.
Interpretación en el contextoTraducir las coordenadas del óptimo y el valor de z al lenguaje del enunciado, con sus unidades.
Restricción activaRestricción que se cumple con igualdad en el óptimo; es el recurso que se agota.

Condición de solución óptima múltiple

\text{Solución múltiple} \iff \text{rectas de nivel} \parallel \text{una arista de } R

Cuando las rectas de nivel son paralelas a un lado de la región, el óptimo se alcanza en todos los puntos de ese lado (infinitas soluciones).

Problema no acotado

R \text{ no acotada en la dirección de mejora} \;\Rightarrow\; z \text{ sin óptimo finito}

Si la región se extiende sin límite en el sentido en que se optimiza, la función objetivo no alcanza un valor óptimo finito.

Ejemplo resuelto

Minimización de un coste e interpretación (problema de dieta)

Una explotación prepara un pienso mezclando dos compuestos, A y B. Cada kg de A aporta 1 unidad de proteína y 3 de fibra; cada kg de B aporta 2 unidades de proteína y 1 de fibra. La mezcla debe contener al menos 10 unidades de proteína y al menos 15 de fibra. El coste es de 2 €/kg de A y 3 €/kg de B. ¿Cuántos kg de cada compuesto minimizan el coste? Interpreta el resultado.

Plantear el modelo
Sea x = kg de A e y = kg de B. Minimizar z = 2x + 3y sujeto a x + 2y ≥ 10 (proteína), 3x + y ≥ 15 (fibra), x ≥ 0, y ≥ 0.
Vértices de la región (no acotada)
Corte de x + 2y = 10 con 3x + y = 15: de la segunda y = 15 − 3x, sustituyendo x + 2(15 − 3x) = 10 ⇒ −5x = −20 ⇒ x = 4, y = 3. Sobre los ejes: (10, 0) es el corte de la restricción de proteína x + 2y = 10 con {y = 0} (el corte de 3x + y = 15 con y = 0 sería (5, 0), infactible) y (0, 15) es el corte de 3x + y = 15 con {x = 0}; ambos verifican la otra restricción.
Evaluar z en los vértices
z(10, 0) = 2·10 + 3·0 = 20; z(4, 3) = 2·4 + 3·3 = 8 + 9 = 17; z(0, 15) = 2·0 + 3·15 = 45.
Elegir el mínimo
El menor valor es 17, en el vértice (4, 3). Aunque la región es no acotada hacia arriba, el mínimo existe y se alcanza en ese vértice.
Interpretar
La mezcla más barata que cumple los requisitos nutricionales usa 4 kg del compuesto A y 3 kg del compuesto B, con un coste mínimo de 17 €.

Resultado: Coste mínimo z = 17 €, mezclando 4 kg de A y 3 kg de B; la región es no acotada pero el mínimo existe en el vértice (4, 3).

Errores frecuentes

Dejar la solución en términos puramente matemáticos sin interpretarla en el contexto (no decir qué representan x, y ni el valor de z), lo que se penaliza en la corrección.
Ante una región no acotada, forzar una respuesta dando un vértice como óptimo en lugar de reconocer que el problema no tiene solución (no acotado); o no advertir que el óptimo se da en toda una arista cuando la solución es múltiple.
Dar un único vértice como respuesta cuando la solución es múltiple. Si dos vértices dan el mismo valor óptimo, la respuesta es el segmento entero que los une, no uno de los dos.
Afirmar que en una región no acotada no existe óptimo. Puede faltar el máximo y existir el mínimo (o al revés); hay que estudiar hacia dónde crece z antes de concluir.

Repaso activo

Sobre la región factible de vértices (0, 0), (40, 0), (30, 20) y (0, 50), considera la función objetivo z = 20x + 20y. Calcula z en cada vértice, comprueba que el máximo se alcanza en dos vértices contiguos e interpreta qué significa que la solución óptima sea múltiple.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

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Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Programación lineal

5 secciones~30 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

El problema de programación lineal: función objetivo y restricciones#

Construcción de la región factible#

Resolución gráfica: rectas de nivel y vértices#

Maximización y minimización: el teorema fundamental#

Interpretación de la solución óptima y casos especiales#

Programación lineal

Puntos clave

Planteamiento de un problema de producción

Puntos clave

Región factible y sus vértices

Puntos clave

Recta de nivel y dirección de mejora

Puntos clave

Maximización del beneficio por el método de los vértices

Puntos clave

Minimización de un coste e interpretación (problema de dieta)

Fuentes

Programación lineal

Puntos clave

Planteamiento de un problema de producción

Puntos clave

Región factible y sus vértices

Puntos clave

Recta de nivel y dirección de mejora

Puntos clave

Maximización del beneficio por el método de los vértices

Puntos clave

Minimización de un coste e interpretación (problema de dieta)

Fuentes