ES · Selectividad

Integrales y cálculo de áreas

Apunte de repaso de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (materia de modalidad, 2.º de Bachillerato, LOMLOE) sobre las primitivas, la integral definida y el cálculo de áreas de recintos planos. La integral es la operación que «deshace» la derivada y que, mediante la regla de Barrow, convierte el cálculo de un área —en principio, una suma de infinitos rectángulos— en una simple resta de valores de una primitiva. En las ciencias sociales el área bajo una curva tiene un significado muy concreto: es la ACUMULACIÓN de una magnitud (el ingreso total a partir del ingreso marginal, la población acumulada a partir de una tasa, el excedente del consumidor). Es contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad (PAU): cálculo de primitivas inmediatas, aplicación de la regla de Barrow y, sobre todo, el cálculo del área entre una curva y el eje OX o entre dos curvas, con su interpretación en contexto. El currículo limita la integración a las técnicas inmediatas y casi inmediatas: no se exigen el cambio de variable ni la integración por partes.

5 secciones~35 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

T·0777 / 11

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales aplicando la integral definida al cálculo de áreas de recintos planos y a la acumulación de magnitudes socioeconómicas (ingreso total, población acumulada, excedente).CE2 · Verificar la validez de las posibles soluciones de un problema empleando el razonamiento y la argumentación: comprobar una primitiva derivándola, localizar correctamente los puntos de corte que delimitan un recinto y justificar el signo de la integral antes de dar un área.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento, interpretando el área bajo una curva como una magnitud acumulada en economía (ingreso y coste totales, excedentes) y conectándola con la función de densidad de la distribución normal en estadística.

Operadores:calculahallaaplicajustificainterpretarazonalocalizarepresentarelacionacomprueba

nivel básico

Como contenido del bloque de Análisis de Matemáticas Aplicadas a las CCSS II, se exige hallar primitivas de funciones mediante integrales inmediatas y casi inmediatas, calcular integrales definidas con la regla de Barrow y obtener el área de un recinto plano limitado por una curva y el eje de abscisas o por dos curvas, cuidando el signo de la integral y localizando los puntos de corte.

nivel avanzado

La profundización propia de la modalidad de ciencias sociales consiste en INTERPRETAR el área como acumulación de una magnitud: leer la integral del ingreso (o del coste) marginal como el ingreso (o el coste) total, el área entre la oferta y la demanda como un excedente, o el área bajo la curva de densidad de la normal como una probabilidad, traduciendo siempre el resultado al contexto del enunciado.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Integrales y cálculo de áreas

5 secciones20 puntos clave13 fórmulas25 errores típicos

Primitivas e integral indefinida: integrales inmediatas#

~6 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, B. Sentido de la medida — 1. Medición: «Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas.»

Integrar es la operación inversa de derivar. Una función F es una «primitiva» de f en un intervalo cuando F'(x) = f(x), es decir, cuando al derivar F recuperamos f. Por ejemplo, F(x) = x² es una primitiva de f(x) = 2x, porque (x²)' = 2x. Lo decisivo es que una primitiva nunca es única: si F es primitiva de f, también lo es F(x) + C para cualquier constante C, porque la derivada de una constante es cero. Esa es la idea de partida de todo el tema: derivar borra la información de la constante, e integrar solo puede recuperar la familia de funciones que se diferencian en una constante (Fig. 1).

La familia de primitivas: derivar e integrar

Fig. 1 ↓

El conjunto de TODAS las primitivas de f se llama «integral indefinida» de f y se escribe con el símbolo de integral, ∫ f(x) dx = F(x) + C, donde F es cualquier primitiva concreta y C es la «constante de integración». El símbolo «dx» indica respecto a qué variable se integra. La integral indefinida no es un número, sino una FAMILIA de funciones; gráficamente, son todas las curvas que tienen, en cada abscisa, la misma pendiente f(x), unas «trasladadas» verticalmente respecto de otras. Por eso, salvo que el problema fije una condición inicial, la respuesta de una integral indefinida siempre lleva el «+ C».

El cálculo práctico se apoya en la «tabla de integrales inmediatas», que no es más que la tabla de derivadas leída al revés. Las que pide el currículo de ciencias sociales son: la potencia, ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C para n ≠ −1, que se recuerda como «subir uno el exponente y dividir por el nuevo exponente»; el caso especial ∫ (1/x) dx = ln|x| + C (el valor n = −1, que la regla de la potencia no cubre); la exponencial, ∫ eˣ dx = eˣ + C; y, por linealidad, la integral de una constante, ∫ k dx = kx + C. No se exigen técnicas avanzadas de integración (ni cambio de variable ni integración por partes): basta reconocer la forma inmediata o casi inmediata.

La integral es «lineal», y esta propiedad es la que permite integrar casi cualquier polinomio o combinación sencilla. La integral de una suma es la suma de las integrales, y una constante que multiplica puede salir fuera del signo integral: ∫ [a·f(x) + b·g(x)] dx = a·∫ f(x) dx + b·∫ g(x) dx. Gracias a ella, integrar un polinomio se reduce a integrar cada monomio con la regla de la potencia y sumar. Conviene escribir UNA sola constante C al final, no una por sumando, porque la suma de constantes es de nuevo una constante.

Las integrales «casi inmediatas» son las que, sin ser exactamente una fórmula de la tabla, se ajustan a ella con un pequeño retoque de constantes. La clave es que en el integrando aparezca (salvo un factor numérico) la DERIVADA de la función «interior». Las dos formas útiles en este curso son ∫ [f(x)]ⁿ · f'(x) dx = [f(x)]ⁿ⁺¹/(n+1) + C y ∫ [f'(x)/f(x)] dx = ln|f(x)| + C. La estrategia honesta para comprobar cualquier primitiva —inmediata o casi inmediata— es siempre la misma y nunca falla: DERIVAR el resultado; si al derivar se obtiene el integrando, la primitiva es correcta. Esta comprobación es el mejor seguro contra errores y un hábito muy valorado en la corrección de la PAU.

Vocabulario

→ Tarjetas

PrimitivaFunción F cuya derivada es f; hay infinitas, todas se diferencian en una constante.
Integral indefinidaEl conjunto de todas las primitivas de f, escrito F(x) + C.
Constante de integraciónLa C que recoge las infinitas primitivas; se determina con una condición inicial.
Integral inmediataLa que se resuelve reconociendo directamente la derivada de una función conocida.
Condición inicialDato del tipo F(0) = 5 que fija una primitiva concreta entre todas.

Integral inmediata de una potencia

\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

Se sube una unidad el exponente y se divide por el nuevo exponente. Es la fórmula básica para integrar cualquier polinomio término a término.

Casos especiales: el logaritmo y la exponencial

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \qquad \int e^{x}\,dx = e^{x} + C

El caso n = −1 de la potencia no está cubierto por la regla anterior: su primitiva es el logaritmo neperiano del valor absoluto. La exponencial es su propia primitiva.

Linealidad de la integral

\int \big[a\,f(x) + b\,g(x)\big]\,dx = a\!\int f(x)\,dx + b\!\int g(x)\,dx

La integral de una suma es la suma de integrales, y las constantes multiplicativas salen fuera del signo integral; es lo que permite integrar polinomios sumando la integral de cada monomio.

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Ejemplo resuelto

Integral indefinida de un polinomio con condición inicial

Calcula ∫ (3x² − 4x + 5) dx y, comprobando el resultado, halla después la primitiva F que cumple F(1) = 0.

1. Integrar término a término
Por linealidad, integramos cada monomio con la regla de la potencia: 3x² → x³, −4x → −2x², 5 → 5x.
2. Comprobar derivando
Derivamos el resultado: la derivada de x³ − 2x² + 5x es 3x² − 4x + 5, que es el integrando. La primitiva es correcta.
3. Imponer la condición F(1) = 0
Sustituimos x = 1 en la primitiva general e igualamos a 0 para despejar C: 1 − 2 + 5 + C = 0.
4. Escribir la primitiva pedida
Con C = −4 obtenemos la única primitiva que pasa por el valor exigido.

Resultado: La integral indefinida es x³ − 2x² + 5x + C; la primitiva concreta con F(1) = 0 es F(x) = x³ − 2x² + 5x − 4 (se comprueba que F(1) = 1 − 2 + 5 − 4 = 0).

Errores frecuentes

Olvidar la constante de integración «+ C» en una integral indefinida, o ponerla solo en algunos sumandos en lugar de una única al final.
Aplicar la regla de la potencia al caso n = −1 (escribir ∫ x⁻¹ dx = x⁰/0): ese caso NO está cubierto por la regla y su primitiva es ln|x| + C.
Integrar como si fuera derivar (bajar el exponente en vez de subirlo) o «integrar un producto multiplicando integrales»: la integral de un producto NO es el producto de las integrales.
Omitir la constante C en la integral indefinida. Sin ella la respuesta está incompleta, y en los problemas con condición inicial es precisamente lo que hay que calcular.
Integrar 1/x como x⁰/0. La regla de la potencia falla justo en el exponente −1: la primitiva de 1/x es ln|x|.

Repaso activo

Calcula la integral indefinida ∫ (3x² − 4x + 5) dx y comprueba el resultado derivándolo. A continuación, determina la primitiva F concreta que cumple F(1) = 0.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

La integral definida y la regla de Barrow#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, B. Sentido de la medida — 1. Medición: «Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, B. Sentido de la medida — 1. Medición: «Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas.»Alcance de este apunte: la regla de Barrow no aparece con ese nombre en el Anexo II; se enuncia porque es el puente entre los dos saberes citados (la primitiva y el área bajo la curva).

La «integral definida» de una función f continua en un intervalo [a, b] se escribe ∫ₐᵇ f(x) dx y, a diferencia de la indefinida, es un NÚMERO, no una familia de funciones. Su origen es geométrico: aproximamos el área encerrada entre la curva y el eje OX por una suma de áreas de rectángulos delgados de base Δx y altura f(x), y refinamos esa partición haciendo las bases cada vez más finas. El límite de esas «sumas de rectángulos» cuando las bases tienden a cero es la integral definida. La integral nace, pues, como una suma infinita de cantidades infinitamente pequeñas: el propio símbolo ∫ es una «S» estilizada de «suma» (Fig. 2).

La integral como suma de rectángulos y la regla de Barrow

Fig. 2 ↓

El «teorema fundamental del cálculo» es el resultado que une las dos caras del tema —la derivada y la integral— y explica por qué integrar es lo inverso de derivar. Afirma que la función «área acumulada» G(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, que mide el área bajo la curva desde a hasta una abscisa variable x, es una primitiva de f: su derivada es G'(x) = f(x). En lenguaje llano: la velocidad a la que crece el área acumulada al avanzar x es, justamente, la altura f(x) de la curva en ese punto. Este teorema es la pieza teórica que convierte un problema de áreas (sumas infinitas) en un problema de primitivas (derivadas al revés).

De ese teorema se deduce la herramienta de cálculo que se usa en la práctica: la «regla de Barrow». Establece que, si F es CUALQUIER primitiva de f, entonces la integral definida se calcula evaluando esa primitiva en los dos extremos y restando: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). La constante C es irrelevante aquí, porque se cancela al restar (F(b)+C) − (F(a)+C). Se anota con corchetes, [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a). Gracias a Barrow, calcular un área deja de ser un problema de límites de sumas y pasa a ser una rutina de dos pasos: hallar una primitiva y restar sus valores en los extremos.

La integral definida tiene propiedades que conviene tener a mano para los cálculos. Es LINEAL, igual que la indefinida (la integral de una suma es la suma de integrales, y las constantes salen fuera). Si se intercambian los límites, la integral cambia de signo: ∫ₐᵇ = −∫ᵦᵃ. Y es ADITIVA respecto del intervalo: si c está entre a y b, entonces ∫ₐᵇ = ∫ₐᶜ + ∫ᶜᵇ. Esta última es esencial para el cálculo de áreas, porque permite partir el intervalo en los puntos donde la función cambia de signo y tratar cada trozo por separado.

Un punto crucial que la siguiente sección desarrollará: la integral definida NO es siempre el área. La integral cuenta como POSITIVA el área de las regiones donde f está por encima del eje (f > 0) y como NEGATIVA la de las regiones donde f está por debajo (f < 0). Por eso, si la función cambia de signo dentro de [a, b], la integral mide un «área con signo» (un balance) que puede ser menor que el área geométrica real, e incluso cero. El histórico Isaac Barrow fue maestro de Newton, y el teorema fundamental que sistematizaron Newton y Leibniz es la cúspide del cálculo; pero su aplicación correcta exige siempre vigilar el signo del integrando.

Vocabulario

→ Tarjetas

Integral definidaNúmero que se obtiene al evaluar una primitiva entre dos límites; representa un área con signo.
Regla de BarrowLa integral definida de f entre a y b es F(b) − F(a), siendo F una primitiva cualquiera de f.
Límites de integraciónLos valores a (inferior) y b (superior) entre los que se integra.
Aditividad del intervaloPropiedad que permite partir la integral: de a a b es de a a c más de c a b.
Área con signoLa integral cuenta como negativo lo que queda por debajo del eje X.

Regla de Barrow

\int_a^b f(x)\,dx = \Big[\,F(x)\,\Big]_a^b = F(b) - F(a)

Si F es cualquier primitiva de f (F' = f), la integral definida se calcula evaluando F en los extremos y restando; la constante de integración se cancela en la resta.

Teorema fundamental del cálculo

\frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(t)\,dt\right) = f(x)

La función área acumulada desde a hasta x es una primitiva de f: su derivada es la propia función f. Es el resultado que justifica la regla de Barrow.

Aditividad respecto del intervalo y cambio de límites

\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f \qquad \int_a^b f = -\int_b^a f

La integral se puede partir por un punto intermedio c (clave para separar tramos de distinto signo) y al intercambiar los límites cambia de signo.

Ejemplo resuelto

Aplicación directa de la regla de Barrow

Calcula la integral definida ∫₀² (x² + 1) dx aplicando la regla de Barrow.

1. Hallar una primitiva
Integramos término a término: x² → x³/3 y 1 → x. Tomamos C = 0 (en la definida la constante se cancela).
2. Plantear el corchete de Barrow
Escribimos la primitiva entre corchetes con los límites 0 y 2.
3. Evaluar en los extremos
Calculamos F(2) y F(0): F(2) = 8/3 + 2 = 14/3 y F(0) = 0.
4. Restar
La integral es F(2) − F(0) = 14/3. Como f(x) = x² + 1 > 0 en todo [0, 2], este número coincide con el área bajo la curva.

Resultado: ∫₀² (x² + 1) dx = 14/3 ≈ 4.67. Como el integrando es positivo en todo el intervalo, ese número es también el área del recinto entre la curva y el eje OX desde x = 0 hasta x = 2.

Errores frecuentes

Arrastrar la constante «+ C» a la integral definida: en la regla de Barrow C se cancela al restar, de modo que en una integral definida no debe aparecer.
Equivocar el orden de la resta y calcular F(a) − F(b) en lugar de F(b) − F(a), cambiando el signo del resultado.
Identificar sin más la integral definida con el área cuando la función cambia de signo en el intervalo: en ese caso la integral da un balance con signo, no el área geométrica.
Arrastrar la constante C al aplicar Barrow. En la integral definida la C se cancela al restar, así que escribirla solo añade ruido; en la indefinida, en cambio, es obligatoria.
Restar al revés y dar F(a) − F(b). El orden es siempre el límite superior menos el inferior; invertirlo cambia el signo del resultado.

Repaso activo

Aplica la regla de Barrow para calcular la integral definida ∫₀² (x² + 1) dx, escribiendo la primitiva, el corchete [F(x)]₀² y la resta F(2) − F(0).

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Cálculo del área entre una curva y el eje de abscisas#

~7 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, B. Sentido de la medida — 1. Medición: «Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, B. Sentido de la medida — 1. Medición: «Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas.»

Por qué la integral no es el área: el signo

El área es una magnitud SIEMPRE positiva, pero la integral definida lleva signo: suma las regiones por encima del eje (f > 0) y resta las que quedan por debajo (f < 0). Por eso el cálculo del área entre la gráfica de f y el eje OX en un intervalo [a, b] no es, en general, «la integral», sino que exige un protocolo cuidadoso. Si confundimos integral con área, una región simétrica respecto del eje puede dar integral cero y hacernos creer, erróneamente, que «no hay área».

El primer paso siempre es localizar los CORTES con el eje OX dentro del intervalo, es decir, resolver f(x) = 0. Esas raíces, junto con los extremos a y b, dividen el intervalo en tramos en cada uno de los cuales f mantiene un signo constante (es íntegramente positiva o íntegramente negativa). Determinar el signo en cada tramo (evaluando f en un punto interior, o con un esbozo de la gráfica) es lo que permite saber qué partes hay que «corregir».

El protocolo de cálculo es entonces: integrar f en cada tramo por separado y tomar el VALOR ABSOLUTO de cada integral parcial antes de sumarlas. De forma compacta, el área total es la suma de los valores absolutos de las integrales en los tramos de signo constante. La razón es que el valor absoluto convierte la contribución negativa de los tramos bajo el eje en positiva, de modo que cada trozo aporta su área geométrica real. Una alternativa equivalente y muy práctica es integrar el valor absoluto de la función, ∫ₐᵇ |f(x)| dx, que es exactamente el área buscada.

Si la función NO cambia de signo en todo el intervalo, todo se simplifica. Si f ≥ 0 en [a, b], el área es directamente la integral, ∫ₐᵇ f(x) dx. Si f ≤ 0 en [a, b] (la curva está enteramente bajo el eje), la integral sale negativa y el área es su valor absoluto, es decir, el opuesto: −∫ₐᵇ f(x) dx. Reconocer de antemano que la función no cambia de signo (por ejemplo, una exponencial siempre positiva, o una parábola que no corta el eje en el intervalo) ahorra el reparto en tramos.

En las ciencias sociales esta área tiene lecturas naturales. El área bajo una curva de TASA (de ingreso marginal, de natalidad, de velocidad de un proceso) entre dos instantes mide la cantidad ACUMULADA en ese periodo: el ingreso total generado, la población nacida, la magnitud producida. Como las tasas suelen ser positivas, el reparto en tramos a menudo no hace falta; pero el razonamiento del signo sigue siendo el que garantiza que el número obtenido es realmente la cantidad acumulada y no un balance. Esta interpretación se profundiza en la última sección.

Vocabulario

→ Tarjetas

Punto de corte con el eje XSolución de f(x) = 0; separa los tramos en que la curva cambia de signo.
Área encerradaSuperficie entre la curva y el eje, contada siempre en positivo.
Tramo negativoIntervalo en que f(x) < 0; su integral sale negativa y hay que tomar el valor absoluto.
Partir la integralDescomponer el cálculo en los subintervalos delimitados por los cortes.
Valor absolutoOperación que convierte en positivo el resultado de un tramo bajo el eje.

Área entre una curva y el eje OX

A = \int_a^b |f(x)|\,dx

El área geométrica es la integral del valor absoluto de la función; equivale a integrar por tramos de signo constante y sumar los valores absolutos de las integrales parciales.

Reparto en tramos por los cortes con el eje

A = \Big|\!\int_a^c f\Big| + \Big|\!\int_c^b f\Big| \quad (f(c)=0)

Si f corta el eje en c dentro de [a, b], se integra en cada tramo y se suman los VALORES ABSOLUTOS de las integrales parciales, nunca el valor absoluto de la suma total.

Ejemplo resuelto

Área de una parábola con el eje OX (cortes y signo)

Calcula el área del recinto limitado por la parábola f(x) = −x² + 4x y el eje de abscisas.

1. Cortes con el eje OX
Resolvemos f(x) = 0: −x² + 4x = 0, es decir, x(−x + 4) = 0, cuyas soluciones son x = 0 y x = 4. El recinto está entre x = 0 y x = 4.
2. Estudiar el signo
Es una parábola con las ramas hacia abajo y raíces 0 y 4, así que f(x) ≥ 0 en todo [0, 4] (por ejemplo, f(2) = −4 + 8 = 4 > 0). No cambia de signo: el área es directamente la integral.
3. Hallar la primitiva
Integramos: −x² → −x³/3 y 4x → 2x².
4. Aplicar Barrow
Evaluamos F(4) − F(0): F(4) = −64/3 + 32 = (−64 + 96)/3 = 32/3 y F(0) = 0.

Resultado: El área del recinto es 32/3 ≈ 10.67 u². Como la parábola es positiva en todo [0, 4], la integral coincide con el área sin necesidad de tomar valores absolutos.

Explicación paso a paso8 pasos

1
Hay un error que se repite curso tras curso en el cálculo de áreas, y siempre por el mismo motivo: integrar de un tirón sin mirar dónde corta la curva al eje.
2
La integral definida no mide área: mide área CON SIGNO. Lo que queda por encima del eje cuenta positivo y lo que queda por debajo, negativo.
3
Mira lo que pasa con la parábola y = x² − 4 entre −2 y 2, que está entera por debajo del eje. La integral sale negativa, y un área nunca lo es.
La integral sale negativa
$\int_{-2}^{2} (x^2 - 4)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3} - 4x\right]_{-2}^{2} = -\dfrac{32}{3}$
El resultado es correcto como integral. El área encerrada es su valor absoluto, 32/3 unidades cuadradas.
4
El caso peligroso es peor, porque no avisa. Si la curva cruza el eje dentro del intervalo, un trozo positivo y otro negativo se restan entre sí y el resultado parece razonable.
5
Con y = x³ entre −1 y 1 el resultado es exactamente cero, y sin embargo hay dos lóbulos con área. La integral no está mal: es que no era el área lo que estabas calculando.
Cuando la cancelación esconde el área
$\int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0 \qquad\text{pero}\qquad \text{Área} = \left|\int_{-1}^{0}\right| + \left|\int_{0}^{1}\right| = \dfrac{1}{2}$
Los dos lóbulos son simétricos y sus integrales se anulan. Partiendo en el corte x = 0 y tomando valores absolutos aparece el área verdadera.
6
De ahí sale el orden de trabajo. Primero resuelve f(x) = 0 dentro del intervalo: esos cortes son las costuras por donde hay que partir.
7
Después integra en cada tramo por separado, toma el valor absoluto de cada resultado y súmalos. El valor absoluto va tramo a tramo, nunca al final.
8
Y comprueba el orden de magnitud con un dibujo rápido. Si la región cabe holgadamente en un rectángulo de área 10 y a ti te sale 40, hay un error antes del signo.

Errores frecuentes

Dar como área el valor de la integral definida sin estudiar el signo, de modo que las partes bajo el eje restan y el área sale demasiado pequeña (o cero en casos simétricos).
Olvidar localizar los cortes con el eje dentro del intervalo y no partir la integral en los tramos de signo constante.
Tomar el valor absoluto de la SUMA de las integrales en lugar del valor absoluto de CADA integral parcial: lo correcto es |∫ tramo 1| + |∫ tramo 2| + …, no |∫ total|.
Integrar de un tirón entre los extremos sin buscar los cortes con el eje, de modo que un tramo positivo y otro negativo se cancelan y el área sale más pequeña de lo que es (o incluso cero).
Dar un área negativa. El área es una magnitud geométrica y nunca es negativa; el signo de la integral solo indica de qué lado del eje está la región.

Repaso activo

Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función g(x) = x³ − 4x y el eje de abscisas en el intervalo [−2, 2]. Localiza primero los cortes con el eje, estudia el signo por tramos y suma los valores absolutos de las integrales parciales.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Cálculo del área comprendida entre dos curvas#

~7 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, B. Sentido de la medida — 1. Medición: «Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, B. Sentido de la medida — 1. Medición: «Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas.»

La banda vertical: altura = superior − inferior

El área encerrada entre las gráficas de dos funciones f y g se obtiene integrando la DIFERENCIA de las dos funciones, restando siempre «la de arriba menos la de abajo». Si en un intervalo [a, b] se cumple f(x) ≥ g(x) (la gráfica de f va por encima de la de g), el área del recinto comprendido entre ambas es la integral de f − g en ese intervalo. La idea es intuitiva: la altura de una banda vertical infinitamente delgada del recinto es la distancia f(x) − g(x) entre las dos curvas, y la integral suma todas esas alturas a lo largo del intervalo.

La gran ventaja de restar «arriba menos abajo» es que esta técnica funciona TAL CUAL aunque las curvas estén por debajo del eje OX: solo importa cuál de las dos va por encima de la otra, no su posición respecto del eje. Por eso, a diferencia de la sección anterior, no hace falta estudiar el signo de cada función por separado; basta con saber cuál es la superior en cada tramo. Esto convierte el problema de dos curvas, pese a parecer más difícil, en un cálculo a menudo más directo que el de una curva con el eje.

El protocolo es claro. Primero, localizar los puntos de CORTE entre las dos curvas resolviendo f(x) = g(x): esas abscisas son los límites de integración y los puntos donde puede cambiar cuál es la curva superior. Segundo, determinar en cada tramo entre cortes consecutivos cuál de las dos funciones es mayor (evaluando en un punto interior o con un esbozo). Tercero, integrar en cada tramo la diferencia «superior − inferior» y sumar. Si las curvas se cruzan varias veces, hay que partir en tramos exactamente igual que con el signo en la sección anterior; en cada tramo cambia el orden de la resta.

Cuando las dos curvas se cortan en solo dos puntos a y b y una está siempre por encima de la otra entre ellos, el cálculo se reduce a una única integral, A = ∫ₐᵇ [superior − inferior] dx, sin reparto en tramos. Este es el caso más habitual en la PAU: dos parábolas, una parábola y una recta, o una curva y una recta que delimitan un recinto cerrado. El esbozo de la gráfica es muy recomendable: ayuda a no equivocar el orden de la resta y a comprobar que el resultado tiene sentido (un área siempre positiva).

El caso de la sección anterior —área entre una curva y el eje OX— es en realidad un caso PARTICULAR de este: el eje de abscisas es la recta g(x) = 0, así que el área entre la curva y el eje es el área entre f y la recta y = 0. Esta unificación es la idea potente del bloque: todo el cálculo de áreas planas se reduce a integrar la diferencia entre la frontera superior y la inferior del recinto. En economía, el área entre dos curvas tiene lecturas muy ricas —el excedente del consumidor entre la curva de demanda y el precio, el beneficio acumulado entre las curvas de ingreso y de coste— que se interpretan en la última sección.

Vocabulario

→ Tarjetas

Curva superiorLa que toma valores mayores en el tramo considerado; va primero en la resta.
Puntos de corte entre curvasSoluciones de f(x) = g(x); son los límites naturales de integración.
Región encerradaSuperficie limitada por las dos curvas entre sus puntos de corte.
Punto de pruebaValor interior a un tramo con el que se decide qué curva va por encima.
Diferencia de funcionesLa función f − g, cuya integral da directamente el área del tramo.

Área entre dos curvas

A = \int_a^b \big[\,f(x) - g(x)\,\big]\,dx \quad (f \ge g \text{ en } [a,b])

Se integra la diferencia entre la curva superior f y la inferior g; a y b son las abscisas de los puntos de corte, solución de f(x) = g(x).

Puntos de corte (límites de integración)

f(x) = g(x) \;\Rightarrow\; \text{abscisas de corte } a, b, \dots

Resolver la ecuación f(x) = g(x) da las abscisas donde las gráficas se cruzan; son los límites de integración y los puntos donde puede cambiar cuál es la curva superior.

Ejemplo resuelto

Área entre una parábola y una recta

Calcula el área del recinto limitado por las curvas f(x) = 6 − x² y g(x) = x.

1. Puntos de corte
Igualamos las funciones: 6 − x² = x, que reordenado es x² + x − 6 = 0; sus soluciones son x = 2 y x = −3.
2. Identificar la curva superior
Entre x = −3 y x = 2 tomamos un punto interior, x = 0: f(0) = 6 y g(0) = 0, luego f está por encima de g en todo el intervalo. Restamos f − g.
3. Plantear e integrar la diferencia
La diferencia es f − g = 6 − x² − x. Una primitiva es 6x − x³/3 − x²/2.
4. Aplicar Barrow
En x = 2: 12 − 8/3 − 2 = 10 − 8/3 = 22/3. En x = −3: −18 + 9 − 9/2 = −9 − 9/2 = −27/2. La resta es 22/3 − (−27/2) = 44/6 + 81/6 = 125/6.

Resultado: El área del recinto es 125/6 ≈ 20.83 u². La parábola f(x) = 6 − x² queda por encima de la recta g(x) = x entre los cortes x = −3 y x = 2, y el área es la integral de la diferencia f − g.

Errores frecuentes

Restar las funciones en el orden equivocado (inferior − superior), obteniendo un área negativa; el área es siempre positiva y se resta «la de arriba menos la de abajo».
No hallar correctamente todos los puntos de corte f(x) = g(x), de modo que los límites de integración son erróneos o se omite un tramo donde cambia la curva superior.
Estudiar el signo de cada función respecto del eje (como en el área con el eje OX) cuando lo único que importa es cuál de las dos curvas está por encima de la otra.
Suponer que una curva está siempre por encima de la otra sin comprobarlo. Si se cruzan dentro del intervalo, hay que partir la integral y cambiar el orden de la resta en cada tramo.
Restar las integrales por separado y tomar el valor absoluto al final. El valor absoluto va dentro, tramo a tramo: |∫(f − g)| calculado de golpe puede cancelar áreas reales.

Repaso activo

Calcula el área del recinto limitado por las curvas f(x) = 6 − x² y g(x) = x. Halla primero los puntos de corte resolviendo f(x) = g(x), identifica la curva superior e integra la diferencia entre los cortes.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Interpretación del área como magnitud acumulada en ciencias sociales#

Probabilidad como área bajo la campana de Gauss

La idea que da sentido económico y social a la integral es esta: cuando una función describe la TASA o el RITMO al que una magnitud crece, el área bajo esa curva entre dos valores mide la cantidad TOTAL acumulada en ese intervalo. La razón es el teorema fundamental, leído al revés: si f es la velocidad a la que crece una cantidad Q (es decir, f = Q'), entonces la integral de f desde a hasta b recupera el incremento de Q, esto es, Q(b) − Q(a). Integrar una tasa devuelve la cantidad; derivar una cantidad devuelve su tasa.

El ejemplo paradigmático en economía es el INGRESO. Si I'(x) es el «ingreso marginal» —el ingreso adicional que produce vender una unidad más cuando ya se han vendido x—, entonces el ingreso total obtenido al vender desde x = a hasta x = b unidades es la integral del ingreso marginal entre esos límites. Lo mismo vale para el COSTE: la integral del coste marginal C'(x) da el incremento de coste, y si se conoce el coste fijo (el coste para x = 0, que es la constante de integración) se reconstruye el coste total C(x). Así, las nociones «marginal» (derivada) y «total» (integral) de la economía son las dos caras del cálculo.

Otras lecturas frecuentes en las ciencias sociales son la POBLACIÓN y los flujos. Si una función describe el ritmo de natalidad o la velocidad de crecimiento de una población (personas por año), el área bajo la curva entre dos años da el número de individuos acumulados en ese periodo. Si una función describe un caudal o un flujo (de gasto, de consumo, de descargas) por unidad de tiempo, su integral en un intervalo da el total acumulado en ese tiempo. En todos los casos las UNIDADES ayudan a interpretar: el área tiene por unidad el producto de las del eje horizontal por las del vertical (años × personas/año = personas; unidades × euros/unidad = euros).

Un caso especialmente importante por su conexión con la estadística es el área entre dos curvas leída como EXCEDENTE. El «excedente del consumidor» es el área comprendida entre la curva de demanda y la recta horizontal del precio de equilibrio: mide el beneficio total que obtienen los consumidores por pagar un precio menor del que estarían dispuestos a pagar. De forma análoga, el «beneficio acumulado» es el área entre la curva de ingreso marginal y la de coste marginal. Estas magnitudes, centrales en economía, son exactamente los recintos entre curvas de la sección anterior, ahora con un significado.

Por último, el currículo conecta el área bajo una curva con la FUNCIÓN DE DENSIDAD de la distribución normal y pide manejar herramientas tecnológicas para el cálculo aproximado de integrales y áreas. En las variables aleatorias continuas, la probabilidad de que la variable tome un valor en un intervalo [a, b] es precisamente el ÁREA bajo la curva de densidad entre a y b. La campana de Gauss de la distribución normal es el ejemplo estrella: el área total bajo la curva vale 1 (probabilidad total) y las probabilidades P(a ≤ X ≤ b) son áreas que se obtienen con la tabla de la N(0,1) o con calculadora/hoja de cálculo, porque su primitiva no es elemental. Esa imposibilidad de integrar la densidad normal «a mano» es justo el motivo por el que el currículo legitima el cálculo aproximado con herramientas tecnológicas (GeoGebra, Desmos, hoja de cálculo, calculadora).

Vocabulario

→ Tarjetas

Magnitud acumuladaTotal que se obtiene al sumar un ritmo a lo largo de un intervalo de tiempo.
Función de ritmoFunción que mide cuánto cambia una magnitud por unidad de tiempo.
Unidades de la integralProducto de las unidades del eje Y por las del eje X.
Valor medio de una funciónLa integral dividida entre la longitud del intervalo; el nivel constante equivalente.
ExcedenteAplicación económica del área entre dos curvas de oferta y demanda.

El área acumula la magnitud a partir de su tasa

Q(b) - Q(a) = \int_a^b Q'(x)\,dx

Si una función es la tasa de variación Q' de una magnitud Q, la integral definida de esa tasa entre a y b devuelve el incremento total Q(b) − Q(a) acumulado en el intervalo.

Ingreso total a partir del ingreso marginal

I_{\text{total}} = \int_0^{q} I'(x)\,dx

El ingreso total por vender q unidades es la integral del ingreso marginal I'(x) entre 0 y q; análogamente, la integral del coste marginal da el incremento de coste.

Probabilidad como área bajo la densidad

P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx

En una variable aleatoria continua, la probabilidad de caer en [a, b] es el área bajo la curva de densidad; en la normal se calcula con la tabla N(0,1) o con herramientas tecnológicas porque su primitiva no es elemental.

Ejemplo resuelto

Ingreso total a partir del ingreso marginal

El ingreso marginal de un producto, tras vender x unidades, es I'(x) = 100 − 2x euros por unidad (0 ≤ x ≤ 30). Calcula el ingreso total al vender las primeras 30 unidades e interprétalo.

1. Plantear la integral
El ingreso total es la cantidad acumulada al integrar la tasa (el ingreso marginal) desde 0 hasta 30 unidades.
2. Hallar una primitiva
Integramos término a término: 100 → 100x y −2x → −x².
3. Aplicar la regla de Barrow
Evaluamos F(30) − F(0): F(30) = 100 · 30 − 30² = 3000 − 900 = 2100 y F(0) = 0.
4. Interpretar con unidades
El área tiene por unidad (unidades) × (euros/unidad) = euros. Además I'(x) = 100 − 2x ≥ 0 en [0, 30], así que el ingreso marginal nunca es negativo en el intervalo y la integral es directamente la cantidad acumulada.

Resultado: El ingreso total al vender las primeras 30 unidades es 2100 €. Es el área bajo la curva del ingreso marginal entre 0 y 30, que acumula el ingreso adicional de cada unidad vendida.

Errores frecuentes

Confundir la magnitud con su tasa: integrar cuando se debería derivar (o al revés), por no distinguir entre la cantidad total y su ritmo de variación (marginal).
Olvidar el coste fijo (la constante de integración) al reconstruir el coste total a partir del coste marginal, o no usar la condición inicial que lo determina.
Dar la magnitud acumulada sin unidades o con unidades incorrectas, sin reparar en que el área es el producto de las unidades de los dos ejes.
Dar el resultado con las unidades del eje Y. Si f mide personas por hora y x se mide en horas, la integral mide PERSONAS: las unidades se multiplican.
Confundir el valor acumulado con el ritmo final. La integral entre 0 y 5 da el total del periodo, no el valor que tenía el ritmo en el instante 5.

Repaso activo

El ingreso marginal (en euros por unidad) de un producto, cuando se han vendido x unidades, es I'(x) = 100 − 2x, válido para 0 ≤ x ≤ 30. Calcula, mediante una integral definida, el ingreso total obtenido al vender las primeras 30 unidades e interpreta el resultado con sus unidades.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

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Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Integrales y cálculo de áreas

5 secciones~35 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

La integral definida y la regla de Barrow#

Cálculo del área entre una curva y el eje de abscisas#

Cálculo del área comprendida entre dos curvas#

Integrales y cálculo de áreas

Puntos clave

Integral indefinida de un polinomio con condición inicial

Puntos clave

Aplicación directa de la regla de Barrow

Puntos clave

Área de una parábola con el eje OX (cortes y signo)

Puntos clave

Área entre una parábola y una recta

Puntos clave

Ingreso total a partir del ingreso marginal

Fuentes

Integrales y cálculo de áreas

Puntos clave

Integral indefinida de un polinomio con condición inicial

Puntos clave

Aplicación directa de la regla de Barrow

Puntos clave

Área de una parábola con el eje OX (cortes y signo)

Puntos clave

Área entre una parábola y una recta

Puntos clave

Ingreso total a partir del ingreso marginal

Fuentes