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Distribuciones de probabilidad

Apunte de repaso de Matemáticas II (materia de modalidad, 2.º de Bachillerato, LOMLOE) sobre las variables aleatorias y los dos modelos probabilísticos esenciales del temario: la distribución binomial (discreta) y la distribución normal (continua). Una variable aleatoria traduce el azar a números, y estos dos modelos permiten predecir la probabilidad de los resultados de un experimento sin tener que enumerarlos uno a uno. Es contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad (PAU) dentro del bloque de Estadística y probabilidad: cálculo de probabilidades binomiales con números combinatorios sencillos, tipificación y uso de la tabla N(0,1), y aproximación de la binomial a la normal con corrección de continuidad (Yates).

5 secciones~32 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

T·101010 / 12

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de contexto real (control de calidad, encuestas, medidas físicas, ciencias de la salud) eligiendo y aplicando la distribución de probabilidad adecuada, binomial o normal.CE3 · Formular y comprobar conjeturas sencillas utilizando el razonamiento y herramientas adecuadas: estimar probabilidades, comparar el modelo con los datos y decidir cuándo es válida la aproximación de la binomial a la normal.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento, empleando las distribuciones de probabilidad en el control de calidad industrial, las ciencias sociales y las ciencias de la salud.

Operadores:calculamodelizainterpretatipificajustificarazonaaproximarelacionaidentificacomenta

nivel básico

Como contenido del bloque de Estadística y probabilidad de Matemáticas II, se exige identificar y describir una variable aleatoria, reconocer cuándo un fenómeno sigue una distribución binomial B(n, p) o normal N(μ, σ), calcular sus parámetros (esperanza y desviación típica) y calcular probabilidades binomiales con números combinatorios sencillos y probabilidades normales mediante la tipificación y la tabla N(0,1).

nivel avanzado

La profundización propia de la modalidad consiste en modelizar problemas de contexto real eligiendo el modelo, manejar con soltura la tabla normal (incluida la lectura inversa, de probabilidad a valor) y, sobre todo, justificar y aplicar la aproximación de la binomial a la normal con la corrección de continuidad de Yates cuando n es grande.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Distribuciones de probabilidad

5 secciones20 puntos clave10 fórmulas20 errores típicos

Variables aleatorias discretas y continuas; parámetros#

~6 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido estocástico (variables aleatorias discretas y continuas; parámetros de la distribución)

Una «variable aleatoria» es una función que asigna un número real a cada resultado de un experimento aleatorio. Su papel es traducir el azar al lenguaje de los números para poder calcular probabilidades, esperanzas y dispersiones. Por ejemplo, en el lanzamiento de tres monedas la variable X = «número de caras» convierte cada resultado (CCC, CCX, …) en un valor 0, 1, 2 o 3. Se distingue siempre entre la variable, que se escribe con mayúscula (X), y un valor concreto que puede tomar, que se escribe con minúscula (x); el suceso «X toma el valor x» se denota X = x, y tiene asociada una probabilidad P(X = x).

Las variables aleatorias se clasifican en dos grandes tipos según el conjunto de valores que pueden tomar (Fig. 1). Una variable es «discreta» cuando toma un número finito o numerable de valores aislados, normalmente procedentes de un recuento: número de caras, de piezas defectuosas, de aciertos en un test. Una variable es «continua» cuando puede tomar cualquier valor de un intervalo de la recta real, normalmente procedente de una medida: estatura, peso, tiempo, temperatura. Esta distinción no es un tecnicismo: determina cómo se describe la distribución y cómo se calculan las probabilidades.

Variable discreta (barras) frente a variable continua (densidad)

Fig. 1 ↓

En una variable «discreta», la distribución de probabilidad se da mediante su «función de masa», que asigna a cada valor x_i su probabilidad p_i = P(X = x_i). Esas probabilidades cumplen dos condiciones: cada una está entre 0 y 1, y todas suman 1. La probabilidad de un valor concreto puede ser positiva (por ejemplo, P(X = 2) tiene sentido y suele ser distinta de cero), y se representa con un diagrama de barras. La binomial, que veremos a continuación, es el ejemplo más importante de variable discreta del temario.

En una variable «continua», en cambio, la probabilidad de un valor concreto es CERO —hay infinitos valores posibles en cualquier intervalo— y la distribución se describe mediante una «función de densidad» f(x), una curva bajo la cual el ÁREA representa probabilidad. La probabilidad de que X caiga en un intervalo [a, b] es el área bajo la curva entre a y b, y el área total bajo toda la curva vale 1. Por eso, en una variable continua, da igual usar < o ≤: P(X < a) = P(X ≤ a), ya que el valor aislado a no aporta área. La normal es el ejemplo capital de variable continua.

Toda distribución se resume en unos pocos «parámetros». La «esperanza matemática» o media, denotada μ = E[X], es el valor promedio teórico de la variable a largo plazo; en una variable discreta se calcula como la suma de cada valor por su probabilidad, μ = Σ x_i · p_i. La «varianza» σ² mide la dispersión respecto de la media, y su raíz cuadrada es la «desviación típica» σ, que se expresa en las mismas unidades que la variable. Estos parámetros son la identidad de cada modelo: B(n, p) y N(μ, σ) quedan completamente determinadas por ellos.

Vocabulario

→ Tarjetas

Variable aleatoriaFunción que asigna un número real a cada resultado de un experimento aleatorio.
Variable discretaToma valores aislados, normalmente de un recuento; cada valor tiene probabilidad propia.
Variable continuaToma cualquier valor de un intervalo; la probabilidad de un valor aislado es cero.
Función de masaAsigna a cada valor xᵢ su probabilidad pᵢ; todas las pᵢ suman exactamente 1.
Función de densidadCurva bajo la cual el ÁREA representa probabilidad; el área total vale 1.
Esperanza matemáticaμ = E[X] = Σ xᵢ·pᵢ: el valor promedio teórico de la variable a largo plazo.

Esperanza, varianza y desviación típica de una variable discreta

\mu = E[X] = \sum_{i} x_i \cdot p_i, \qquad \sigma^2 = \sum_{i} (x_i - \mu)^2 \, p_i, \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}

La esperanza es la media ponderada de los valores por sus probabilidades; la varianza mide la dispersión respecto de la media y la desviación típica es su raíz cuadrada, en las mismas unidades que la variable.

Condiciones de una distribución de probabilidad discreta

\sum_{i} p_i = 1, \qquad 0 \le p_i \le 1 \qquad \text{(variable discreta)}

Cada probabilidad está entre 0 y 1, y la suma de todas las probabilidades de los valores posibles vale exactamente 1.

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Ejemplo resuelto

Función de masa y esperanza de una variable discreta

Se lanza una moneda equilibrada tres veces y X = «número de caras». Determina la función de masa P(X = x), comprueba que las probabilidades suman 1 y calcula la esperanza E[X].

1. Espacio muestral y conteo
Hay 2³ = 8 resultados equiprobables. El número de ellos con exactamente x caras es el número combinatorio C(3, x): 1 con 0 caras, 3 con 1, 3 con 2 y 1 con 3.
2. Función de masa
Dividiendo cada número combinatorio entre 8 se obtiene la distribución.
3. Comprobar que suman 1
La suma de las cuatro probabilidades verifica la condición de distribución de probabilidad.
4. Esperanza
Aplicamos μ = Σ x_i p_i sumando cada valor por su probabilidad.

Resultado: X es una variable discreta con P(0)=1/8, P(1)=3/8, P(2)=3/8, P(3)=1/8 (suman 1) y esperanza E[X] = 1,5 caras. Coincide con np = 3·0,5 = 1,5, pues X sigue una binomial B(3; 0,5).

Objetivo Selectividad

Distinguir con criterio si una variable de un enunciado es discreta o continua y, en consecuencia, decidir qué modelo (binomial o normal) corresponde y qué tipo de cálculo procede (suma de probabilidades de valores frente a área bajo la curva).
Se evalúa interpretar y calcular los parámetros de una distribución (esperanza y desviación típica) y entender su significado, paso previo imprescindible para tipificar en la normal y para describir una binomial.
Para la esperanza de una discreta, monta una tabla de dos filas —valores y probabilidades— y multiplica columna a columna; el error frecuente aquí es aritmético, no conceptual.
Comprueba siempre que las probabilidades suman 1 antes de seguir; si el enunciado deja una incógnita en la tabla, esa suma es precisamente la ecuación que la determina.

Errores frecuentes

Confundir la variable aleatoria X con uno de sus valores x, o tratar P(X = a) como un número positivo en una variable CONTINUA, donde siempre vale 0.
Olvidar que en una distribución discreta las probabilidades deben sumar exactamente 1, o usar una «probabilidad» mayor que 1 o negativa.
Mezclar el manejo discreto y el continuo: en la binomial < y ≤ NO son equivalentes (P(X < 3) excluye el 3), mientras que en la normal sí lo son.
Dar la varianza como si fuera la desviación típica: σ es la RAÍZ de σ² y se expresa en las mismas unidades que la variable, no en unidades cuadradas.

Repaso activo

Se lanza una moneda equilibrada tres veces y se define la variable aleatoria X = «número de caras obtenidas». Indica si X es discreta o continua, escribe su función de masa P(X = x) para x = 0, 1, 2, 3 comprobando que las probabilidades suman 1, y calcula la esperanza μ = E[X].

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)) · Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Distribución binomial: definición, parámetros y cálculo de probabilidades#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido estocástico (distribución binomial: definición, parámetros y cálculo de probabilidades con números combinatorios sencillos)

La distribución binomial es el modelo discreto por excelencia y describe el número de «éxitos» en una serie de pruebas repetidas. Surge de un «experimento de Bernoulli»: una prueba con solo dos resultados posibles, que llamamos convencionalmente éxito (con probabilidad p) y fracaso (con probabilidad q = 1 − p). Si repetimos esa prueba n veces de forma INDEPENDIENTE y con la MISMA probabilidad p en cada repetición, la variable X = «número de éxitos en las n pruebas» sigue una distribución binomial, que se denota B(n, p). Sus dos parámetros son n (número de pruebas) y p (probabilidad de éxito en cada una).

Para que un fenómeno sea binomial deben cumplirse cuatro condiciones, y conviene verificarlas antes de aplicar la fórmula: (1) el experimento consta de un número fijo n de pruebas; (2) cada prueba tiene solo dos resultados, éxito o fracaso; (3) la probabilidad de éxito p es constante en todas las pruebas; y (4) las pruebas son independientes entre sí. El caso típico es el muestreo CON reemplazamiento o, en la práctica, extracciones de una población muy grande, donde p apenas varía. Si la probabilidad cambia de una prueba a otra (por ejemplo, extracciones sin reemplazamiento de una urna pequeña), el modelo binomial NO es válido.

La probabilidad de obtener exactamente k éxitos viene dada por la «fórmula de la binomial»: P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ, donde C(n, k) es el número combinatorio «n sobre k». Cada parte tiene un significado claro: pᵏ es la probabilidad de k éxitos, qⁿ⁻ᵏ la de los n − k fracasos, y el número combinatorio C(n, k) cuenta de cuántas maneras distintas pueden ordenarse esos k éxitos entre las n pruebas. El currículo limita el cálculo a casos en que los números combinatorios implicados sean sencillos (Fig. 2).

Diagrama de barras de la binomial B(8; 0,25)

Fig. 2 ↓

Los parámetros de la binomial se calculan con dos fórmulas que conviene memorizar: la esperanza (número medio de éxitos esperado) es μ = n·p, y la varianza es σ² = n·p·q, de modo que la desviación típica es σ = √(n·p·q). Por ejemplo, en B(10; 0,5) se espera una media de 5 éxitos con desviación típica √(10·0,5·0,5) = √2,5 ≈ 1,58. Estas fórmulas serán además la clave para aproximar la binomial por una normal cuando n sea grande, como veremos al final del tema.

En los problemas se piden a menudo probabilidades ACUMULADAS, no de un solo valor: «como mucho k», «al menos k», «entre dos valores». Hay que traducir cada expresión a una suma de P(X = k): «como mucho 2» es P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2); «al menos 1» es P(X ≥ 1), que casi siempre conviene calcular por el suceso contrario, 1 − P(X = 0), para ahorrar cuentas. Es esencial leer si los extremos se incluyen o no: «más de 3» es P(X > 3) = P(X ≥ 4), distinto de «3 o más» = P(X ≥ 3). En una variable discreta, < y ≤ NO son intercambiables.

Vocabulario

→ Tarjetas

Experimento de BernoulliPrueba con solo dos resultados, éxito (p) y fracaso (q = 1 − p).
Distribución binomialB(n, p): número de éxitos en n pruebas de Bernoulli independientes con p constante.
ÉxitoEl resultado que se cuenta; definirlo al revés obliga a intercambiar p y q.
Número combinatorioC(n, k): cuenta de cuántas formas se ordenan los k éxitos entre las n pruebas.
Probabilidad acumuladaSuma de varias P(X = k); traduce «como mucho», «al menos» o «entre».
Parámetros n y pDeterminan la binomial por completo: μ = n·p y σ = √(n·p·q).

Función de masa de la binomial B(n, p)

P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\, q^{\,n-k}, \qquad q = 1 - p, \quad k = 0, 1, \dots, n

Probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n pruebas independientes: el número combinatorio cuenta las ordenaciones, pᵏ la probabilidad de los éxitos y qⁿ⁻ᵏ la de los fracasos.

Parámetros de la binomial

\mu = n\,p, \qquad \sigma^2 = n\,p\,q, \qquad \sigma = \sqrt{n\,p\,q}

La esperanza (número medio de éxitos) es n·p; la varianza es n·p·q y la desviación típica su raíz cuadrada.

Ejemplo resuelto

Probabilidades de una binomial B(8; 0,25)

El 25 % de las piezas de un lote muy grande es defectuoso. Se eligen 8 piezas al azar y X = «número de defectuosas». Calcula P(X = 2), P(X ≥ 1) y la media np.

1. Justificar el modelo
Hay n = 8 pruebas (las 8 piezas), cada pieza es defectuosa (éxito, p = 0,25) o no (fracaso, q = 0,75), la probabilidad es constante por ser el lote muy grande y las elecciones son independientes. Luego X ~ B(8; 0,25).
2. P(X = 2)
Aplicamos la fórmula con k = 2. El número combinatorio C(8, 2) = 28.
3. P(X ≥ 1) por el contrario
«Al menos una defectuosa» se calcula como 1 menos la probabilidad de ninguna, P(X = 0) = 0,75⁸.
4. Media
La esperanza es el número medio de defectuosas en las 8 piezas.

Resultado: P(X = 2) ≈ 0,3115 (probabilidad de exactamente 2 defectuosas), P(X ≥ 1) ≈ 0,8999 (al menos una defectuosa) y la media es μ = 2 piezas defectuosas por cada 8.

Errores frecuentes

Olvidar el número combinatorio C(n, k) y escribir solo pᵏ·qⁿ⁻ᵏ, lo que da una probabilidad mucho menor que la real.
Confundir p (éxito) con q (fracaso), o aplicar la binomial cuando las pruebas NO son independientes o p cambia entre pruebas (extracción sin reemplazamiento en una población pequeña).
Traducir mal las desigualdades: tratar «al menos 1» como P(X = 1), o «más de 3» como P(X ≥ 3) en lugar de P(X ≥ 4).
Tomar como éxito lo que el enunciado presenta como fracaso sin ajustar la probabilidad: si defines el éxito al revés, la que entra en la fórmula es q, no p.

Repaso activo

En una fábrica, el 25 % de cierto tipo de piezas presenta un defecto leve. Se toman al azar 8 piezas (de un lote muy grande, de modo que p se mantiene constante) y X = «número de piezas defectuosas». Justifica que X sigue una B(8; 0,25), calcula P(X = 2), P(X ≥ 1) y la media np.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob) · Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Distribución normal y tipificación#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido estocástico (distribución normal: definición y parámetros; tipificación Z = (X − μ)/σ)

La distribución «normal» es el modelo continuo más importante de la estadística: describe innumerables fenómenos en que muchos pequeños efectos aleatorios se suman (estaturas, errores de medida, calificaciones, magnitudes biológicas). Su función de densidad es la célebre «campana de Gauss», una curva simétrica respecto de su media. Una variable normal se denota N(μ, σ), donde μ es la media y σ la desviación típica; estos dos parámetros la determinan por completo: μ fija el centro de la campana y σ su anchura (a mayor σ, campana más baja y ancha; a menor σ, más alta y estrecha) (Fig. 3).

Tipificación: de N(μ, σ) a N(0, 1)

Fig. 3 ↓

La campana de Gauss tiene propiedades clave que conviene recordar. Es simétrica respecto del eje vertical x = μ, de modo que la media coincide con la mediana y con la moda, todas en el centro. El área total bajo la curva vale 1 (es una probabilidad) y, por simetría, queda mitad y mitad a cada lado de la media: P(X ≤ μ) = 0,5. Además, cumple la «regla empírica» 68–95–99,7: aproximadamente el 68 % de los datos caen en μ ± σ, el 95 % en μ ± 2σ y el 99,7 % en μ ± 3σ. Esta regla da una intuición rápida de cuán probable es alejarse de la media.

En una variable continua, la probabilidad es ÁREA bajo la curva de densidad. Por eso P(X = a) = 0 para cualquier valor concreto, y las probabilidades se piden siempre sobre intervalos: P(a ≤ X ≤ b) es el área bajo la campana entre a y b. Como el punto aislado no aporta área, en la normal da exactamente igual usar < o ≤: P(X < a) = P(X ≤ a). Esta es una diferencia esencial con la binomial, donde cada valor sí tiene probabilidad propia.

Existen infinitas normales (una por cada par μ, σ), por lo que sería imposible tabular todas. La solución es la «tipificación» o estandarización: a partir de cualquier X ~ N(μ, σ) se define la variable Z = (X − μ)/σ, que sigue la «normal estándar» N(0, 1), con media 0 y desviación típica 1. Tipificar significa medir la distancia del valor X a la media en «unidades de desviación típica»: un valor de Z = 1,5 indica que X está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media. Toda la información de la normal original se traslada así a una única tabla, la de N(0, 1).

La tipificación convierte cualquier cálculo de probabilidad normal en un cálculo con Z. Para hallar P(X ≤ x) se tipifica el extremo, P(X ≤ x) = P(Z ≤ (x − μ)/σ), y se busca el resultado en la tabla de la N(0, 1). El proceso es siempre el mismo: identificar μ y σ, tipificar el valor (o los valores) de interés, y leer la probabilidad en la tabla. El manejo concreto de la tabla y de la simetría se detalla en la sección siguiente; aquí lo esencial es entender QUÉ es tipificar y por qué reduce todas las normales a una sola.

Vocabulario

→ Tarjetas

Distribución normalN(μ, σ): modelo continuo con densidad en forma de campana simétrica.
Campana de GaussGráfica de la densidad normal; su área total vale 1 y es simétrica respecto de μ.
Media μCentro de la campana; coincide con la mediana y con la moda.
Desviación típica σAnchura de la campana: a mayor σ, curva más baja y extendida.
TipificaciónZ = (X − μ)/σ: mide la distancia a la media en desviaciones típicas.
Normal estándarN(0, 1): la única normal tabulada; a ella se reduce cualquier otra.

Tipificación: de N(μ, σ) a la normal estándar N(0, 1)

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1) \quad \text{si} \quad X \sim N(\mu, \sigma)

Restar la media y dividir entre la desviación típica transforma cualquier normal en la N(0,1); el valor de Z mide a cuántas desviaciones típicas de la media está X.

Probabilidad normal vía tipificación

P(X \le x) = P\!\left(Z \le \frac{x - \mu}{\sigma}\right), \qquad P(X = a) = 0

La probabilidad acumulada de X se traslada a la N(0,1) tipificando el extremo; en una variable continua la probabilidad de un valor aislado es nula.

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Ejemplo resuelto

Tipificación de estaturas normales

Las estaturas siguen N(μ = 175 cm, σ = 8 cm). Tipifica las estaturas 167 cm y 191 cm e interpreta cada valor de Z. Usando la regla empírica, ¿qué porcentaje aproximado mide entre 167 cm y 183 cm?

1. Tipificar 167 cm
Restamos la media y dividimos entre la desviación típica.
2. Tipificar 191 cm
Mismo procedimiento con el segundo valor.
3. Interpretar
167 cm está 1 desviación típica por DEBAJO de la media (z = −1); 191 cm está 2 desviaciones típicas por ENCIMA (z = 2).
4. Aplicar la regla empírica
El intervalo 167–183 cm es exactamente μ ± σ (175 ± 8). Por la regla 68–95–99,7, en μ ± σ cae aproximadamente el 68 % de los datos.

Resultado: z₁ = −1 (167 cm: una desviación típica por debajo de la media) y z₂ = 2 (191 cm: dos por encima). Por la regla empírica, alrededor del 68 % de los chicos mide entre 167 cm y 183 cm.

Errores frecuentes

Dividir entre la varianza σ² en lugar de la desviación típica σ al tipificar: la fórmula correcta es Z = (X − μ)/σ.
Tratar P(X = a) como un número positivo en la normal: en una variable continua siempre vale 0, y por eso < y ≤ dan lo mismo.
Confundir los papeles de μ y σ (μ centra la campana, σ la ensancha) o tipificar con el signo cambiado, (μ − X)/σ en vez de (X − μ)/σ.
Tipificar solo uno de los dos extremos de un intervalo: para P(a ≤ X ≤ b) hay que tipificar a y b y después restar las áreas acumuladas.

Repaso activo

Las estaturas de los chicos de cierta población siguen una distribución normal de media μ = 175 cm y desviación típica σ = 8 cm. Tipifica las estaturas 167 cm y 191 cm (calcula sus valores de Z) e interpreta cada resultado en términos de cuántas desviaciones típicas se alejan de la media. Indica, usando la regla empírica, qué porcentaje aproximado de chicos mide entre 167 cm y 183 cm.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Uso de la tabla de la distribución normal estándar N(0, 1)#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido estocástico (cálculo de probabilidades usando la tabla de la distribución normal estándar)

La tabla de la N(0, 1) que se usa en Selectividad da, para cada valor z ≥ 0, la probabilidad acumulada P(Z ≤ z), es decir, el área bajo la campana a la IZQUIERDA de z. Esta función se suele denotar Φ(z) = P(Z ≤ z). Para leerla se localiza la parte entera y la primera decimal de z en la columna de la izquierda (por ejemplo 1,5) y la segunda decimal en la fila superior (por ejemplo 0,02), y el cruce da Φ(1,52) ≈ 0,9357. Conviene saber tres referencias de memoria: Φ(0) = 0,5 (mitad del área), y que para z grande Φ(z) se acerca a 1.

Como la tabla solo recoge la cola izquierda para z ≥ 0, casi todos los cálculos se reducen a esa lectura mediante dos propiedades. La primera es el «suceso complementario»: el área a la derecha es uno menos el área a la izquierda, P(Z ≥ z) = 1 − P(Z ≤ z) = 1 − Φ(z). Así, una probabilidad «por la derecha» se obtiene restando de 1 lo que da la tabla.

La segunda propiedad es la «simetría» de la campana respecto de 0, que permite tratar los valores NEGATIVos de z, ausentes de la tabla. El área a la izquierda de un valor negativo es igual al área a la derecha de su opuesto positivo: P(Z ≤ −z) = P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z). En palabras: Φ(−z) = 1 − Φ(z). Por ejemplo, P(Z ≤ −1) = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587. Con el complementario y la simetría, cualquier probabilidad de cola se reduce a una entrada de la tabla.

Para la probabilidad de un INTERVALO se usa la diferencia de áreas acumuladas: P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a), restando del área hasta b el área hasta a (Fig. 4). Cuando el intervalo es simétrico, como P(−z ≤ Z ≤ z), conviene la fórmula P(−z ≤ Z ≤ z) = 2Φ(z) − 1, que se deduce de la simetría. Todo problema de probabilidad normal acaba siendo una de estas tres situaciones: cola izquierda (directo), cola derecha (complementario) o franja central (diferencia).

Probabilidad de un intervalo como área bajo la campana

Fig. 4 ↓

También aparece el problema INVERSO: dada una probabilidad, hallar el valor z (y luego el valor original x). Se busca la probabilidad DENTRO de la tabla y se lee el z correspondiente; si no figura exacta, se toma la más próxima. Una vez hallado z, se «destipifica» despejando x de la tipificación: x = μ + z·σ. Este cálculo inverso es el que resuelve preguntas como «¿qué nota deja por debajo al 90 % de la clase?» o «¿qué peso supera solo el 5 % de los productos?», muy frecuentes en la PAU.

Vocabulario

→ Tarjetas

Probabilidad acumulada Φ(z)Área a la izquierda de z bajo la N(0, 1); es lo que da directamente la tabla.
Cola izquierdaZona P(Z ≤ z); se lee sin más en la tabla para z ≥ 0.
Cola derechaZona P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z); se obtiene por el suceso complementario.
Simetría de la campanaΦ(−z) = 1 − Φ(z): permite tratar los valores negativos, ausentes de la tabla.
Destipificaciónx = μ + z·σ: devuelve el valor original a partir de la z leída.
Problema inversoDada una probabilidad, buscar z dentro de la tabla y destipificar para hallar x.

Lectura de la tabla: complementario y simetría

\Phi(z) = P(Z \le z), \qquad P(Z \ge z) = 1 - \Phi(z), \qquad \Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

La tabla da Φ(z) = área a la izquierda; el área a la derecha es 1 − Φ(z); y por simetría el área a la izquierda de −z es 1 − Φ(z).

Intervalo y destipificación (problema inverso)

P(a \le Z \le b) = \Phi(b) - \Phi(a), \qquad x = \mu + z\,\sigma

La probabilidad de un intervalo es la diferencia de áreas acumuladas; para el problema inverso, una vez hallado z en la tabla se recupera el valor original con x = μ + z·σ.

Ejemplo resuelto

Cálculo de probabilidades con la tabla N(0, 1)

Con Z ~ N(0, 1) y los valores Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332 y Φ(2) = 0,9772, calcula P(Z ≤ 1,5), P(Z ≥ 2), P(Z ≤ −1) y P(−1 ≤ Z ≤ 2).

1. P(Z ≤ 1,5) — directo
Es exactamente lo que da la tabla: el área a la izquierda de 1,5.
2. P(Z ≥ 2) — complementario
El área a la derecha es 1 menos el área a la izquierda.
3. P(Z ≤ −1) — simetría
Por la simetría de la campana, el área a la izquierda de −1 es el área a la derecha de 1.
4. P(−1 ≤ Z ≤ 2) — diferencia
Restamos del área hasta 2 el área hasta −1; esa última es 0,1587 por el paso anterior.

Resultado: P(Z ≤ 1,5) = 0,9332; P(Z ≥ 2) = 0,0228; P(Z ≤ −1) = 0,1587; P(−1 ≤ Z ≤ 2) = 0,8185.

Errores frecuentes

Olvidar la simetría con valores negativos y buscar −1,2 en la tabla (que solo tiene z ≥ 0); lo correcto es Φ(−1,2) = 1 − Φ(1,2).
Confundir cola izquierda y cola derecha: dar Φ(z) cuando se pedía P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z), o viceversa.
En el problema inverso, destipificar con la fórmula equivocada o cambiar el signo: la relación correcta es x = μ + z·σ.
Restar al revés en un intervalo: es P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a), nunca Φ(a) − Φ(b); un resultado negativo delata ese orden invertido.

Repaso activo

Sea Z una variable N(0, 1). Usando la tabla (Φ(1) = 0,8413; Φ(1,5) = 0,9332; Φ(2) = 0,9772), calcula: (a) P(Z ≤ 1,5); (b) P(Z ≥ 2); (c) P(Z ≤ −1); (d) P(−1 ≤ Z ≤ 2). Dibuja la campana y sombrea el área en cada caso.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Aproximación de la binomial a la normal; corrección de Yates#

~7 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido estocástico (aproximación de la binomial a la normal; correcciones de Yates; modelización de fenómenos estocásticos)

El histograma binomial (n grande) aproximado por la curva normal

Cuando el número de pruebas n de una binomial B(n, p) es grande, calcular probabilidades acumuladas con la fórmula binomial se vuelve impracticable: habría que sumar muchísimos términos con números combinatorios enormes. El teorema de De Moivre–Laplace (un caso particular del teorema central del límite) resuelve el problema: para n grande, la binomial se PARECE mucho a una normal con la misma media y la misma desviación típica. Es decir, B(n, p) se aproxima por N(μ, σ) con μ = n·p y σ = √(n·p·q). Mirando el diagrama de barras de una binomial con n grande, su perfil escalonado dibuja casi exactamente la campana de Gauss.

La aproximación es buena cuando la binomial es suficientemente «simétrica» y n grande. El criterio práctico habitual es exigir que n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5 (algunas referencias piden n·p·q > 9, o n grande con p no demasiado próximo a 0 ni a 1). Si p está muy cerca de 0 o de 1, la binomial es muy asimétrica y la aproximación normal falla salvo que n sea enorme. Por tanto, antes de aproximar conviene comprobar el criterio y, sobre todo, calcular bien μ = np y σ = √(npq), que serán los parámetros de la normal aproximante.

Hay una sutileza al sustituir una variable DISCRETA (la binomial, que toma valores enteros) por una CONTINUA (la normal): en la binomial cada entero k tiene una probabilidad propia P(X = k) (el área de su barra), mientras que en la normal un punto aislado tiene probabilidad 0. Para que las áreas casen, cada barra de la binomial centrada en k se identifica con el intervalo continuo [k − 0,5; k + 0,5]. Este ajuste de medio punto es la «corrección de continuidad» o «corrección de Yates»: sin ella, la aproximación pierde precisión, sobre todo con n no muy grande.

La corrección consiste en desplazar los extremos del intervalo medio punto hacia afuera o hacia adentro según la desigualdad, antes de tipificar. Las reglas prácticas son: P(X = k) ≈ P(k − 0,5 ≤ Y ≤ k + 0,5); P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0,5); P(X < k) ≈ P(Y ≤ k − 0,5); P(X ≥ k) ≈ P(Y ≥ k − 0,5); y P(X > k) ≈ P(Y ≥ k + 0,5), donde Y es la normal aproximante. La idea es siempre la misma: incluir o excluir la barra completa del valor frontera según si la desigualdad lo abarca. Conviene fijarse en si el extremo está incluido (≤, ≥) o no (<, >).

El procedimiento completo, paso a paso, es: (1) comprobar que se puede aproximar (np ≥ 5 y nq ≥ 5); (2) calcular μ = np y σ = √(npq); (3) aplicar la corrección de continuidad de Yates al valor frontera; (4) tipificar con Z = (Y − μ)/σ; y (5) leer la probabilidad en la tabla N(0, 1). El resultado es una excelente aproximación de la probabilidad binomial con muchísimo menos cálculo. Históricamente, esta conexión entre la binomial y la campana, descubierta por Abraham de Moivre y completada por Pierre-Simon Laplace y Gauss, es uno de los puentes más bellos de la teoría de la probabilidad.

Vocabulario

→ Tarjetas

Teorema de De Moivre–LaplaceResultado que justifica aproximar la binomial por la normal cuando n es grande.
Teorema central del límiteMarco general del que De Moivre–Laplace es un caso particular.
Normal aproximanteN(np, √(npq)): la normal con la misma media y desviación típica que la binomial.
Criterio np ≥ 5Condición práctica (junto con nq ≥ 5) para que la aproximación sea aceptable.
Corrección de continuidadAjuste de ±0,5 que identifica la barra del entero k con el intervalo [k − 0,5; k + 0,5].
Barra del histogramaRectángulo de área P(X = k); su anchura de una unidad es la razón del medio punto.

Aproximación de la binomial a la normal (De Moivre–Laplace)

B(n, p) \approx N\!\left(n p,\ \sqrt{n p q}\right) \quad \text{si} \quad n p \ge 5 \ \text{y}\ n q \ge 5

Para n grande la binomial se aproxima por una normal con su misma media np y su misma desviación típica √(npq), siempre que np y nq sean al menos 5.

Corrección de continuidad (Yates)

P(X \le k) \approx P(Y \le k + 0{,}5), \qquad P(X \ge k) \approx P(Y \ge k - 0{,}5)

Al pasar de la binomial discreta X a la normal continua Y, cada barra entera k cubre el intervalo [k−0,5; k+0,5]; se ajusta el extremo medio punto según la desigualdad antes de tipificar.

Ejemplo resuelto

Aproximación normal de una binomial con corrección de Yates

Para X ~ B(100; 0,5) (número de caras en 100 lanzamientos de una moneda equilibrada), comprueba que se puede aproximar por la normal, halla μ y σ, y calcula P(X ≤ 45) con la corrección de continuidad. (Dato: Φ(0,9) = 0,8159.)

1. Comprobar el criterio
np = 100·0,5 = 50 ≥ 5 y nq = 100·0,5 = 50 ≥ 5: se cumple el criterio, la aproximación normal es válida.
2. Parámetros de la normal
La media es np y la desviación típica √(npq) = √(100·0,5·0,5) = √25 = 5.
3. Corrección de continuidad
«Como mucho 45» es P(X ≤ 45); al pasar a la normal continua Y se incluye la barra del 45, por lo que el extremo pasa a 45,5.
4. Tipificar
Tipificamos el extremo 45,5 con μ = 50 y σ = 5.
5. Leer la tabla (simetría)
Por simetría, P(Z ≤ −0,9) = 1 − Φ(0,9) = 1 − 0,8159.

Resultado: Como np = nq = 50 ≥ 5, B(100; 0,5) ≈ N(50; 5). Con la corrección de Yates, P(X ≤ 45) ≈ P(Y ≤ 45,5) = P(Z ≤ −0,9) ≈ 0,1841: hay alrededor de un 18,4 % de probabilidad de obtener como mucho 45 caras.

Explicación paso a paso7 pasos

1
Una fábrica produce piezas con un 20 % de defectuosas. En un lote de 200, ¿qué probabilidad hay de que salgan MÁS DE 50 defectuosas? Con la fórmula binomial habría que sumar 150 términos con números combinatorios enormes; con la aproximación normal, cinco líneas.
2
Paso uno: comprobar que se puede aproximar. El criterio pide que np y nq sean ambos al menos 5, y aquí sobran con holgura. Este paso se escribe: aproximar sin justificarlo pierde puntos.
El criterio de aproximación
$n = 200,\ p = 0{,}2,\ q = 0{,}8: \qquad n\,p = 40 \ge 5 \quad\text{y}\quad n\,q = 160 \ge 5$
Con np y nq por encima de 5, la binomial es bastante simétrica y la campana la reproduce bien.
3
Paso dos: los parámetros de la normal aproximante son los de la propia binomial. La media es n por p y la desviación típica, la raíz de n·p·q.
La normal aproximante
$\mu = n\,p = 40, \qquad \sigma = \sqrt{n\,p\,q} = \sqrt{32} \approx 5{,}66 \;\Longrightarrow\; Y \sim N(40;\ 5{,}66)$
Se conservan media y desviación típica; lo único que cambia es que Y es continua y X era discreta.
4
Paso tres, el que decide el ejercicio: la corrección de Yates. El enunciado dice «más de 50», de modo que el valor 50 queda FUERA. Como la barra del 50 ocupa desde 49,5 hasta 50,5, para dejarla entera fuera hay que empezar a contar área en 50,5.
La corrección de continuidad
$P(X > 50) = P(X \ge 51) \approx P(Y \ge 50{,}5)$
La barra del entero 50 abarca el intervalo [49,5; 50,5]. Excluirla por completo significa arrancar en su borde derecho.
5
Paso cuatro: se tipifica el valor corregido, nunca el entero original. Sale una z de aproximadamente uno coma ocho seis.
Tipificación del valor corregido
$z = \frac{50{,}5 - 40}{5{,}66} = \frac{10{,}5}{5{,}66} \approx 1{,}86$
Se divide entre σ, no entre σ². El resultado dice que 50,5 está 1,86 desviaciones típicas por encima de la media.
6
Paso cinco: la tabla. Como se pide una cola derecha, se resta de uno la probabilidad acumulada. Poco más de un 3 % de los lotes tendrán más de cincuenta piezas defectuosas.
Lectura de la tabla
$P(Z \ge 1{,}86) = 1 - \Phi(1{,}86) = 1 - 0{,}9686 = 0{,}0314 \approx 3{,}1\,\%$
Φ(1,86) se lee en la fila 1,8 y la columna 0,06 de la tabla de la N(0, 1).
7
Y el resumen que conviene llevar memorizado: la corrección desplaza siempre el extremo hacia el lado que INCLUYE o EXCLUYE la barra entera del valor frontera. Con estas cuatro reglas escritas al margen, ningún enunciado se resiste.
Las cuatro reglas de Yates
$\begin{aligned} P(X \le k) &\approx P(Y \le k+0{,}5) & P(X < k) &\approx P(Y \le k-0{,}5) \\ P(X \ge k) &\approx P(Y \ge k-0{,}5) & P(X > k) &\approx P(Y \ge k+0{,}5) \end{aligned}$
Con ≤ y ≥ la barra del valor frontera se INCLUYE; con < y > se EXCLUYE. El medio punto se mueve en consecuencia.

Objetivo Selectividad

Ante una binomial con n grande, reconocer que procede aproximar por la normal, comprobar el criterio (np ≥ 5 y nq ≥ 5), calcular μ = np y σ = √(npq), aplicar la corrección de continuidad de Yates y tipificar para usar la tabla.
Se valora especialmente aplicar bien la corrección de medio punto según el tipo de desigualdad (≤, <, ≥, >, =), que es donde se concentran los errores; conviene escribir explícitamente el paso de corrección antes de tipificar.
Escribe la corrección de Yates como un paso propio —«P(X > 50) ≈ P(Y ≥ 50,5)»— antes de tipificar; así queda visible que la has aplicado y con qué signo.
Declara el criterio con números: «np = 40 ≥ 5 y nq = 160 ≥ 5, luego se puede aproximar». Aproximar sin comprobarlo pierde puntos aunque el resultado salga bien.

Errores frecuentes

Olvidar la corrección de continuidad (los ±0,5) y tipificar directamente el valor entero, perdiendo precisión en la aproximación.
Aplicar la corrección con el signo equivocado: para P(X ≤ k) se suma 0,5 (k + 0,5), pero para P(X < k) se resta (k − 0,5); confundir ambos casos invierte el ajuste.
Usar σ² en lugar de σ al tipificar, o aproximar por la normal cuando no se cumple el criterio (np o nq menores que 5, con p muy cercano a 0 o a 1).
Aplicar la corrección de continuidad a un enunciado que ya es continuo, o corregir dos veces el mismo extremo: los ±0,5 solo aparecen al sustituir una variable DISCRETA por una continua.

Repaso activo

Se lanza una moneda equilibrada 100 veces y X = «número de caras», con X ~ B(100; 0,5). Comprueba que se puede aproximar por una normal, halla sus parámetros μ y σ y calcula, con la corrección de continuidad de Yates, la probabilidad aproximada de obtener como mucho 45 caras, P(X ≤ 45). (Dato: Φ(0,9) = 0,8159.)

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Recuerdo activo

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Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

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Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Distribuciones de probabilidad

5 secciones~32 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

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