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Pensamiento computacional

El pensamiento computacional es la forma de razonar que descompone un problema, lo abstrae, reconoce sus pautas y lo traduce en un algoritmo reproducible; en Matemáticas II se aplica sobre todo al análisis de las operaciones con matrices y a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (eliminación de Gauss, determinantes, rangos e inversa). Vertebra la competencia específica CE4 del currículo LOMLOE y conecta el álgebra lineal con la informática y la modelización con herramientas digitales. Aviso importante: este tema es «Ampliación — fuera del examen de Selectividad»; no es un saber básico evaluable de forma aislada en la PAU, sino una mirada metodológica transversal que ayuda a entender y a comprobar lo que sí se evalúa (matrices y sistemas).

4 secciones~25 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

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Perfil de examen

CE4 · CE4 — Utilizar los principios del pensamiento computacional (organizar datos, descomponer en partes, reconocer pautas, interpretar, modificar y crear algoritmos) para modelizar y resolver situaciones, especialmente las operaciones con matrices y la resolución de sistemas.CE3 · CE3 — Formular y comprobar conjeturas o plantear problemas utilizando el razonamiento, la abstracción y las herramientas tecnológicas adecuadas.CE8 · CE8 — Comunicar de forma individual y colectiva procedimientos, argumentos y resultados matemáticos con apoyo de medios digitales y de un lenguaje algorítmico claro.

Operadores:analizaexplicadescomponediseñatraducejustificacalcularazonarelacionainterpretacomprueba

nivel básico

En las materias comunes basta con apreciar la idea de algoritmo y de comprobación digital; aquí solo es un apoyo metodológico.

nivel avanzado

En Matemáticas II (modalidad) se profundiza en el análisis algorítmico de Gauss, determinantes, rango e inversa, aunque NO se evalúa de forma aislada en la PAU: refuerza la destreza con matrices y sistemas que sí entra.

Profundidad

Texto

Contenido · 4 secciones

Pensamiento computacional

4 secciones16 puntos clave7 fórmulas16 errores típicos

Pensamiento computacional: descomposición, abstracción y algoritmos#

~6 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico (pensamiento computacional) · CE4

El «pensamiento computacional» es una manera estructurada de afrontar un problema que toma prestada del trabajo del informático su disciplina, pero que es matemática de principio a fin: no se trata de programar, sino de pensar de forma que la solución pueda repetirse paso a paso y, si se desea, automatizarse. Conviene insistir desde el principio en que este tema es una «Ampliación — fuera del examen de Selectividad»: no aparecerá como pregunta aislada en la prueba, sino que es la metodología con la que se ordenan y se comprueban los contenidos de matrices y sistemas, que sí son evaluables.

Se reconocen cuatro fases o pilares (Fig. 1). La «descomposición» parte un problema grande en subproblemas manejables: resolver un sistema 3×3 se descompone en triangular la matriz, despejar la última incógnita y sustituir hacia atrás. La «abstracción» retiene lo esencial y descarta lo accesorio: a un sistema le importan sus coeficientes y términos independientes, no las letras x, y, z que usemos, de ahí la forma matricial. El «reconocimiento de pautas» detecta regularidades que se repiten: la operación «restar a una fila un múltiplo de otra» se repite hasta escalonar. Por último, el «diseño de algoritmos» escribe la secuencia finita, ordenada y no ambigua de pasos que resuelve TODOS los casos del problema, no solo el ejemplo concreto.

Las cuatro fases del pensamiento computacional

Fig. 1 ↓

Un «algoritmo» es, formalmente, una secuencia finita de instrucciones precisas que, partiendo de unos datos de entrada, produce una salida en un número finito de pasos. Debe ser finito (acaba siempre), determinista (mismos datos → mismo resultado), general (vale para toda una familia de problemas) y eficaz (cada paso es ejecutable). Para describirlo sin atarse a ningún lenguaje de programación se usa el «pseudocódigo», una notación intermedia entre el lenguaje natural y el código, y el «diagrama de flujo», su representación gráfica con bloques de proceso, rombos de decisión y flechas (lo verás en la sección dedicada al método de Gauss).

Frente a este enfoque metódico está el «cálculo simbólico a ojo», válido en casos pequeños pero frágil: el valor del pensamiento computacional es que un buen algoritmo no se equivoca por cansancio, escala a tamaños grandes y, sobre todo, permite COMPROBAR el resultado de forma sistemática (por ejemplo, sustituyendo la solución en el sistema original, o verificando que A·A⁻¹ = I). En la práctica de Matemáticas II este pensamiento se concreta en tres algoritmos clásicos del álgebra lineal —la eliminación de Gauss, el cálculo de determinantes y el cálculo del rango y de la inversa— y en el uso de herramientas digitales (hojas de cálculo, GeoGebra, calculadoras simbólicas) para explorar y verificar.

Vocabulario

→ Tarjetas

AlgoritmoSecuencia finita y precisa de instrucciones que, a partir de unos datos de entrada, produce una salida en un número finito de pasos.
PseudocódigoNotación intermedia entre el lenguaje natural y un lenguaje de programación que describe un algoritmo sin atarlo a ninguna máquina.
Diagrama de flujoRepresentación gráfica de un algoritmo con rectángulos de proceso, rombos de decisión y flechas que marcan el orden.
DescomposiciónPrimera fase: partir un problema grande en subproblemas manejables que se resuelven por separado.
AbstracciónRetener lo esencial y descartar lo accesorio; en un sistema, quedarse con los coeficientes y prescindir de los nombres de las incógnitas.
DeterministaPropiedad de un algoritmo que, con los mismos datos de entrada, produce siempre exactamente el mismo resultado.

Esquema general de un algoritmo

\text{Algoritmo}: \ \text{entrada} \longrightarrow \underbrace{P_1 \to P_2 \to \cdots \to P_n}_{\text{pasos finitos y precisos}} \longrightarrow \text{salida}

Un algoritmo transforma unos datos de entrada en una salida mediante un número finito de pasos precisos y ordenados.

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Ejemplo resuelto

De un problema a un algoritmo general

Diseña un algoritmo, en pseudocódigo, que reciba tres números reales a, b, c (los coeficientes de la ecuación lineal a·x + b = c con a posiblemente nula) y decida si la ecuación tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna, devolviendo la solución cuando sea única.

Descomponer
El problema se reduce a despejar x de a·x + b = c, es decir a·x = c − b, distinguiendo según a sea o no nulo.
Abstraer y reconocer la pauta
Lo que decide el tipo de solución es únicamente si a = 0 y, en ese caso, si c − b = 0. Es la misma estructura que la discusión de un sistema.
Diseñar el algoritmo
ENTRADA a, b, c. Calcular d = c − b. SI a ≠ 0 ENTONCES devolver «solución única: x = d/a». SI NO (a = 0): SI d = 0 ENTONCES devolver «infinitas soluciones»; SI NO devolver «ninguna solución». FIN.
Comprobar la generalidad
El algoritmo cubre los tres casos posibles, es finito (acaba tras unas pocas comparaciones) y determinista. Por ejemplo, con a=2, b=3, c=11 da d=8 y x=4; con a=0, b=3, c=3 da d=0 → infinitas; con a=0, b=3, c=5 da d=2≠0 → ninguna.

Resultado: El algoritmo clasifica correctamente la ecuación: única (x=(c−b)/a si a≠0), infinitas (a=0 y c=b) o ninguna (a=0 y c≠b); es el embrión de la discusión de sistemas.

Objetivo Selectividad

Este contenido NO se pregunta de forma aislada en la PAU. Lo que sí se evalúa, y que esta metodología ordena, es la resolución y discusión de sistemas y las operaciones con matrices; piensa en las fases como una checklist para no saltarte pasos ni cometer errores de arrastre.
Se espera que sepas explicar con tus palabras qué es un algoritmo, distinguir sus propiedades (finito, determinista, general) y traducir un procedimiento conocido (Gauss, Sarrus) a una secuencia ordenada de pasos o a un diagrama de flujo.
Cuando te pidan DESCRIBIR un procedimiento, escribe la entrada, los pasos numerados y la salida, e indica explícitamente qué ocurre en el caso especial (denominador nulo, pivote nulo, determinante cero): un algoritmo que no contempla su caso límite está incompleto.
El pseudocódigo se valora por la precisión, no por la extensión: cada línea debe poder ejecutarse sin interpretarla. «SI a ≠ 0 ENTONCES x ← (c − b)/a» es una instrucción; «resolver la ecuación» no lo es.

Errores frecuentes

Confundir «pensamiento computacional» con «usar la calculadora o el ordenador»: lo esencial es el razonamiento algorítmico, no la máquina.
Diseñar un procedimiento que funciona solo para el ejemplo concreto y no contempla los casos especiales (por ejemplo, un pivote nulo en Gauss), perdiendo la generalidad que exige un algoritmo.
Escribir un «algoritmo» que en algún caso no termina nunca, por ejemplo un bucle sin condición de salida: la finitud forma parte de la definición, así que todo bucle necesita una condición que se cumpla en un número finito de pasos.
Dibujar un diagrama de flujo con rombos de una sola salida: un rombo representa una DECISIÓN y de él deben partir exactamente dos ramas etiquetadas «sí» y «no»; si solo sale una flecha, ese bloque era un proceso y va en rectángulo.

Repaso activo

Describe en pseudocódigo, en no más de seis pasos, un algoritmo que reciba dos números enteros a y b y devuelva su máximo común divisor por el método de Euclides; identifica luego cuál es la entrada, cuál la salida y por qué el procedimiento es finito.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Algoritmo de Gauss para sistemas y rangos#

~7 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico · Análisis algorítmico de la resolución de sistemas (método de Gauss y rangos)

La eliminación de Gauss es el ejemplo más limpio de algoritmo en Matemáticas II: transforma la matriz ampliada de un sistema en una forma escalonada mediante una repetición controlada de transformaciones elementales, y de esa forma escalonada se leen de un vistazo el rango y la clasificación del sistema. Aunque este tema sea una «Ampliación — fuera del examen de Selectividad», entender Gauss como ALGORITMO es exactamente lo que te da soltura en las preguntas de sistemas que sí entran en la PAU.

Las únicas operaciones permitidas son las tres «transformaciones elementales de fila», que no alteran el conjunto de soluciones: intercambiar dos filas (Fᵢ ↔ Fⱼ), multiplicar una fila por un escalar no nulo (Fᵢ → k·Fᵢ con k ≠ 0) y sumar a una fila un múltiplo de otra (Fᵢ → Fᵢ + k·Fⱼ). El algoritmo elige en cada columna un elemento «pivote» no nulo y, con la tercera transformación, hace ceros por debajo de él; cuando un pivote candidato es 0 se intercambian filas para traer otro distinto de cero (esto se llama «pivoteo» y es el caso especial que un buen algoritmo NUNCA olvida).

El proceso tiene dos fases bien diferenciadas (Fig. 2 muestra el diagrama de flujo). En la «eliminación hacia adelante» se barren las columnas de izquierda a derecha creando ceros bajo la diagonal hasta dejar la matriz escalonada (triangular superior). En la «sustitución hacia atrás» se despeja la última incógnita y se va subiendo, sustituyendo los valores ya hallados. El número de filas no nulas de la forma escalonada es, por definición operativa, el rango de la matriz: ahí el algoritmo entronca directamente con el teorema de Rouché-Frobenius, que compara el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

Diagrama de flujo del método de Gauss

Fig. 2 ↓

La gran ventaja del enfoque algorítmico es el control de los casos. Una fila que queda «0 0 0 | k» con k ≠ 0 significa una ecuación imposible (0 = k): sistema incompatible. Una fila completamente nula «0 0 0 | 0» es una ecuación redundante que baja el rango y puede dar infinitas soluciones. Comparando el número de pivotes con el número de incógnitas se decide entre compatible determinado (tantos pivotes como incógnitas) e indeterminado (menos pivotes que incógnitas). Este mismo recorrido, aplicado a una matriz sin la columna de términos independientes, es el algoritmo del cálculo del rango.

Vocabulario

→ Tarjetas

Matriz ampliadaMatriz (A|b) que junta los coeficientes del sistema y la columna de términos independientes separada por una barra.
PivotePrimer elemento no nulo de una fila, con el que se hacen ceros en las posiciones que quedan por debajo en su columna.
PivoteoIntercambio de filas para traer al lugar del pivote un elemento no nulo cuando el candidato vale cero.
Forma escalonadaMatriz en la que cada fila empieza con más ceros que la anterior; sus filas no nulas cuentan el rango.
Sustitución hacia atrásSegunda fase del algoritmo: despejar la última incógnita en la fila inferior e ir subiendo con los valores ya obtenidos.
Transformación elementalCada una de las tres operaciones de fila permitidas (intercambiar, multiplicar por un escalar no nulo, sumar un múltiplo de otra) que no alteran las soluciones.

Transformaciones elementales de fila

F_i \leftrightarrow F_j, \qquad F_i \to k\,F_i \ (k \neq 0), \qquad F_i \to F_i + k\,F_j

Las tres operaciones que el algoritmo de Gauss puede aplicar sin cambiar el conjunto de soluciones del sistema.

Creación de un cero bajo el pivote

F_i \to F_i - \frac{a_{ij}}{a_{jj}}\,F_j

Con el pivote a_{jj} no nulo, se anula el elemento a_{ij} restando a la fila i el múltiplo adecuado de la fila pivote j.

Ejemplo resuelto

Resolución de un sistema 3×3 por Gauss

Resuelve por el método de Gauss el sistema x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2. Indica el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada, y clasifica el sistema.

Matriz ampliada
Se escribe la matriz ampliada (A|b) con los coeficientes y los términos independientes.
Ceros en la 1.ª columna
Con pivote a₁₁ = 1 hacemos F₂ → F₂ − 2F₁ y F₃ → F₃ − F₁.
Cero en la 2.ª columna
Con pivote −3 en F₂ hacemos F₃ → F₃ + (1/3)F₂ para anular el 1 de la posición (3,2).
Sustitución hacia atrás
De la 3.ª fila: −(7/3)z = −7 ⇒ z = 3. De la 2.ª: −3y − z = −9 ⇒ −3y − 3 = −9 ⇒ y = 2. De la 1.ª: x + y + z = 6 ⇒ x + 2 + 3 = 6 ⇒ x = 1.
Rangos y clasificación
La forma escalonada tiene 3 pivotes no nulos: rg(A) = rg(A|b) = 3 = número de incógnitas. Por Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.

Resultado: Sistema compatible determinado con solución única (x, y, z) = (1, 2, 3); rg(A) = rg(A|b) = 3.

Explicación paso a paso8 pasos

1
Gauss no es una serie de trucos: es un algoritmo, y por eso se puede escribir de una vez y aplicar siempre igual. Lo vamos a recorrer sobre la matriz ampliada de un sistema 3×3, marcando dónde está el caso especial que casi nadie contempla.
2
Entrada del algoritmo: la matriz ampliada. La columna de la derecha son los términos independientes, y a partir de aquí viaja con su fila en cada operación. Si se queda atrás, el sistema deja de ser el mismo.
La entrada: la matriz ampliada
$(A \mid b) = \left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array}\right)$
Los aᵢⱼ son los coeficientes de las incógnitas y los bᵢ los términos independientes; la barra recuerda que la última columna no es una incógnita más.
3
Primer paso del bucle: elegir pivote en la columna que toca. Aquí aparece el caso especial. Si el candidato es cero no se puede dividir por él, así que se intercambian filas para traer otro que no lo sea. Eso es el pivoteo, y un algoritmo que lo olvida se rompe en cuanto le toca un cero.
4
Segundo paso: hacer ceros por debajo del pivote. La operación es siempre la misma y solo cambia el múltiplo; a la fila de abajo se le resta la fila del pivote multiplicada por el cociente de los dos elementos de esa columna.
El paso que se repite
$F_i \to F_i - \frac{a_{ij}}{a_{jj}}\,F_j$
a_{jj} es el pivote (no nulo) y a_{ij} el elemento que se quiere anular; el cociente es el múltiplo exacto que lo cancela sin tocar los ceros ya conseguidos.
5
Se repite columna a columna, de izquierda a derecha, hasta que la matriz queda escalonada. Aquí termina la eliminación hacia adelante, y ya se puede leer lo más importante sin resolver nada: el número de filas no nulas es el rango.
6
Antes de despejar, mira las filas del fondo, porque ahí está la clasificación. Una fila de ceros con término independiente no nulo es la ecuación imposible 0 = k, y el sistema es incompatible. Una fila entera de ceros es una ecuación repetida: no estorba, pero baja el rango.
Leer el fondo de la matriz escalonada
$(0\ 0\ 0 \mid k),\ k \neq 0 \Rightarrow \text{incompatible} \qquad (0\ 0\ 0 \mid 0) \Rightarrow \text{ecuación redundante}$
k es el término independiente que sobrevive; la primera fila afirma 0 = k, que es falso, mientras que la segunda no afirma nada y solo reduce el rango.
7
Compara ahora los dos rangos con el número de incógnitas y Rouché-Frobenius decide. Rangos iguales al número de incógnitas: solución única. Rangos iguales pero menores: infinitas soluciones, con tantos parámetros como la diferencia. Rangos distintos: no hay solución.
La salida del algoritmo
$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A \mid b) = n \Rightarrow \text{S.C.D.} \qquad \operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A \mid b) < n \Rightarrow \text{S.C.I.}$
n es el número de incógnitas; la diferencia n − rg(A) cuenta los parámetros libres de la solución en el caso indeterminado.
8
Y solo entonces, la sustitución hacia atrás: se despeja la última incógnita y se sube fila a fila. El algoritmo termina con una comprobación que cuesta medio minuto y salva exámenes: sustituir la solución en las ecuaciones originales, no en las escalonadas.

Objetivo Selectividad

Aunque el «pensamiento computacional» no se pregunta aislado, el método de Gauss es la herramienta estrella para resolver y, sobre todo, DISCUTIR sistemas (a menudo con un parámetro) en la PAU. Domina el orden de las operaciones para no cometer errores de arrastre.
Se valora que justifiques cada transformación de fila, que reconozcas en la forma escalonada el rango y la clasificación, y que interpretes correctamente las filas «0 = k» (incompatible) y «0 = 0» (redundante).
DISCUTIR un sistema con parámetro exige no dividir jamás por una expresión que contenga el parámetro sin separar antes el caso en que esa expresión se anula. Ese caso aparte es donde se reparten casi todos los puntos del apartado.
Cierra siempre la discusión escribiendo rg(A), rg(A|b) y el número de incógnitas, y nombra el teorema de Rouché-Frobenius al clasificar: la clasificación correcta sin justificación pierde parte de la puntuación.

Errores frecuentes

Multiplicar una fila por 0 o usar como pivote un elemento nulo sin intercambiar filas antes (pivoteo olvidado), lo que rompe el algoritmo.
Confundir el orden Fᵢ → Fᵢ + k·Fⱼ (correcta) con Fᵢ → k·Fᵢ + Fⱼ, que sí altera la fila pivote y cambia las soluciones; o cometer errores de signo al restar múltiplos.
Escalonar olvidando la columna de términos independientes: toda transformación se aplica a la fila COMPLETA de la matriz ampliada, término independiente incluido, o el sistema resultante ya no es equivalente al de partida.
Declarar incompatible un sistema al ver una fila «0 0 0 | 0»: esa fila es una ecuación redundante y no impide la compatibilidad (baja el rango y suele dar infinitas soluciones). La que hace incompatible el sistema es «0 0 0 | k» con k ≠ 0.

Repaso activo

Aplica el método de Gauss a la matriz ampliada del sistema x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2, escribiendo cada transformación de fila empleada, e indica el rango de la matriz de coeficientes, el de la ampliada y la clasificación del sistema.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Algoritmos de operaciones con matrices y determinantes#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico · Análisis algorítmico de las operaciones con matrices (producto, determinantes, rango, inversa)

Las operaciones con matrices son, ellas mismas, algoritmos con una estructura muy regular, lo que las convierte en el banco de pruebas ideal del pensamiento computacional dentro de Matemáticas II (siempre como «Ampliación — fuera del examen de Selectividad»). Sumar dos matrices, multiplicar una matriz por un escalar, multiplicarlas entre sí o calcular un determinante son procedimientos que se describen sin ambigüedad con bucles que recorren filas y columnas.

El producto de matrices es el algoritmo más instructivo: para C = A·B, con A de orden m×n y B de orden n×p, cada elemento cᵢⱼ es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B, es decir cᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ·bₖⱼ. Algorítmicamente son tres bucles anidados (sobre i, sobre j y, dentro, sobre k acumulando la suma). De aquí se reconocen pautas importantes: el producto solo está definido si las columnas de A coinciden con las filas de B, y su «coste» crece con el tamaño (del orden de m·n·p multiplicaciones), una primera idea de eficiencia algorítmica.

El determinante admite varios algoritmos equivalentes y elegir el adecuado es pensamiento computacional puro. Para 2×2 es la fórmula directa ad − bc; para 3×3, la regla de Sarrus suma las tres diagonales descendentes y resta las tres ascendentes; para órdenes mayores se usa el «desarrollo por adjuntos» (de Laplace) por una fila o columna, eligiendo aquella con más ceros para reducir el cálculo, o bien la triangulación por Gauss, ya que el determinante de una matriz triangular es el producto de su diagonal. Reconocer cuál conviene es abstracción y reconocimiento de pautas (Fig. 3).

Elegir el algoritmo del determinante según el orden

Fig. 3 ↓

El mismo enfoque resuelve el rango y la inversa. El rango es el número de filas no nulas tras escalonar por Gauss (o el mayor orden de un menor no nulo). La inversa de una matriz cuadrada A regular se calcula por adjuntos, A⁻¹ = (1/|A|)·(adj A)ᵀ, válida solo si |A| ≠ 0, o por el algoritmo de Gauss-Jordan: se parte de la matriz ampliada (A | I) y se aplican transformaciones de fila hasta llevar A a la identidad; lo que queda a la derecha es A⁻¹. La comprobación honesta del resultado —verificar A·A⁻¹ = I— es la fase de validación que todo algoritmo debe incorporar.

Vocabulario

→ Tarjetas

Menor complementarioDeterminante que queda al suprimir la fila i y la columna j de una matriz cuadrada.
AdjuntoMenor complementario con el signo (−1)^(i+j); es el ingrediente del desarrollo de Laplace y de la matriz adjunta.
Regla de SarrusProcedimiento exclusivo del determinante 3×3: suma de las tres diagonales descendentes menos las tres ascendentes.
Gauss-JordanAlgoritmo que parte de la matriz ampliada (A|I) y transforma A en la identidad; lo que queda a la derecha es la inversa.
Matriz regularMatriz cuadrada con determinante no nulo, y por tanto la única que admite inversa.
RangoNúmero de filas no nulas tras escalonar, o equivalentemente el mayor orden de un menor no nulo de la matriz.

Elemento del producto de matrices

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Cada elemento del producto C = A·B es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B; algorítmicamente, tres bucles anidados.

Determinante 3×3 (regla de Sarrus)

\det\!\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Suma de las tres diagonales descendentes menos las tres ascendentes.

Inversa por adjuntos

A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,(\operatorname{adj} A)^{\mathsf{T}}, \qquad \det A \neq 0

La inversa existe solo si el determinante es no nulo; es la traspuesta de la matriz adjunta dividida por el determinante.

Ejemplo resuelto

Producto de matrices, determinante e inversa 2×2

Sean A = ((1,2),(0,3)) y B = ((4,−1),(2,5)). Calcula A·B y B·A; comprueba que A·B ≠ B·A. Calcula |A| y, si procede, A⁻¹, verificando A·A⁻¹ = I.

Producto A·B
Cada elemento es fila de A por columna de B: c₁₁=1·4+2·2=8, c₁₂=1·(−1)+2·5=9, c₂₁=0·4+3·2=6, c₂₂=0·(−1)+3·5=15.
Producto B·A
Ahora fila de B por columna de A: d₁₁=4·1+(−1)·0=4, d₁₂=4·2+(−1)·3=5, d₂₁=2·1+5·0=2, d₂₂=2·2+5·3=19.
No conmutatividad
Comparando, A·B = ((8,9),(6,15)) y B·A = ((4,5),(2,19)) son distintas: el producto de matrices no es conmutativo.
Determinante de A
Para 2×2, |A| = ad − bc = 1·3 − 2·0 = 3 ≠ 0, luego A es invertible.
Inversa de A
Para 2×2, A⁻¹ = (1/|A|)·((d,−b),(−c,a)) = (1/3)·((3,−2),(0,1)).
Comprobación
A·A⁻¹ = ((1,2),(0,3))·((1,−2/3),(0,1/3)) = ((1, −2/3+2/3),(0, 1)) = ((1,0),(0,1)) = I.

Resultado: A·B = ((8,9),(6,15)) ≠ B·A = ((4,5),(2,19)); |A| = 3 y A⁻¹ = ((1,−2/3),(0,1/3)), verificada con A·A⁻¹ = I.

Objetivo Selectividad

El pensamiento computacional no se examina, pero operar con matrices y calcular determinantes, rango e inversa son destrezas centrales de la PAU. Conviene tener automatizado el procedimiento de cada operación para no dudar bajo la presión del examen.
Se espera que sepas multiplicar matrices respetando las dimensiones, calcular un determinante 3×3 (Sarrus o adjuntos) sin errores de signo, y obtener la inversa, comprobando siempre que A·A⁻¹ = I.
Antes de calcular un determinante, DECIDE el método y justifícalo en una línea — Sarrus solo si es 3×3, desarrollo por adjuntos por la fila o columna con más ceros si es mayor, y triangulación si ya vienes de escalonar. Elegir bien ahorra la mitad del cálculo.
Comprueba siempre la inversa multiplicando A·A⁻¹ e imponiendo que salga la identidad: es una verificación de treinta segundos que detecta cualquier error de signo cometido en los adjuntos.

Errores frecuentes

Intentar multiplicar matrices incompatibles (columnas de A ≠ filas de B) o suponer que el producto es conmutativo, cuando en general A·B ≠ B·A.
En la regla de Sarrus, equivocar el signo de las diagonales ascendentes (que restan) o aplicar Sarrus a determinantes que no son 3×3.
Olvidar la trasposición al calcular la inversa por adjuntos: la fórmula es A⁻¹ = (1/|A|)·(adj A)ᵀ, con la TRASPUESTA de la matriz adjunta; sin trasponer, el producto A·A⁻¹ no da la identidad.
Asignar los signos de los adjuntos de memoria o alternándolos por filas: el signo es (−1)^(i+j), el tablero de ajedrez que empieza en + en la posición (1,1), de modo que el adjunto de la posición (2,1) lleva signo menos.

Repaso activo

Dadas A = ((1,2),(0,3)) y B = ((4,−1),(2,5)), calcula A·B y B·A y comprueba que no coinciden; calcula además |A| y, si es no nulo, la inversa A⁻¹, verificando que A·A⁻¹ = I.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Modelización y exploración con herramientas digitales#

~6 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico / espacial / de la medida · Modelización con herramientas tecnológicas; CE3, CE8

La última pieza del pensamiento computacional es usar la tecnología con criterio para modelizar situaciones, explorar conjeturas y comunicar resultados (competencias CE3 y CE8), de nuevo como «Ampliación — fuera del examen de Selectividad»: en la PAU no se permite ni se evalúa el uso de estas herramientas, pero en el aula son insustituibles para entender, para ganar intuición y para verificar a mano lo que haya que entregar en el examen.

Las tres familias de herramientas tienen perfiles distintos (Fig. 4). Las «hojas de cálculo» (Calc, Excel) organizan datos en celdas y propagan fórmulas: son idóneas para tabular, para repetir un cálculo sobre muchos casos y para automatizar operaciones con matrices mediante funciones específicas. Los «entornos de geometría dinámica y cálculo» como GeoGebra permiten representar funciones, vectores y objetos del espacio, mover parámetros con deslizadores y ver al instante el efecto, además de resolver sistemas y operar con matrices simbólicamente. Los «sistemas de cálculo simbólico» (CAS) manipulan expresiones exactas: factorizan, derivan, integran o invierten matrices con fracciones exactas en lugar de aproximaciones.

Herramientas digitales para modelizar y explorar

Fig. 4 ↓

La gran aportación didáctica es la «exploración»: al desplazar un parámetro y observar cómo cambia la solución de un sistema o la gráfica de una función, se «formulan y comprueban conjeturas» (CE3). Por ejemplo, en un sistema dependiente de un parámetro m, variar m con un deslizador deja ver para qué valores el sistema deja de ser compatible determinado; la herramienta sugiere la respuesta, pero la justificación rigurosa (vía rangos o determinantes) sigue siendo trabajo del estudiante. La tecnología propone; la matemática demuestra.

El pensamiento computacional incluye también una ética del uso honesto: la herramienta verifica y acelera, pero no sustituye al razonamiento ni se puede presentar su salida sin entenderla. Conviene contrastar siempre el resultado digital con una comprobación a mano (sustituir la solución, verificar A·A⁻¹ = I, comparar con un caso conocido) y comunicar el procedimiento con un lenguaje claro —pseudocódigo, diagramas de flujo, capturas anotadas— para que cualquiera pueda reproducirlo. Esa transparencia es la cara comunicativa de la competencia CE8.

Vocabulario

→ Tarjetas

Hoja de cálculoEntorno de celdas que propaga fórmulas y automatiza cálculos repetidos, útil para tabular y para operar con matrices.
Geometría dinámicaProgramas como GeoGebra que representan objetos ligados a parámetros y actualizan el dibujo al mover un deslizador.
CAS (cálculo simbólico)Sistema que manipula expresiones exactas —factoriza, deriva, integra, invierte matrices— sin pasar por aproximaciones decimales.
DeslizadorControl que hace variar un parámetro de forma continua para observar en directo cómo cambia el objeto que depende de él.
ConjeturaAfirmación sugerida por la exploración que aún no está demostrada; la herramienta la propone y la matemática la prueba.
ModelizaciónTraducción de una situación real a un objeto matemático (función, sistema, matriz) que se puede calcular y comprobar.

Papel de la tecnología

\text{Herramienta: conjetura} \ \longrightarrow \ \text{Matemática: demostración}

La herramienta digital ayuda a explorar y conjeturar, pero la justificación rigurosa corresponde al razonamiento matemático.

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Ejemplo resuelto

Explorar un sistema con parámetro y confirmarlo con rangos

Para el sistema x + y = 1, x + m·y = m, usa la idea de exploración (¿qué pasa al variar m?) y confírmalo con un razonamiento por determinantes y rangos: clasifica el sistema según el valor de m.

Exploración (conjetura)
Con un deslizador m en GeoGebra se ven dos rectas; para casi todo m se cortan en un punto (solución única), pero al acercar m a 1 las rectas tienden a coincidir, lo que sugiere un comportamiento especial en m = 1.
Determinante de la matriz de coeficientes
A = ((1,1),(1,m)); |A| = 1·m − 1·1 = m − 1. Se anula solo en m = 1.
Caso m ≠ 1
|A| ≠ 0 ⇒ rg(A) = 2 = nº de incógnitas: sistema compatible determinado. Restando la 1.ª ecuación a la 2.ª: (m−1)·y = m−1 ⇒ y = 1; y de x + y = 1 ⇒ x = 0. (Por Cramer daría lo mismo: y = det(A_y)/det(A) = (m−1)/(m−1) = 1 y x = det(A_x)/det(A) = 0.)
Caso m = 1
El sistema queda x + y = 1 y x + y = 1: la segunda ecuación es idéntica a la primera. rg(A) = rg(A|b) = 1 < 2 incógnitas: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones).
Confirmación
La conjetura digital (algo especial ocurre en m = 1) se confirma rigurosamente: el comportamiento singular es exactamente m = 1, donde el determinante se anula y las rectas coinciden.

Resultado: Si m ≠ 1, compatible determinado con solución única (x, y) = (0, 1); si m = 1, compatible indeterminado con infinitas soluciones x = 1 − λ, y = λ. La exploración digital sugirió m = 1 y los rangos lo demostraron.

Objetivo Selectividad

En la PAU NO se usan ni se evalúan estas herramientas; el examen es a mano. Su valor es de aprendizaje y comprobación previa, no de prueba.
Se valora en el aula que sepas elegir la herramienta adecuada al problema, que la uses para conjeturar y que después justifiques el resultado con el procedimiento matemático correspondiente, comunicándolo con claridad.
Usa la herramienta para CONJETURAR y el papel para DEMOSTRAR. Un deslizador te enseña dónde está el valor singular de un parámetro en diez segundos; la nota la da el determinante que se anula justo ahí, escrito a mano.
Cuando explores un sistema con parámetro, traduce siempre lo que ves a la condición algebraica que lo explica: «las rectas coinciden» se escribe |A| = 0 y rg(A) = rg(A|b) < n, y esa es la frase que puntúa.

Errores frecuentes

Tratar la salida de la herramienta como demostración: representar una gráfica o leer una solución no sustituye al razonamiento que exige la prueba.
Depender de la tecnología hasta el punto de no saber resolver el problema a mano, justo lo que sí se pide en la PAU.
Leer en pantalla una solución decimal y entregarla como resultado exacto: si el sistema tiene solución racional, el examen espera la fracción (1/3, no 0,3333), y una aproximación pierde puntos aunque la herramienta la haya calculado bien.
Conjeturar a partir de un único valor del parámetro: un deslizador solo prueba los casos por los que pasa, así que el caso singular puede quedar entre dos posiciones. La certeza viene de anular el determinante, no de barrer con el ratón.

Repaso activo

Plantea cómo usarías una hoja de cálculo o GeoGebra para explorar, en función del parámetro m, la clasificación del sistema x + y = 1, x + m·y = m; describe qué observarías al variar m y cómo lo confirmarías después con un razonamiento por rangos o determinantes.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

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Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Pensamiento computacional

4 secciones~25 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

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