ES · Selectividad

Integrales y cálculo de áreas

El cálculo integral cierra el bloque de Análisis de Matemáticas II: invierte el proceso de derivación mediante las primitivas y, a través del teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow, convierte ese cálculo en una herramienta de medida que da el área bajo una curva, el área entre curvas y el volumen de los sólidos de revolución alrededor del eje OX. Es uno de los contenidos más rentables y recurrentes de la fase de acceso de la Selectividad (PAU), pues combina técnica de integración (inmediatas, por partes, cambio de variable, racionales con raíces reales) con interpretación geométrica. Todo el tema está dentro del examen de Selectividad.

5 secciones~27 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

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Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la ciencia y la tecnología aplicando el concepto de integral al cálculo de áreas de superficies planas y de volúmenes de revolución.CE2 · Verificar la validez de las soluciones empleando el razonamiento y la argumentación: comprobar una primitiva por derivación, justificar el valor absoluto del integrando en un área y discutir el signo del resultado.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento, reconociendo la integral definida como acumulación (espacio a partir de la velocidad, trabajo, masa) en física e ingeniería.

Operadores:calculaintegradeterminademuestrajustificainterpretarazonahallaaplicarepresenta

nivel básico

Las técnicas de integración (inmediatas, partes, cambio de variable y racionales con raíces reales del denominador), la regla de Barrow y el cálculo de áreas constituyen contenido exigible de la materia de modalidad Matemáticas II y aparecen casi en cada convocatoria.

nivel avanzado

La profundización de modalidad incluye encadenar la integración por partes (casos cíclicos y reductivos), combinar cambio de variable con descomposición en fracciones simples y resolver problemas completos de área entre varias curvas o de volumen de revolución que exigen modelizar antes de integrar.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Integrales y cálculo de áreas

5 secciones20 puntos clave17 fórmulas20 errores típicos

Primitivas e integral indefinida: propiedades#

~5 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida — Concepto de primitiva y sus propiedades; relación entre dos primitivas de una misma función; dada una familia de primitivas, determinar aquella cuya gráfica pase por un punto dado.

La integración como proceso inverso de la derivación

Integrar es, esencialmente, derivar al revés. Una función F es una primitiva de f en un intervalo I si F es derivable en I y F'(x) = f(x) para todo x de I. Así, F(x) = x² es una primitiva de f(x) = 2x porque al derivar x² recuperamos 2x. Este apartado fija el lenguaje básico del cálculo integral y la idea, repetida en toda la unidad, de que la integración deshace la derivación.

Una función no tiene una única primitiva, sino infinitas. El resultado central es que dos primitivas cualesquiera de una misma función en un intervalo se diferencian en una constante: si F'(x) = G'(x) = f(x) en I, entonces (F − G)'(x) = 0, y una función con derivada nula en un intervalo es constante (consecuencia del teorema del valor medio, repaso de la unidad de derivadas). Por eso a la primitiva siempre se le suma una constante arbitraria C, llamada constante de integración.

Al conjunto de TODAS las primitivas de f se le llama integral indefinida y se escribe ∫ f(x) dx = F(x) + C, donde F es una primitiva cualquiera y C ∈ ℝ. Geométricamente, esa familia es un haz de curvas paralelas verticales: cada valor de C traslada la gráfica de F hacia arriba o hacia abajo sin cambiar su forma, ya que todas comparten la misma pendiente en cada abscisa (Fig. 2).

El haz de primitivas de una misma función

Fig. 2 ↓

La integral indefinida es un operador lineal: la integral de una suma es la suma de las integrales y las constantes multiplicativas salen fuera del signo integral, es decir ∫ [a·f(x) + b·g(x)] dx = a·∫ f(x) dx + b·∫ g(x) dx. Esta propiedad, que descompone integrales complicadas en otras inmediatas, se usará en absolutamente todos los apartados siguientes.

Un tipo de problema muy habitual es, dada la familia de primitivas, determinar aquella cuya gráfica pasa por un punto concreto. Se integra para obtener F(x) + C y después se impone la condición F(x₀) + C = y₀, lo que fija el valor de C. Esta misma idea, llamada problema de valores iniciales, es la que en física permite recuperar la posición a partir de la velocidad o la velocidad a partir de la aceleración.

Vocabulario

→ Tarjetas

PrimitivaFunción F derivable con F′(x) = f(x) en todo un intervalo; integrar es buscarla.
Integral indefinidaConjunto de TODAS las primitivas de f, que se escribe ∫ f(x) dx = F(x) + C.
Constante de integraciónLa C que recoge la infinitud de primitivas; omitirla convierte una familia en una sola función.
LinealidadPropiedad que permite partir la integral en sumandos y sacar fuera los factores constantes.
Haz de primitivasFamilia de curvas paralelas verticalmente: cada valor de C traslada la gráfica sin cambiar su pendiente.
Problema de valores inicialesDeterminar la primitiva concreta que pasa por un punto dado, imponiendo F(x₀) = y₀ para fijar C.

Definición de integral indefinida

\int f(x)\,dx = F(x) + C \iff F'(x) = f(x)

F es una primitiva de f y C es una constante real arbitraria.

Relación entre dos primitivas

F'(x) = G'(x)\ \text{en } I \Rightarrow F(x) - G(x) = C

Dos primitivas de una misma función en un intervalo se diferencian en una constante.

Linealidad

\int \big[a\,f(x) + b\,g(x)\big]\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx

La integral indefinida es lineal: suma de integrales y constantes que salen fuera.

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Ejemplo resuelto

La primitiva que pasa por un punto

Halla la función F(x) sabiendo que F'(x) = 3x² − 2x + 1 y que su gráfica pasa por el punto P(1, 4).

Integrar término a término (linealidad)
Aplicamos la integral inmediata de una potencia a cada sumando.
Imponer la condición del punto
La gráfica pasa por P(1, 4), de modo que F(1) = 4.
Despejar la constante
De 1 + C = 4 obtenemos el valor de C.
Comprobar derivando
Derivamos el resultado y debe recuperarse f(x).

Resultado: F(x) = x³ − x² + x + 3.

Errores frecuentes

Olvidar la constante de integración «+ C» al escribir una integral indefinida, lo que la convierte en una sola primitiva en lugar de toda la familia.
Confundir el operador integral con su inverso y derivar cuando se pide integrar (o viceversa), o creer que ∫ f·g dx = (∫ f dx)·(∫ g dx), igualdad que es FALSA.
Escribir ∫ (1/x) dx = ln x sin valor absoluto: la primitiva correcta es ln|x| + C, porque el dominio también incluye x < 0.
Aplicar la regla de la potencia con n = −1: ∫ x⁻¹ dx no es x⁰/0, que ni siquiera existe, sino ln|x| + C.

Repaso activo

De la familia de primitivas de f(x) = 3x² − 2x + 1, determina aquella cuya gráfica pasa por el punto P(1, 4). Comprueba tu resultado derivándolo.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)) · Cálculo volumen 1 — manual universitario abierto (integración y aplicaciones) (OpenStax — Rice University)

Métodos de integración: inmediatas, partes, cambio de variable y racionales#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida — Primitivas inmediatas; primitivas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales; método de integración por partes (aplicándolo reiteradamente); técnica de integración por cambio de variable.

Saber integrar es saber elegir el método. El currículo de Matemáticas II fija cuatro técnicas para esta unidad: las primitivas inmediatas (leer al revés la tabla de derivadas), la integración por partes, el cambio de variable y la descomposición de funciones racionales en fracciones simples cuando las raíces del denominador son reales. Reconocer a qué tipo pertenece el integrando es la mitad del problema; la Fig. 3 recoge ese árbol de decisión en el orden en que conviene recorrerlo.

Mapa de decisión: ¿qué método de integración aplicar?

Fig. 3 ↓

Las primitivas inmediatas son las que se obtienen directamente invirtiendo una derivada conocida. Las imprescindibles son la regla de la potencia ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (con n ≠ −1), el caso logarítmico ∫ 1/x dx = ln|x| + C, la exponencial ∫ eˣ dx = eˣ + C y las trigonométricas básicas. Una variante muy útil es la integral cuasi-inmediata, en la que aparece la derivada del «interior»: ∫ f'(x)·[f(x)]ⁿ dx = [f(x)]ⁿ⁺¹/(n+1) + C y ∫ f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C.

La integración por partes procede de la regla del producto de la derivada e invierte un producto que no se simplifica solo: ∫ u dv = u·v − ∫ v du. Se elige como u la parte que se simplifica al derivar y como dv el resto, que debe ser fácil de integrar; una regla mnemotécnica habitual para escoger u es el orden ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/cosenos). A veces hay que aplicarla varias veces de forma reiterada, o aparece de nuevo la integral original (caso cíclico) y se despeja como una incógnita.

El cambio de variable (o sustitución) traduce la integral a otra más sencilla mediante una nueva variable u = g(x). Se sustituye g(x) por u y, sobre todo, g'(x) dx por du (no olvidar el diferencial). El cambio es eficaz cuando en el integrando aparece una función y su derivada; tras integrar en u se deshace el cambio para volver a x. Es la versión integral de la regla de la cadena.

Para integrar una función racional P(x)/Q(x) con raíces reales en el denominador, primero, si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se efectúa la división polinómica; después se factoriza Q(x) y se descompone la fracción restante en fracciones simples (una por cada factor (x − a), del tipo A/(x − a), y para raíces múltiples también A/(x − a)²). Cada fracción simple se integra como un logaritmo o como una potencia, lo que reduce el problema a casos inmediatos.

Vocabulario

→ Tarjetas

Primitiva inmediataLa que se obtiene leyendo al revés una derivada de la tabla, sin ninguna técnica.
Integral cuasi-inmediataAquella en la que aparece una función y su derivada, como ∫ f′·fⁿ dx o ∫ f′/f dx.
Integración por partesTécnica ∫ u dv = u·v − ∫ v du, inversa de la regla del producto; u es lo que se simplifica al derivar.
Cambio de variableSustitución u = g(x) con du = g′(x) dx; es la versión integral de la regla de la cadena.
Fracciones simplesDescomposición de P(x)/Q(x) en sumandos A/(x − a) cuando el denominador tiene raíces reales.
División polinómicaPaso previo obligatorio cuando el grado del numerador iguala o supera al del denominador.

Inmediatas básicas

\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad (n \neq -1), \qquad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

Regla de la potencia y caso logarítmico.

Integración por partes

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

Inversión de la regla del producto; elige u por el criterio ALPES.

Cambio de variable

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du,\quad u = g(x),\ du = g'(x)\,dx

Versión integral de la regla de la cadena; no olvides el diferencial du.

Fracciones simples (raíces reales simples)

\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}

Cada factor lineal aporta una fracción simple integrable como logaritmo.

Ejemplo resuelto

Por partes y por fracciones simples

Calcula: (a) ∫ x·eˣ dx por partes; (b) ∫ (3x+5)/(x²+x−2) dx descomponiendo en fracciones simples.

(a) Elegir u y dv
Por ALPES, el polinomio se deriva: u = x y dv = eˣ dx, de donde du = dx y v = eˣ.
(a) Aplicar la fórmula
Sustituimos en ∫ u dv = u·v − ∫ v du.
(b) Factorizar el denominador
Las raíces de x²+x−2 son x = 1 y x = −2.
(b) Descomponer y hallar A y B
Imponemos 3x+5 = A(x+2) + B(x−1). Con x=1: 8 = 3A ⇒ A = 8/3. Con x=−2: −1 = −3B ⇒ B = 1/3.
(b) Integrar las fracciones simples
Cada sumando es un logaritmo.

Resultado: (a) ∫ x·eˣ dx = eˣ(x − 1) + C. (b) ∫ (3x+5)/(x²+x−2) dx = (8/3)·ln|x−1| + (1/3)·ln|x+2| + C.

Objetivo Selectividad

Integrar correctamente productos del tipo polinomio·exponencial o polinomio·logaritmo por partes, y funciones racionales con denominador factorizable en raíces reales mediante fracciones simples; ambas técnicas son extraordinariamente recurrentes en la fase de acceso.
Se valora identificar el método adecuado, escribir bien el diferencial en los cambios de variable y comprobar el resultado por derivación cuando el tiempo lo permita.
En un cambio de variable dentro de una integral DEFINIDA, o cambias también los límites al pasar a u, o deshaces el cambio antes de aplicar Barrow; mezclar u con los límites en x es error de bulto.
En las cuasi-inmediatas, ajusta la constante que falta multiplicando y dividiendo —∫ x·e^{x²} dx = ½·e^{x²} + C—, nunca sacando del integrando un factor que dependa de x.

Errores frecuentes

En el cambio de variable, sustituir g(x) por u pero olvidar cambiar dx por du/g'(x) (o el factor que corresponda), lo que invalida la integral.
Al descomponer en fracciones simples, equivocar el sistema de coeficientes o no hacer primero la división polinómica cuando el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador.
Sacar fuera de la integral un factor que depende de x: solo salen las constantes, de modo que ∫ x·f(x) dx ≠ x·∫ f(x) dx.
Elegir mal u en la integración por partes y complicar la integral en lugar de simplificarla: si la nueva integral es peor que la de partida, hay que rehacer la elección siguiendo el orden ALPES.

Repaso activo

Calcula las siguientes primitivas, indicando en cada caso el método empleado: (a) ∫ x·ln(x) dx; (b) ∫ x/(x²+1) dx; (c) ∫ (2x−1)/((x−3)(x+1)) dx.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob) · Cálculo volumen 1 — manual universitario abierto (integración y aplicaciones) (OpenStax — Rice University)

Integral definida, regla de Barrow y propiedades#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida — Interpretación de la integral definida como el área bajo una curva; aplicación de la regla de Barrow; propiedad de linealidad de la integral respecto al integrando y aditividad respecto al intervalo de integración.

La integral definida nace de un problema de medida: ¿cuánto vale el área comprendida entre la gráfica de una función positiva, el eje OX y dos rectas verticales x = a, x = b? La idea de Riemann es aproximar esa región por rectángulos cada vez más finos; la suma de sus áreas, al hacer que la base tienda a cero, converge a un número que se escribe ∫ₐᵇ f(x) dx (Fig. 4). En este límite, a y b son los límites de integración.

Aproximación del área por sumas de Riemann (rectángulos)

Fig. 4 ↓

El puente entre el problema de área (integral definida) y el cálculo de primitivas (integral indefinida) es el teorema fundamental del cálculo: si f es continua en [a, b], la función área acumulada F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt es derivable y su derivada es la propia f, es decir F'(x) = f(x). Esto demuestra que derivar e integrar son operaciones inversas y que toda función continua tiene primitiva.

De ese teorema se deduce la herramienta de cálculo del tema, la regla de Barrow: para evaluar una integral definida basta hallar una primitiva cualquiera F de f y restar sus valores en los extremos, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Por eso, en una integral definida la constante de integración es irrelevante (se cancela en la resta) y el resultado es siempre un número, no una función.

La integral definida hereda la linealidad de la indefinida, ∫ₐᵇ [α·f + β·g] dx = α·∫ₐᵇ f dx + β·∫ₐᵇ g dx, y añade la propiedad de aditividad respecto al intervalo: si c está entre a y b, entonces ∫ₐᵇ f dx = ∫ₐᶜ f dx + ∫꜀ᵇ f dx. Esta última es clave para integrar funciones definidas a trozos o para separar tramos en los que la función cambia de signo.

Conviene distinguir el valor de la integral del área. La integral ∫ₐᵇ f(x) dx cuenta como negativa el área que queda por debajo del eje OX; coincide con el área solo cuando f ≥ 0 en todo [a, b]. Además ∫ₐᵃ f dx = 0 e invertir los límites cambia el signo: ∫ᵇₐ f dx = −∫ₐᵇ f dx. Tenerlo presente evita errores graves de signo en el apartado de cálculo de áreas. La Fig. 5 lo hace visible sobre y = x³ − 2x en [0, 2]: el tramo bajo el eje aporta −1 y el tramo sobre el eje +1, de modo que la integral vale 0 mientras el área encerrada mide 2 u².

Área con signo: por qué la integral no siempre es el área

Fig. 5 ↓

Vocabulario

→ Tarjetas

Integral definidaNúmero ∫ₐᵇ f(x) dx que mide el área con signo entre la curva y el eje OX.
Suma de RiemannSuma de las áreas de rectángulos que aproximan la región; su límite define la integral.
Límites de integraciónLos extremos a y b; intercambiarlos cambia el signo del resultado.
Teorema fundamental del cálculoEstablece que la función área F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt es derivable y cumple F′(x) = f(x).
Regla de BarrowMétodo de evaluación: se busca una primitiva F y se calcula F(b) − F(a).
AditividadPropiedad ∫ₐᵇ = ∫ₐᶜ + ∫꜀ᵇ que permite partir el intervalo en los cortes o en los trozos.

Teorema fundamental del cálculo

\int_{a}^{x} f(t)\,dt = F(x),\qquad F'(x) = f(x)

La función área acumulada es una primitiva de f (f continua).

Regla de Barrow

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a),\quad F \text{ primitiva de } f

Evalúa la integral definida restando los valores de una primitiva en los extremos.

Aditividad respecto al intervalo

\int_{a}^{b} f\,dx = \int_{a}^{c} f\,dx + \int_{c}^{b} f\,dx

Permite descomponer el intervalo de integración por un punto intermedio c.

Propiedades de los límites

\int_{a}^{a} f\,dx = 0,\qquad \int_{b}^{a} f\,dx = -\int_{a}^{b} f\,dx

Intervalo nulo e inversión de límites.

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Ejemplo resuelto

Regla de Barrow con cambio de signo y aditividad

Calcula el valor de la integral definida ∫₀² (x³ − 2x) dx y, a continuación, calcula el área que la curva y = x³ − 2x encierra con el eje OX en [0, 2].

Hallar una primitiva
Integramos por la regla de la potencia.
Aplicar Barrow para la integral
Restamos F(2) − F(0); F(2) = 16/4 − 4 = 0 y F(0) = 0.
Localizar el corte con OX
x³ − 2x = x(x² − 2) = 0 en [0,2] ⇒ x = 0 y x = √2; la función es negativa en (0, √2) y positiva en (√2, 2).
Calcular el área tramo a tramo
El área toma el valor absoluto de cada trozo. F(√2) = (4)/4 − 2 = −1, F(0)=0, F(2)=0.

Resultado: La integral vale 0 (el área bajo el eje cancela al área sobre el eje), pero el área encerrada es 2 unidades cuadradas.

Errores frecuentes

Confundir el valor de la integral con el área cuando la función toma valores negativos: una integral puede dar 0 o negativo y sin embargo el área encerrada ser positiva.
Evaluar mal la regla de Barrow restando F(a) − F(b) en lugar de F(b) − F(a), o equivocar el signo al sustituir los extremos.
Arrastrar el «+ C» a una integral definida: en la regla de Barrow la constante se cancela al restar F(b) − F(a), así que sobra.
Dejar la variable de integración en el resultado: ∫ₐᵇ f(x) dx es un NÚMERO; si en la respuesta aparece una x, se ha sustituido mal en Barrow.

Repaso activo

Calcula ∫₋₁³ (x² − 1) dx mediante la regla de Barrow e interpreta por qué el resultado obtenido NO coincide con el área que la curva encierra con el eje OX en [−1, 3].

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Cálculo de áreas entre curvas#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida — Cálculo de áreas mediante integrales definidas; técnicas para la aplicación del concepto de integral a la resolución de problemas que impliquen cálculo de superficies planas.

La aplicación estrella de la integral definida es medir áreas planas. Para el área entre una curva y el eje OX hay que respetar el signo: el área es ∫ₐᵇ |f(x)| dx, lo que en la práctica obliga a localizar los puntos donde f corta al eje, partir el intervalo y sumar el valor absoluto de la integral en cada tramo. Tomar directamente la integral, sin valor absoluto, mide un área con signo, no el área geométrica.

Para el área de la región comprendida entre dos curvas y = f(x) e y = g(x), la fórmula es ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx, donde a y b son las abscisas de los puntos de corte de ambas curvas (se resuelve la ecuación f(x) = g(x)). Dentro de cada tramo, la curva «de arriba» menos la «de abajo» da una diferencia positiva, de modo que el integrando |f − g| equivale a integrar (curva superior − curva inferior) (Fig. 6).

Área entre una parábola y una recta

Fig. 6 ↓

El procedimiento sistemático es siempre el mismo: (1) hallar los puntos de corte resolviendo f(x) = g(x); (2) determinar en qué tramos cada función está por encima de la otra (con un valor de prueba o un esbozo gráfico); (3) plantear la integral de la diferencia, tramo a tramo, con la función superior menos la inferior; (4) aplicar la regla de Barrow y sumar. Un esbozo de las gráficas evita casi todos los errores de signo.

Las áreas se expresan siempre en unidades cuadradas (u²) y nunca son negativas. Si al aplicar Barrow obtienes un valor negativo, es señal inequívoca de que has restado las curvas en el orden equivocado en ese tramo: basta cambiar el signo o reordenar superior e inferior. Cuando la región presenta simetría respecto a un eje, calcular media área y duplicar ahorra tiempo.

En ciertos problemas la región se describe mejor integrando respecto al eje OY, es decir tratando x como función de y e integrando entre límites en y. No obstante, el currículo de Matemáticas II y la PAU centran el cálculo en regiones acotadas por curvas y = f(x) integradas respecto a x; conviene dominar primero ese caso y reservar la integración en y para situaciones en que simplifique de forma evidente.

Vocabulario

→ Tarjetas

Área con signoValor de la integral: cuenta como negativo lo que queda bajo el eje; solo coincide con el área si f ≥ 0.
Curva superiorLa que en un tramo va por encima; el integrando del área es siempre superior menos inferior.
Puntos de corteSoluciones de f(x) = g(x); sus abscisas son los límites de integración de la región.
Unidad cuadrada (u²)Unidad en que se expresa toda área; un resultado sin unidad queda incompleto.
Región acotadaRecinto cerrado por las curvas entre dos cortes consecutivos; es lo que se mide.
Integración respecto a yAlternativa que trata x como función de y; útil cuando la región se describe mejor por franjas horizontales.

Área entre una curva y el eje OX

A = \int_{a}^{b} |f(x)|\,dx

Hay que partir el intervalo en los cortes con OX y sumar el valor absoluto por tramos.

Área entre dos curvas

A = \int_{a}^{b} \big| f(x) - g(x) \big|\,dx

a y b son los puntos de corte f(x)=g(x); por tramos se integra (superior − inferior).

Localización de los límites

f(x) = g(x) \;\Rightarrow\; \text{abscisas de corte } a,\,b

Resolver la ecuación de corte da los extremos de integración.

Ejemplo resuelto

Área entre una parábola y una recta

Calcula el área de la región del plano limitada por la parábola y = −x² + 4x y la recta y = x.

Hallar los puntos de corte
Igualamos las dos funciones: −x² + 4x = x.
Decidir la curva superior
En x = 1, la parábola vale −1+4 = 3 y la recta vale 1; la parábola queda por encima en (0, 3).
Plantear la integral de la diferencia
Integramos la función superior menos la inferior entre 0 y 3.
Aplicar la regla de Barrow
La primitiva es −x³/3 + 3x²/2; evaluamos en 3 y en 0.

Resultado: El área de la región es 9/2 = 4,5 unidades cuadradas.

Explicación paso a paso7 pasos

1
El caso que más nota cuesta es aquel en el que las dos curvas se cruzan DENTRO de la región. Lo recorremos entero con y = x³ e y = x, el ejemplo canónico: si se integra de un tirón, el resultado es cero y el área no es cero.
2
Paso uno: los cortes. Igualamos las dos expresiones y factorizamos. Salen tres soluciones, y ese cero intermedio es toda la dificultad del problema: obliga a partir la región en dos tramos.
Los tres puntos de corte
$x^{3} = x \iff x^{3} - x = 0 \iff x\,(x-1)(x+1) = 0 \iff x = -1,\; 0,\; 1$
Las abscisas de corte son los límites de integración; el corte intermedio x = 0 separa dos tramos con curvas superiores distintas.
3
Paso dos: quién va arriba en cada tramo. Basta un valor de prueba. En x = −0,5 la cúbica vale −0,125 y la recta −0,5, así que arriba está la cúbica; en x = 0,5 la cúbica vale 0,125 y la recta 0,5, así que arriba está la recta. Se han intercambiado los papeles.
La curva superior cambia en x = 0
$(-1,0):\; x^{3} > x \quad\Longrightarrow\quad (0,1):\; x > x^{3}$
Comprobado con los valores de prueba x = −0,5 y x = 0,5; el integrando debe ser en cada tramo la superior menos la inferior.
4
Paso tres: el primer tramo, de −1 a 0, con la cúbica arriba. La primitiva de x³ − x es x⁴/4 − x²/2, y al aplicar Barrow sale un cuarto.
Tramo [−1, 0]
$\int_{-1}^{0}\bigl(x^{3}-x\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0} = 0 - \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$
Integrando: curva superior (x³) menos inferior (x). El resultado sale positivo, señal de que el orden era el correcto.
5
Paso cuatro: el segundo tramo, de 0 a 1, con la recta arriba. Ahora el integrando es x menos x³, y vuelve a salir un cuarto: la simetría del dibujo lo anticipaba.
Tramo [0, 1]
$\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{3}\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}-\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
El integrando se ha invertido respecto al tramo anterior porque la curva superior ha cambiado.
6
Paso cinco: se suman los dos tramos y el área es un medio de unidad cuadrada. Y ahora la trampa: si se integra x³ − x de −1 a 1 de una sola vez, el resultado es CERO, porque el integrando es impar y los dos trozos se cancelan. Cero no es el área; es el área con signo.
Área frente a integral
$A = \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{2}\ \text{u}^{2} \qquad\text{pero}\qquad \int_{-1}^{1}\bigl(x^{3}-x\bigr)\,dx = 0$
El área es la suma de los valores absolutos tramo a tramo; la integral de un tirón cancela el tramo negativo con el positivo.
7
Y así se ve en el dibujo: dos recintos del mismo tamaño, uno a cada lado del origen, con la curva superior intercambiada. Hacer el esbozo antes de integrar es lo que evita este error en el examen.
Los dos recintos entre y = x³ e y = x

Errores frecuentes

Olvidar los puntos de corte y partir mal el intervalo, o integrar (f − g) sin comprobar qué función va por encima, obteniendo un área negativa.
Calcular el área entre dos curvas restando por separado las dos áreas respecto al eje OX en vez de integrar directamente la diferencia f − g, lo que complica el problema y suele provocar errores de signo.
Entregar un área negativa: si Barrow devuelve un número negativo, el orden superior−inferior estaba invertido en ese tramo; el área se da positiva y en u².
Poner el valor absoluto FUERA de la integral en vez de partir el intervalo: |∫ₐᵇ (f − g) dx| no es el área cuando las curvas se cruzan dentro de (a, b).

Repaso activo

Calcula el área de la región del plano limitada por las curvas y = x² − 2x e y = x. Haz un esbozo, localiza los puntos de corte y plantea la integral de la diferencia.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Volúmenes de revolución alrededor del eje OX#

~5 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida — Técnicas para la aplicación del concepto de integral a la resolución de problemas que impliquen cálculo de volúmenes de revolución al girar alrededor del eje OX.

Método de los discos: rebanada perpendicular al eje OX

Cuando una región plana situada bajo la gráfica de y = f(x) gira una vuelta completa alrededor del eje OX, genera un sólido de revolución, como un cono, una esfera o un paraboloide. El currículo de Matemáticas II limita explícitamente este contenido al giro alrededor del eje OX, que es el único caso exigible en la PAU.

La idea para medir su volumen es cortar el sólido en rebanadas perpendiculares al eje de giro. Cada rebanada, de grosor infinitesimal dx, es un disco circular de radio f(x), cuya área es π·[f(x)]². Sumando (integrando) el volumen de todos esos discos finos entre x = a y x = b se obtiene el método de los discos, base de la fórmula del tema.

La fórmula del volumen de revolución alrededor del eje OX es, por tanto, V = π·∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Es esencial recordar que la función va elevada al cuadrado (porque el área del disco depende del radio al cuadrado) y que ese cuadrado se calcula DENTRO de la integral, antes de integrar, no después. El resultado se expresa en unidades cúbicas (u³) y es siempre positivo.

El procedimiento práctico consiste en: (1) identificar la función f(x) cuya gráfica gira y los límites a y b; (2) escribir el integrando [f(x)]²; (3) desarrollar el cuadrado y obtener una primitiva; (4) aplicar la regla de Barrow y multiplicar por π. Con esta fórmula se reobtienen las fórmulas clásicas de volumen: girando la recta y = (r/h)·x se recupera el volumen del cono V = (1/3)πr²h y girando el semicírculo y = √(r² − x²) se recupera el de la esfera V = (4/3)πr³, lo que conecta el cálculo integral con la geometría elemental.

Conviene no confundir esta fórmula con la del área: el área usa ∫ |f| dx (lineal en f), mientras que el volumen usa π·∫ f² dx (cuadrático en f). Por la presencia del cuadrado, en un volumen de revolución no hay problema de cambio de signo del integrando: [f(x)]² es siempre no negativo, de modo que un tramo de la curva por debajo del eje OX contribuye igual que si estuviera por encima.

Vocabulario

→ Tarjetas

Sólido de revoluciónCuerpo generado al girar una región plana una vuelta completa alrededor de un eje.
Método de los discosCorte del sólido en rebanadas perpendiculares al eje; cada una es un círculo de área π·[f(x)]².
ArandelaDisco con un agujero central; aparece cuando la región gira limitada por dos curvas.
Radio del discoDistancia de la curva al eje de giro; con giro en OX es simplemente f(x).
Unidad cúbica (u³)Unidad de todo volumen; darlo en u² es un error de dimensión, no de cálculo.
Eje de giroRecta alrededor de la cual gira la región; el currículo de Matemáticas II se limita al eje OX.

Volumen de revolución (eje OX, método de los discos)

V = \pi \int_{a}^{b} \big[\,f(x)\,\big]^{2}\,dx

Cada rebanada es un disco de radio f(x) y área π·[f(x)]²; se integra entre a y b.

Volumen del disco elemental

dV = \pi\,[f(x)]^{2}\,dx

Disco de grosor dx perpendicular al eje OX cuyo radio es f(x).

Casos clásicos recuperados

V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^{2} h, \qquad V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}

Se obtienen aplicando la fórmula a la recta y al semicírculo, respectivamente.

Ejemplo resuelto

Volumen al girar y = √x alrededor de OX

Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje OX la región limitada por la curva y = √x, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 4.

Plantear la fórmula de los discos
El radio de cada disco es f(x) = √x; integramos su cuadrado entre 0 y 4.
Simplificar el integrando
El cuadrado de la raíz es la propia x.
Hallar la primitiva
Integramos x por la regla de la potencia.
Aplicar la regla de Barrow
Evaluamos entre 0 y 4 y multiplicamos por π.

Resultado: El volumen del sólido de revolución es 8π ≈ 25,13 unidades cúbicas.

Errores frecuentes

Olvidar elevar al cuadrado la función (o elevar al cuadrado fuera de la integral), o no incluir el factor π en el resultado.
Aplicar la fórmula del área (∫ |f| dx) cuando se pide un volumen de revolución, o intentar girar alrededor de un eje distinto de OX (no exigido en el currículo de Matemáticas II).
Escribir π·∫ (f − g)² dx para el volumen entre dos curvas: lo correcto es π·∫ ([f]² − [g]²) dx, porque cada rebanada es una arandela y lo que se resta son ÁREAS de círculos.
Integrar sin desarrollar el cuadrado: (x + 1)² se integra tras desarrollarlo como x² + 2x + 1, no elevando al cuadrado la primitiva de x + 1.

Repaso activo

Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje OX la región limitada por la curva y = x + 1, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2.

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Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

OpenStax — Rice University

Cálculo volumen 1 — manual universitario abierto (integración y aplicaciones)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

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