ES · Selectividad

Representación de funciones

Este tema integra todo el análisis de Matemáticas II —límites, continuidad y derivabilidad— en un único procedimiento: el estudio completo de una función y el esbozo razonado de su gráfica. Aprenderás a determinar el dominio, las simetrías, los cortes con los ejes, las asíntotas, la monotonía, los extremos, la curvatura y los puntos de inflexión, y a leer una gráfica en sentido inverso (de la función a su derivada y viceversa), apoyándote en herramientas digitales como GeoGebra o Desmos. Es uno de los contenidos más rentables de la fase de acceso de la Selectividad/PAU, porque condensa en una sola tarea casi todo el bloque de Análisis.

5 secciones~27 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

T·0333 / 12

Perfil de examen

CE3 · Formular y comprobar conjeturas sencillas sobre el comportamiento de una función, utilizando el razonamiento, la abstracción y las herramientas tecnológicas.CE4 · Utilizar los principios del pensamiento computacional y la modelización con medios tecnológicos para representar y explorar funciones.CE8 · Comunicar conceptos, procedimientos y argumentos matemáticos usando el lenguaje gráfico y distintas representaciones.

Operadores:analizarepresentaesbozaestudiacalculajustificainterpretarazonarelacionalocaliza

nivel básico

El esbozo razonado de una función a partir de su dominio, asíntotas, monotonía y extremos es exigible a todo el alumnado de Matemáticas II como síntesis del bloque de Análisis.

nivel avanzado

Como materia de modalidad, se profundiza en el estudio completo (curvatura, puntos de inflexión, lectura inversa f↔f' y funciones definidas a trozos) y en el uso crítico de herramientas digitales, que apoyan pero no sustituyen el análisis.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Representación de funciones

5 secciones20 puntos clave14 fórmulas20 errores típicos

El guion del estudio completo de una función#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida / Sentido algebraico

Representar una función no es «dibujarla a ojo»: es aplicar de forma ordenada todo lo aprendido sobre límites, continuidad y derivabilidad para obtener un esbozo fiel a sus propiedades globales y locales. El currículo de Matemáticas II fija un guion estándar que conviene memorizar y seguir siempre en el mismo orden, porque cada paso prepara al siguiente. La Fig. 1 muestra ese guion como una lista de verificación que debes recorrer entera antes de trazar la curva.

Guion de verificación del estudio de una función

Fig. 1 ↓

El estudio completo consta de siete bloques: (1) dominio de definición; (2) simetrías (par o impar) y periodicidad; (3) cortes con los ejes y signo de la función; (4) asíntotas y comportamiento en el infinito (límites); (5) monotonía y extremos relativos (signo de la primera derivada f'); (6) curvatura —concavidad y convexidad— y puntos de inflexión (signo de la segunda derivada f''); y (7) síntesis: con toda esa información se dibuja la gráfica. El orden no es caprichoso: el dominio acota dónde tiene sentido todo lo demás, y las asíntotas más la monotonía bastan ya para un esbozo razonable.

Es esencial distinguir las propiedades globales —dominio, simetría, periodicidad, asíntotas, que describen el comportamiento «de lejos»— de las propiedades locales —cortes, extremos, inflexiones, que describen el comportamiento «de cerca» en puntos concretos. Una buena representación encaja ambas: el esqueleto global (asíntotas y ramas infinitas) y los detalles locales (picos, valles y cambios de curvatura). Cuando el dibujo final contradice algún dato calculado, hay un error en alguna parte del estudio; el esbozo es también una herramienta de autocomprobación.

Conviene apoyarse en una tabla de signos: una recta numérica donde marcas los puntos «especiales» (los que anulan o no definen f, f' o f'') y, en cada intervalo, anotas el signo de f' (crece ↗ / decrece ↘) y el de f'' (convexa ∪ / cóncava ∩). Esa tabla traduce los cálculos en información visual directa. El objetivo del tema es que sepas hacer este recorrido tanto a mano —razonándolo— como con apoyo digital, entendiendo que GeoGebra o Desmos confirman el resultado pero no eximen del análisis.

Vocabulario

→ Tarjetas

Estudio completoRecorrido ordenado de las siete etapas —dominio, simetría, cortes, asíntotas, monotonía, curvatura y esbozo— que justifica la gráfica.
Propiedad globalRasgo que describe la función «de lejos»: dominio, simetría, periodicidad y asíntotas.
Propiedad localRasgo que describe la función «de cerca», en un punto concreto: cortes, extremos relativos y puntos de inflexión.
Tabla de signosRecta real con los puntos especiales marcados y el signo de f′ y f″ anotado en cada intervalo; traduce los cálculos en forma.
Punto críticoPunto del dominio en el que f′ se anula o no existe; es candidato a extremo relativo, no extremo confirmado.
Esbozo razonadoDibujo en el que cada rasgo trazado responde a un cálculo escrito; no es un dibujo a mano alzada.

Criterio de monotonía

f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ creciente}; \quad f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ decreciente}

El signo de la primera derivada determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Criterio de curvatura

f''(x)>0 \Rightarrow f \text{ convexa } (\cup); \quad f''(x)<0 \Rightarrow f \text{ cóncava } (\cap)

El signo de la segunda derivada determina la concavidad/convexidad, según el convenio del currículo (f''>0 convexa).

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Ejemplo resuelto

Plantear el estudio de una función polinómica

Dada f(x) = x³ − 3x, indica el dominio, estudia su simetría y calcula los cortes con los ejes, dejando preparado el estudio para los pasos siguientes.

Dominio
Es una función polinómica, definida y continua en todo R.
Simetría
f(−x) = (−x)³ − 3(−x) = −x³ + 3x = −f(x): la función es impar, simétrica respecto del origen.
Cortes con OX
x³ − 3x = x(x² − 3) = 0 ⇒ x = 0, x = ±√3.
Corte con OY
f(0) = 0; la gráfica pasa por el origen, coherente con la simetría impar.

Resultado: Dom f = R; función impar; cortes con OX en x = −√3, 0, √3 y corte con OY en (0, 0). Queda preparado el estudio de asíntotas (no las hay, es polinómica), monotonía y curvatura.

Explicación paso a paso7 pasos

1
Un estudio completo se juzga por el orden. Lo recorremos entero sobre f(x) = (x² + 1)/x, una racional con asíntota oblicua que reúne casi todo lo que la Selectividad pregunta en este apartado.
2
Pasos uno y dos. El denominador se anula en x = 0, así que ese punto queda fuera del dominio. Y al sustituir −x la expresión entera cambia de signo: la función es impar, de modo que basta estudiar x > 0 y reflejar respecto del origen.
Dominio y simetría
$\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}\setminus\{0\}, \qquad f(-x) = \frac{x^{2}+1}{-x} = -f(x)$
El cero sale del dominio por anular el denominador; el cambio de signo global identifica una función impar, simétrica respecto del origen.
3
Paso tres. Cortar el eje OX exigiría resolver x² + 1 = 0, que no tiene solución real, y el eje OY no se corta porque x = 0 no está en el dominio. Esta gráfica no toca ningún eje: es positiva en todo el semieje x > 0 y negativa en todo el semieje x < 0.
4
Paso cuatro. En x = 0 los límites laterales se van a −∞ y a +∞, luego hay asíntota vertical. Y al separar la fracción aparece la oblicua: el cociente es x y el resto, 1/x, se apaga en el infinito.
Las dos asíntotas
$f(x) = \frac{x^{2}+1}{x} = x + \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; y = x \;(\text{oblicua}), \quad x = 0 \;(\text{vertical})$
Al dividir, el cociente x es la asíntota oblicua y el resto 1/x tiende a 0 cuando x → ±∞; la vertical es la raíz del denominador.
5
Paso cinco. La derivada se anula en x = −1 y en x = 1. La función crece fuera del intervalo [−1, 1] y decrece dentro, así que en x = −1 hay un máximo relativo, el punto (−1, −2), y en x = 1 un mínimo relativo, el punto (1, 2).
Los puntos críticos
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2}-1}{x^{2}} = 0 \iff x = \pm 1$
El denominador x² es siempre positivo, así que el signo de f′ es el de x² − 1: negativo entre −1 y 1, positivo fuera.
6
Paso seis. La segunda derivada es 2/x³ y no se anula nunca. Su signo es el de x: la función es cóncava en todo el semieje negativo y convexa en todo el positivo, y no hay punto de inflexión, porque el único cambio de curvatura ocurriría en x = 0, que está excluido del dominio.
Curvatura sin inflexión
$f''(x) = \frac{2}{x^{3}} \neq 0 \quad \text{para todo } x \in \operatorname{Dom} f$
f″ hereda el signo de x³: negativa (cóncava, ∩) si x < 0 y positiva (convexa, ∪) si x > 0. El cambio ocurre en x = 0, que no pertenece al dominio, luego no hay inflexión.
7
Paso siete: se dibuja. Dos ramas separadas por la asíntota vertical, cada una pegada a la recta y = x en el infinito, con el máximo en (−1, −2) por debajo del mínimo en (1, 2). Que el máximo quede más bajo que el mínimo no es un error: son extremos RELATIVOS y entre ellos la función ni siquiera está definida.
Estudio completo de f(x) = (x² + 1)/x

Objetivo Selectividad

En la Selectividad/PAU es muy frecuente un ejercicio de «estudio y representación»: se pide indicar de forma explícita dominio, asíntotas, monotonía, extremos, curvatura y puntos de inflexión, y dibujar la gráfica coherente con todo ello.
Se valora el orden y la justificación de cada paso, no solo el dibujo: un esbozo correcto sin el cálculo de la derivada que lo respalde puntúa poco. Conviene escribir cada conclusión («la función crece en (1, +∞) porque f'>0 allí»).
Escribe los intervalos de monotonía y de curvatura como intervalos ABIERTOS y da cada extremo o inflexión como PUNTO (x, f(x)): la abscisa sola deja la respuesta a medias.
Cierra el ejercicio contrastando el dibujo con los datos: si la curva atraviesa una asíntota vertical, o sube donde has escrito f′ < 0, hay un error en el estudio y todavía estás a tiempo de encontrarlo.

Errores frecuentes

Empezar a dibujar antes de calcular el dominio, situando trazos donde la función ni siquiera está definida.
Confundir el orden de las derivadas: usar f'' para la monotonía o f' para la curvatura. La primera derivada da crecimiento; la segunda, concavidad.
Dar el extremo solo con la abscisa («máximo en x = 2»): hay que evaluar la función y escribir el punto, (2, f(2)).
Unir en un único intervalo tramos separados por un punto que no pertenece al dominio: en f(x) = 1/x se escribe «decrece en (−∞, 0) y en (0, +∞)», nunca «decrece en ℝ∖{0}».

Repaso activo

Enumera, en orden, los siete pasos del estudio completo de una función y, para cada uno, indica qué herramienta del análisis lo proporciona (límites, primera derivada o segunda derivada).

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)) · Cálculo volumen 1 — manual universitario abierto (aplicaciones de la derivada) (OpenStax — Rice University)

Dominio, simetrías, periodicidad y cortes con los ejes#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico

El primer paso, y el más decisivo, es el dominio: el conjunto de valores de x para los que f(x) existe. Cada tipo de función tiene sus restricciones características que debes reconocer de inmediato. En una función racional se excluyen los valores que anulan el denominador; en una raíz cuadrada (índice par) se exige radicando ≥ 0; en un logaritmo se exige argumento estrictamente positivo. Las funciones polinómicas, exponenciales (base positiva) y las trigonométricas seno y coseno están definidas en todo R. La Fig. 2 resume estas restricciones por familias.

Restricciones del dominio por familias de funciones

Fig. 2 ↓

Las simetrías permiten estudiar solo «medio dominio» y reflejar el resto, ahorrando trabajo y evitando errores. Una función es par si f(−x) = f(x), y entonces su gráfica es simétrica respecto del eje OY (como x², cos x); es impar si f(−x) = −f(x), y entonces es simétrica respecto del origen (como x³, sen x, la del apartado anterior). La mayoría de las funciones no presentan ninguna de las dos simetrías; comprobarlo es un cálculo de un renglón que nunca debe omitirse. La periodicidad —f(x + T) = f(x)— aparece sobre todo en las funciones trigonométricas: sen x y cos x tienen periodo 2π, y tan x periodo π, lo que permite reducir su estudio a un solo periodo. La Fig. 3 contrapone los dos casos con las dos funciones que más se repiten en el examen: x⁴ − 2x² se refleja en el eje OY, mientras que x³ − 3x gira media vuelta alrededor del origen.

Simetría par y simetría impar comparadas

Fig. 3 ↓

Los cortes con los ejes son puntos concretos por los que pasa la curva. El corte con el eje OY es siempre único (si 0 está en el dominio) y se obtiene evaluando f(0). Los cortes con el eje OX —las raíces de la función— se obtienen resolviendo f(x) = 0; pueden ser varios o ninguno. Entre raíces consecutivas la función conserva el signo, de modo que los cortes con OX, junto con los puntos no definidos, dividen el dominio en intervalos donde f es siempre positiva o siempre negativa. Determinar ese signo (por ejemplo, evaluando f en un punto de cada intervalo) ubica la curva por encima o por debajo del eje.

Estos datos preliminares ya restringen mucho el dibujo: el dominio dice dónde puede haber curva, la simetría dice cómo se refleja, los cortes la clavan a los ejes y el signo la sitúa arriba o abajo. Combinados con las asíntotas del siguiente apartado, suelen bastar para anticipar la forma global de la gráfica antes incluso de derivar.

Vocabulario

→ Tarjetas

Dominio de definiciónConjunto de valores de x para los que f(x) existe; en una racional excluye las raíces del denominador.
RecorridoConjunto de valores que toma f; se lee sobre el eje de ordenadas una vez trazada la gráfica.
Función parCumple f(−x) = f(x); su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas.
Función imparCumple f(−x) = −f(x); su gráfica es simétrica respecto del origen (giro de media vuelta).
PeriodoMenor T > 0 con f(x + T) = f(x); en seno y coseno vale 2π, y en la tangente π.
Raíz de la funciónSolución de f(x) = 0, es decir, abscisa de un corte con el eje OX; entre dos raíces consecutivas f conserva el signo.

Función par

\text{Par: } f(-x)=f(x) \;(\text{simetría respecto de } OY)

Su gráfica se refleja en el eje de ordenadas.

Función impar

\text{Impar: } f(-x)=-f(x) \;(\text{simetría respecto del origen})

Su gráfica se obtiene por simetría central respecto del punto (0,0).

Restricciones del dominio

\text{Racional: } \operatorname{Dom} f = \mathbb{R}\setminus\{x : Q(x)=0\}; \quad \text{Raíz par: } R(x)\ge 0; \quad \text{Log: } A(x)>0

Reglas de dominio para funciones racionales, radicales de índice par y logarítmicas.

Ejemplo resuelto

Dominio, simetría y cortes de una función racional

Estudia el dominio, la simetría y los cortes con los ejes de la función f(x) = (2x² − 3)/(x² − 1).

Dominio
El denominador se anula en x² − 1 = 0 ⇒ x = ±1, que se excluyen.
Simetría
f(−x) = (2x²−3)/(x²−1) = f(x): la función es par, simétrica respecto del eje OY.
Cortes con OX
2x² − 3 = 0 ⇒ x² = 3/2 ⇒ x = ±√(3/2) ≈ ±1,22, ambos en el dominio.
Corte con OY
f(0) = (0 − 3)/(0 − 1) = (−3)/(−1) = 3.

Resultado: Dom f = R∖{−1, 1}; función par; cortes con OX en x = ±√(3/2) ≈ ±1,22 y corte con OY en (0, 3). El estudio de asíntotas continúa en el apartado siguiente.

Errores frecuentes

Olvidar excluir del dominio los puntos que anulan el denominador, o admitir radicandos negativos en una raíz de índice par.
Afirmar que una función es par o impar «porque lo parece», sin comprobar f(−x); muchas funciones no tienen ninguna simetría.
Excluir del dominio las raíces del NUMERADOR de una función racional: se excluyen las del denominador; las del numerador son justamente los cortes con OX.
Suponer que un polinomio es par porque su grado es par: x⁴ − 2x² sí lo es, pero x⁴ − 2x³ no tiene ninguna simetría. Lo que decide es que todos los exponentes sean pares (o todos impares).

Repaso activo

Halla el dominio de las funciones f(x) = (x+2)/(x²−4), g(x) = √(9−x²) y h(x) = ln(x−1), y estudia la simetría de p(x) = x⁴ − 2x².

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Asíntotas y comportamiento en el infinito#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida

Los tres tipos de asíntota

Las asíntotas son rectas a las que la gráfica se aproxima indefinidamente; describen el comportamiento «en los extremos» (cerca de un punto problemático o en el infinito) y constituyen el esqueleto del esbozo. Se calculan mediante límites, conectando este tema con el de límites y continuidad. Hay tres tipos: verticales, horizontales y oblicuas. La Fig. 4 muestra g(x)=x²/(x−1) con su asíntota vertical (x=1) y su oblicua (y=x+1); el esquema posterior compara los tres tipos por separado, recordando que horizontal y oblicua nunca coexisten en la misma rama.

Función racional con asíntota vertical y oblicua señaladas

Fig. 4 ↓

Una asíntota vertical en x = a aparece cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito (±∞); típicamente surge en los valores excluidos del dominio de una función racional (raíces del denominador que no anulan el numerador) o en el borde del dominio de un logaritmo. Para describirla con precisión conviene calcular los límites laterales, que pueden tender a +∞ o a −∞ por cada lado, indicando hacia dónde se «escapa» la curva. Una función puede tener varias asíntotas verticales.

Una asíntota horizontal y = L existe cuando el límite de f cuando x tiende a ±∞ es un número finito L; la curva se acerca a esa recta horizontal en sus ramas infinitas. En una función racional, comparar los grados del numerador y del denominador decide el caso: si el grado del numerador es menor, la asíntota horizontal es y = 0; si son iguales, es el cociente de los coeficientes principales; si el del numerador supera en uno al del denominador, no hay horizontal sino oblicua. Una asíntota oblicua y = mx + n se da cuando el límite de f(x)/x es un número m ≠ 0 finito; entonces n = límite de [f(x) − mx]. Horizontal y oblicua son excluyentes: si existe una, no existe la otra en la misma rama.

Conviene recordar que la gráfica puede cortar a una asíntota horizontal u oblicua (la condición es solo de aproximación en el infinito, no de no contacto), pero nunca corta a una vertical, porque allí la función ni siquiera está definida. Estudiar de qué lado de la asíntota queda la curva (mediante el signo de la diferencia f(x) menos la recta asíntota para x grandes) afina mucho el esbozo.

Vocabulario

→ Tarjetas

Asíntota verticalRecta x = a en la que algún límite lateral de f es infinito; la gráfica nunca la corta.
Asíntota horizontalRecta y = L con L = lím f(x) cuando x → +∞ o x → −∞; puede ser distinta por cada rama.
Asíntota oblicuaRecta y = mx + n con m = lím f(x)/x finito y no nulo, y n = lím [f(x) − mx].
Límite lateralValor al que tiende f acercándose a un punto solo por la izquierda (x → a⁻) o solo por la derecha (x → a⁺).
Rama infinitaParte de la gráfica que se aleja indefinidamente del origen.
Rama parabólicaRama infinita sin asíntota: aparece cuando el numerador supera en dos o más grados al denominador.

Asíntota vertical

\text{A. vertical en } x=a: \quad \lim_{x\to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty

El límite (o un límite lateral) en x = a es infinito; la recta x = a es asíntota vertical.

Asíntota horizontal

\text{A. horizontal } y=L: \quad \lim_{x\to \pm\infty} f(x) = L \in \mathbb{R}

El límite en el infinito es un número finito L; la recta y = L es asíntota horizontal.

Asíntota oblicua

\text{A. oblicua } y=mx+n: \quad m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\quad n=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)

Existe cuando m es finito y no nulo; entonces n se obtiene del segundo límite.

Ejemplo resuelto

Estudio completo de las asíntotas de una racional

Halla todas las asíntotas de la función f(x) = (2x² − 3)/(x² − 1), justificándolas con los límites correspondientes.

Asíntotas verticales
El denominador se anula en x = ±1 y el numerador no; en ambos casos el límite es infinito.
Rectas verticales
Por tanto, x = 1 y x = −1 son asíntotas verticales.
Asíntota horizontal
Numerador y denominador tienen el mismo grado (2); el límite en el infinito es el cociente de coeficientes principales 2/1.
Recta horizontal y conclusión
Existe asíntota horizontal y = 2; al haberla, no hay oblicua.

Resultado: Asíntotas verticales x = −1 y x = 1; asíntota horizontal y = 2; no hay asíntota oblicua.

Objetivo Selectividad

Las asíntotas son un contenido recurrente en la Selectividad/PAU; se pide hallarlas todas (verticales, horizontal u oblicua) con los límites que las justifican, y muchas veces también el comportamiento lateral en las verticales.
Para las racionales se espera que razones el tipo de asíntota a partir de la comparación de grados, y que si hay oblicua la obtengas por división polinómica o por los límites de m y n.
Describe cada asíntota vertical con sus DOS límites laterales: «x = 2, con f → −∞ por la izquierda y f → +∞ por la derecha» vale más que «hay asíntota en x = 2».
Si el grado del numerador supera en dos o más al del denominador, no hay asíntota horizontal ni oblicua: hay rama parabólica. Escríbelo así en lugar de forzar una recta que no existe.

Errores frecuentes

Buscar a la vez asíntota horizontal y oblicua en la misma rama: son incompatibles; si hay una, no hay la otra.
Olvidar los límites laterales en una asíntota vertical y, por tanto, no saber si la curva sube a +∞ o baja a −∞ por cada lado.
Afirmar que la gráfica «no puede cortar» a su asíntota horizontal u oblicua: sí puede, y con frecuencia lo hace; lo único que no se corta nunca es una asíntota vertical.
Tomar por asíntota vertical toda raíz del denominador: si el numerador se anula en el mismo punto y el factor se simplifica, allí hay una discontinuidad evitable —un hueco—, no una asíntota.

Repaso activo

Determina todas las asíntotas (verticales, horizontal u oblicua) de la función f(x) = (x² + 1)/(x − 2), calculando los límites que las justifican.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Monotonía, extremos, curvatura y puntos de inflexión#

~5 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido de la medida

Tabla de signos de f' y f''

Llegamos al corazón del estudio local, que aporta los rasgos «de cerca» de la gráfica: dónde crece o decrece, dónde están sus picos y valles, y cómo se curva. Todo ello se obtiene de las derivadas. La primera derivada f' gobierna la monotonía y los extremos relativos; la segunda derivada f'' gobierna la curvatura y los puntos de inflexión. La Fig. 6 superpone f, f' y f'' para que veas la conexión: donde f' cambia de signo, f tiene un extremo; donde f'' cambia de signo, f tiene una inflexión.

Comparativa de f, f' y f'' en un mismo plano

Fig. 6 ↓

Para la monotonía se calcula f' y se estudia su signo. En los intervalos donde f'(x) > 0 la función es creciente; donde f'(x) < 0, decreciente. Los puntos donde f'(x) = 0 son puntos críticos candidatos a extremo. Un extremo relativo se confirma cuando f' cambia de signo al pasar por el punto: de + a − hay un máximo relativo; de − a + un mínimo relativo (criterio de la primera derivada). Alternativamente, en un punto crítico c puede usarse el criterio de la segunda derivada: si f''(c) > 0 hay mínimo, si f''(c) < 0 hay máximo; si f''(c) = 0 el criterio no decide y hay que volver al signo de f'.

Para la curvatura se calcula f'' y se estudia su signo, con el convenio del currículo: donde f''(x) > 0 la función es convexa (∪, «sonríe»), y donde f''(x) < 0 es cóncava (∩, «entristece»). Un punto de inflexión es aquel en el que la función cambia de curvatura; es candidato cualquier punto con f''(x) = 0, y se confirma si f'' cambia de signo al atravesarlo. En los puntos de inflexión la recta tangente «cruza» la gráfica, separando la parte cóncava de la convexa.

El procedimiento práctico es construir una tabla de signos sobre la recta real: se marcan los puntos críticos (de f') y los candidatos a inflexión (de f''), además de los excluidos del dominio, y en cada intervalo se anota el signo de f' (↗/↘) y de f'' (∪/∩). De esa tabla se leen directamente todos los rasgos locales. Con esta información, sumada al dominio y a las asíntotas, el esbozo final es ya casi automático y, sobre todo, justificado.

Vocabulario

→ Tarjetas

MonotoníaComportamiento creciente o decreciente de f en un intervalo; la decide el signo de f′.
Punto críticoPunto donde f′(x) = 0 o f′ no existe; solo es extremo si f′ cambia de signo al atravesarlo.
Extremo relativoMáximo o mínimo respecto de un entorno del punto, no de todo el dominio; se da como par (x, f(x)).
Función convexa (∪)Tramo con f″ > 0: la curva queda por encima de sus tangentes y «sonríe».
Función cóncava (∩)Tramo con f″ < 0: la curva queda por debajo de sus tangentes y «entristece».
Punto de inflexiónPunto donde f cambia de curvatura; la tangente atraviesa la gráfica y f″ cambia de signo.

Máximo relativo (criterio de f')

f'(c)=0 \;\text{y}\; f' \text{ pasa de } + \text{ a } - \;\Rightarrow\; \text{máximo en } c

Punto crítico donde la primera derivada cambia de positiva a negativa.

Mínimo relativo (criterio de f')

f'(c)=0 \;\text{y}\; f' \text{ pasa de } - \text{ a } + \;\Rightarrow\; \text{mínimo en } c

Punto crítico donde la primera derivada cambia de negativa a positiva.

Criterio de la segunda derivada

f''(c)>0 \Rightarrow \text{mín}; \quad f''(c)<0 \Rightarrow \text{máx} \quad (\text{en } c \text{ con } f'(c)=0)

Clasifica un punto crítico según el signo de la segunda derivada.

Punto de inflexión

f''(c)=0 \;\text{y}\; f'' \text{ cambia de signo en } c \;\Rightarrow\; \text{punto de inflexión}

La curvatura cambia (de cóncava a convexa o viceversa) al atravesar c.

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Ejemplo resuelto

Monotonía, extremos y curvatura de un polinomio

Para la función f(x) = x³ − 3x, estudia la monotonía y la curvatura, y clasifica sus extremos relativos y puntos de inflexión.

Primera derivada
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1); se anula en x = −1 y x = 1.
Monotonía
f'>0 en (−∞,−1)∪(1,+∞) (crece) y f'<0 en (−1,1) (decrece).
Extremos
En x=−1, f' pasa de + a − ⇒ máximo, f(−1)=−1+3=2. En x=1, f' pasa de − a + ⇒ mínimo, f(1)=1−3=−2.
Curvatura e inflexión
f''(x)=6x; f''<0 si x<0 (cóncava ∩) y f''>0 si x>0 (convexa ∪). En x=0, f'' cambia de signo ⇒ inflexión, f(0)=0.

Resultado: Crece en (−∞,−1) y (1,+∞); decrece en (−1,1). Máximo relativo en (−1, 2) y mínimo relativo en (1, −2). Cóncava en x<0, convexa en x>0, con punto de inflexión en (0, 0).

Errores frecuentes

Dar por hecho que todo punto con f'(x) = 0 es un extremo: si f' no cambia de signo (por ejemplo en x³ en x = 0), es un punto de inflexión con tangente horizontal, no un extremo.
Confundir el convenio de curvatura: con el criterio del currículo, f''>0 es convexa (∪) y f''<0 cóncava (∩); invertirlo cambia toda la lectura.
Declarar los intervalos de crecimiento sobre el eje de ordenadas («crece de −2 a 4»): la monotonía y la curvatura se declaran siempre sobre intervalos de x.
Dar por punto de inflexión todo punto con f″(x) = 0 sin comprobar el cambio de signo: en f(x) = x⁴ se cumple f″(0) = 0 y, sin embargo, no hay inflexión, porque f″ = 12x² nunca es negativa.

Repaso activo

Para la función f(x) = x³ − 3x, calcula f' y f'', estudia la monotonía y la curvatura, y clasifica todos sus puntos notables (extremos e inflexiones) con sus coordenadas.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Lectura de gráficas y representación con herramientas digitales#

~5 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas II · Sentido algebraico (representación con apoyo de herramientas digitales)

El currículo pide no solo dibujar una función a partir de su expresión, sino también el camino inverso: leer información de una gráfica dada (de f o incluso de su derivada f') y, recíprocamente, deducir rasgos de f' a partir de f. Esta «lectura inversa» demuestra comprensión profunda y aparece con frecuencia en la PAU. La Fig. 8 ilustra la traducción clave: los ceros de f' corresponden a los extremos de f, y el signo de f' indica si f crece o decrece.

Lectura inversa: de f a su derivada f'

Fig. 8 ↓

Las reglas de lectura f → f' son: donde f tiene un máximo o un mínimo relativo, f' vale cero (tangente horizontal); donde f crece, f' es positiva; donde f decrece, f' es negativa; donde f es convexa (∪), f' crece, y donde f es cóncava (∩), f' decrece; y en un punto de inflexión de f, f' alcanza un extremo (su pendiente cambia de tendencia). A la inversa, dada la gráfica de f', los ceros de f' (con cambio de signo) señalan los extremos de f, los intervalos con f'>0 son de crecimiento de f y los tramos donde f' crece son de convexidad de f.

De una gráfica también se leen propiedades que conectan con los temas anteriores: el dominio (dónde hay curva), la continuidad y los tipos de discontinuidad (saltos, huecos), las asíntotas (rectas a las que se arrima), los límites y límites laterales (a qué tiende la curva en los bordes) y la derivabilidad (la presencia de «picos» o tangentes verticales delata puntos no derivables). Saber extraer todo esto de un dibujo es una competencia comunicativa: traducir entre el lenguaje gráfico y el analítico.

Las herramientas digitales —GeoGebra, Desmos, calculadoras gráficas— son el apoyo natural para representar y explorar funciones: permiten conjeturar el comportamiento, comprobar asíntotas o visualizar a la vez f, f' y f''. Pero el currículo es claro: son un apoyo, no un sustituto del análisis. En la Selectividad el dibujo debe estar respaldado por los cálculos de límites y derivadas; la tecnología sirve para formular y verificar conjeturas, no para evitar razonar. La Fig. 9 esquematiza este flujo de trabajo: explorar con la herramienta, analizar a mano y comunicar el resultado justificado.

Flujo de trabajo con herramientas digitales

Fig. 9 ↓

Vocabulario

→ Tarjetas

Lectura inversaDeducir propiedades de f a partir de la gráfica de f′ (o al revés), sin disponer de la fórmula.
Tangente horizontalRecta tangente de pendiente cero; señala un punto con f′(x) = 0, es decir, un corte de f′ con el eje OX.
Punto angulosoPico de la gráfica: f es continua allí, pero las derivadas laterales difieren y f no es derivable.
DerivabilidadExistencia de la derivada en un punto; implica continuidad, pero la continuidad no la implica.
Ventana de representaciónRango de x e y que muestra la herramienta digital; mal elegida, oculta asíntotas y extremos.
ConjeturaHipótesis sugerida por la exploración gráfica; el currículo pide comprobarla después con el cálculo.

Ceros de f' ↔ extremos de f

f'(c)=0 \;\Leftrightarrow\; f \text{ tiene tangente horizontal en } c \;(\text{candidato a extremo})

Los puntos donde la gráfica de f' corta al eje X son los candidatos a máximo o mínimo de f.

Curvatura de f y monotonía de f'

f \text{ convexa} \;(\cup) \;\Leftrightarrow\; f' \text{ creciente} \;\Leftrightarrow\; f''>0

La convexidad de f equivale a que su derivada f' sea creciente.

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Ejemplo resuelto

Deducir f a partir de la gráfica de su derivada

Se sabe que la derivada de una función f es f'(x) = 3x² − 12. Sin más datos, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y clasifica sus extremos relativos, razonando como si solo dispusieras de la gráfica de f'.

Ceros de f'
f'(x) = 3x² − 12 = 3(x² − 4) = 0 ⇒ x = −2 y x = 2: ahí f tendrá tangente horizontal.
Signo de f'
Como f' es una parábola abierta hacia arriba, es positiva fuera de [−2, 2] y negativa dentro: f'>0 en (−∞,−2)∪(2,+∞), f'<0 en (−2,2).
Monotonía de f
f crece donde f'>0 y decrece donde f'<0.
Clasificación de extremos
En x=−2, f' pasa de + a − ⇒ máximo relativo. En x=2, f' pasa de − a + ⇒ mínimo relativo.

Resultado: Sin conocer f, leyendo solo su derivada: f crece en (−∞,−2) y (2,+∞), decrece en (−2,2), con máximo relativo en x = −2 y mínimo relativo en x = 2.

Objetivo Selectividad

Es habitual un apartado de «lectura de gráfica»: a partir del dibujo de f o de f' se pide deducir dominio, continuidad, asíntotas, derivabilidad, intervalos de crecimiento o la situación de los extremos, sin disponer de la fórmula.
Aunque las herramientas digitales no se evalúan directamente en el examen escrito, sí se evalúa la comprensión que aportan: relacionar correctamente f con f' y justificar gráficamente cada conclusión es lo que puntúa.
En un enunciado de lectura de gráfica, responde con el vocabulario del análisis —dominio, continuidad, límites laterales, derivabilidad, monotonía—: cada término correctamente nombrado es un punto del criterio de corrección.
Un pico (tangentes distintas por cada lado) o una tangente vertical señalan un punto continuo pero NO derivable: nómbralo, porque es el detalle que la mayoría pasa por alto.

Errores frecuentes

Confundir la gráfica de f con la de f': por ejemplo, leer los cortes de f' con el eje OX como si fueran los ceros de f, cuando en realidad señalan los extremos de f.
Fiarse del dibujo de la herramienta digital sin verificar: un mal ajuste de la ventana puede ocultar asíntotas o extremos, y en el examen el esbozo debe estar justificado con cálculos.
Deducir el valor de f a partir de la gráfica de f′: f′ determina la FORMA de f, pero no su altura; sin un dato adicional, f queda indeterminada salvo una constante.
Aceptar el dibujo de GeoGebra o Desmos tal como sale: con una ventana mal elegida, una asíntota o un extremo quedan fuera de la pantalla y el esbozo entregado será incompleto.

Repaso activo

Se da la gráfica de la derivada f' de una función f, que es una parábola con ceros en x = −2 y x = 2 y abierta hacia arriba. Sin conocer la fórmula de f, deduce los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y clasifica sus extremos relativos.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob) · Red Educativa Digital Descartes — materiales interactivos de Matemáticas (Red Educativa Digital Descartes (asociación sin ánimo de lucro))

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

Planificar un repaso

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

OpenStax — Rice University

Cálculo volumen 1 — manual universitario abierto (aplicaciones de la derivada)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Red Educativa Digital Descartes (asociación sin ánimo de lucro)

Red Educativa Digital Descartes — materiales interactivos de Matemáticas

Véase también

Representación de funciones

5 secciones~27 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

Representación de funciones

Puntos clave

Plantear el estudio de una función polinómica

Puntos clave

Dominio, simetría y cortes de una función racional

Puntos clave

Estudio completo de las asíntotas de una racional

Puntos clave

Monotonía, extremos y curvatura de un polinomio

Puntos clave

Deducir f a partir de la gráfica de su derivada

Fuentes

Representación de funciones

Puntos clave

Plantear el estudio de una función polinómica

Puntos clave

Dominio, simetría y cortes de una función racional

Puntos clave

Estudio completo de las asíntotas de una racional

Puntos clave

Monotonía, extremos y curvatura de un polinomio

Puntos clave

Deducir f a partir de la gráfica de su derivada

Fuentes