ES · Selectividad

Campo gravitatorio

El campo gravitatorio es el primer campo de fuerzas que se estudia en 2.º de Bachillerato y la plantilla conceptual sobre la que se construirá después el campo eléctrico. En este apunte se determina, mediante cálculo vectorial, la intensidad del campo y el potencial creados por una o varias masas (principio de superposición), se analiza su carácter conservativo y central, y se aplica la conservación del momento angular y el signo de la energía mecánica para deducir el tipo de movimiento. Es un contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad/PAU.

5 secciones~31 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

T·0111 / 11

Perfil de examen

CE1 · Utilizar las teorías, principios y leyes que rigen los procesos físicos en la resolución de problemas del campo gravitatorio por métodos analíticos, reconociendo la física como ciencia relevante (RD 243/2022, criterio de evaluación 1.2).CE2 · Adoptar los modelos, teorías y leyes aceptados de la física —campo, potencial, energía— como base para estudiar un sistema de masas y predecir la evolución de los objetos inmersos en él (RD 243/2022, criterio de evaluación 2.1).CE3 · Utilizar el lenguaje matemático de la física —magnitudes vectoriales, unidades del SI y ecuaciones— con rigor y coherencia dimensional al describir el campo gravitatorio (RD 243/2022, criterios de evaluación 3.1, 3.2, 3.3).

Operadores:analizacalculadeducedemuestrajustificainterpretarelacionarepresentarazona

nivel básico

Como Física es materia de modalidad, todo el contenido es exigible al alumnado que la cursa; domina con seguridad g = G·M/r², V = −G·M/r y el principio de superposición vectorial y escalar.

nivel avanzado

Para la fase de admisión (voluntaria), profundiza en la conservación del momento angular en campos centrales y en el uso del signo de la energía mecánica para clasificar la trayectoria como ligada o libre.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Campo gravitatorio

5 secciones20 puntos clave17 fórmulas20 errores típicos

Intensidad del campo gravitatorio y principio de superposición#

La ley de gravitación universal de Newton (Principia, 1687) afirma que dos masas puntuales m₁ y m₂ separadas una distancia r se atraen con una fuerza dirigida a lo largo de la recta que las une, de módulo F = G·m₁·m₂/r², donde G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² es la constante de gravitación universal, medida experimentalmente por Henry Cavendish en 1798. Para describir esta interacción sin tener que mencionar siempre la segunda masa, se introduce el concepto de campo: una masa M perturba el espacio que la rodea de modo que cualquier otra masa colocada en él «siente» una fuerza.

La intensidad del campo gravitatorio g en un punto se define como la fuerza por unidad de masa que experimentaría una masa testigo m colocada en él: g = F/m. Para una masa puntual M que crea el campo, su módulo vale g = G·M/r² y su dirección es radial, siempre apuntando hacia la masa M (el campo es atractivo). En forma vectorial, g = −(G·M/r²)·u_r, donde u_r es el vector unitario que va de M al punto considerado y el signo menos indica que g apunta en sentido contrario, hacia la masa. Su unidad en el SI es N·kg⁻¹, dimensionalmente idéntica a m·s⁻², por lo que g coincide numéricamente con la aceleración que adquiere un cuerpo en caída libre.

El principio de superposición es la herramienta central de este bloque: el campo creado por un sistema de varias masas en un punto es la suma VECTORIAL de los campos que cada masa crearía por separado en ese punto, g = g₁ + g₂ + … + g_n. Como g es un vector, la suma no es algebraica salvo que los campos sean colineales; en general hay que descomponer cada g_i en componentes cartesianas, sumar componente a componente y recomponer el módulo y la dirección de la resultante (Fig. 1). Este principio es lo que permite tratar problemas con dos o más masas y es uno de los criterios más evaluados de la PAU.

Principio de superposición: campo resultante de dos masas en un punto

Fig. 1 ↓

Una propiedad importante que conviene fijar desde el principio es que la intensidad del campo de una masa puntual decae con el cuadrado de la distancia (ley del inverso del cuadrado): si la distancia se duplica, el campo se reduce a la cuarta parte; si se triplica, a la novena parte. Por eso, sobre la superficie de la Tierra g₀ ≈ 9,8 N·kg⁻¹, pero a una altura h sobre la superficie su valor es g = G·M/(R+h)², menor cuanto mayor sea h. Conviene no confundir g₀ (valor en la superficie) con el valor a una altura cualquiera (repaso de 1.º: caída libre con g constante solo es válida para alturas pequeñas frente a R).

Vocabulario

→ Tarjetas

Campo gravitatorioPerturbación que una masa produce en el espacio que la rodea y que se manifiesta como una fuerza atractiva sobre cualquier otra masa situada en él.
Intensidad del campo (g)Fuerza por unidad de masa en un punto, g = F/m. Se mide en N/kg, unidad numéricamente igual a m/s².
Masa de pruebaMasa auxiliar, lo bastante pequeña como para no alterar el campo, con la que se define la intensidad en un punto.
Principio de superposiciónEl campo creado por varias masas en un punto es la suma VECTORIAL de los campos que crearía cada una por separado.
Vector unitario radial (u_r)Vector de módulo 1 dirigido desde la masa creadora hacia el punto; el signo menos de g = −(G·M/r²)·u_r expresa que el campo apunta en sentido contrario.
Punto de campo nuloPunto en el que los campos de dos masas se cancelan; sobre el segmento que las une queda siempre más cerca de la masa menor.

Ley de gravitacion universal

\vec{F} = G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,(-\vec{u}_r)

Fuerza atractiva entre dos masas puntuales; G = 6.674 \times 10^{-11}~N\cdot m^2\cdot kg^{-2}.

Intensidad del campo gravitatorio

\vec{g} = \dfrac{\vec{F}}{m} = -\,G\,\dfrac{M}{r^2}\,\vec{u}_r

Fuerza por unidad de masa creada por una masa M; se mide en N\cdot kg^{-1}. El signo menos indica que es atractiva (radial hacia M).

Principio de superposicion

\vec{g}_{\text{total}} = \sum_{i=1}^{n} \vec{g}_i

El campo de un sistema de masas es la suma VECTORIAL de los campos individuales en el punto.

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Ejemplo resuelto

Campo resultante en el vértice de un triángulo

Dos masas iguales M = 2,0·10⁴ kg están situadas en los puntos A(−2,0) m y B(2,0) m. Calcula el módulo y la dirección de la intensidad del campo gravitatorio resultante en el punto P(0, 3) m. (G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻².)

Distancias de cada masa a P
Por simetría, ambas masas distan lo mismo de P: r = √(2² + 3²) = √13 m ≈ 3,606 m, de modo que r² = 13 m².
Módulo del campo de cada masa
Cada masa crea en P un campo de módulo g₁ = g₂ = G·M/r² = 6,674·10⁻¹¹ · 2,0·10⁴ / 13 = 1,027·10⁻⁷ N·kg⁻¹.
Componentes y simetría
Cada g_i apunta de P hacia su masa. Las componentes horizontales (x) son iguales y opuestas, por lo que se cancelan; solo sobreviven las componentes verticales, ambas dirigidas hacia abajo (−y). El ángulo θ con la vertical cumple cos θ = 3/√13.
Suma de las componentes verticales
g = 2·g₁·cos θ = 2 · 1,027·10⁻⁷ · 0,832 = 1,71·10⁻⁷ N·kg⁻¹, dirigida verticalmente hacia abajo (hacia el punto medio del segmento AB).

Resultado: g ≈ 1,7·10⁻⁷ N·kg⁻¹, dirigido verticalmente hacia abajo (en el sentido −y, hacia el punto medio de AB).

Objetivo Selectividad

Calcular el vector campo gravitatorio resultante en un punto creado por dos o más masas puntuales, descomponiendo en componentes y dando módulo y dirección.
Determinar el valor de g a una altura h sobre la superficie de un planeta y relacionarlo con g₀ mediante la ley del inverso del cuadrado.
DESCOMPÓN antes de sumar: escribe cada g_i con su módulo y su dirección, pasa a componentes (g_x, g_y), suma las componentes y solo entonces halla el módulo con Pitágoras y el ángulo con la arcotangente. Las componentes y el resultado se puntúan por separado.
El punto de campo nulo entre dos masas sale de G·M₁/x² = G·M₂/(d − x)²: la constante G se cancela, queda una ecuación de segundo grado y solo una de sus raíces cae dentro del segmento. Cierra el apartado justificando que ese punto está más cerca de la masa menor.

Errores frecuentes

Sumar las intensidades de campo de varias masas como escalares (sumando módulos) en lugar de sumar vectorialmente, ignorando las direcciones de cada g_i.
Usar la distancia desde la superficie (la altura h) en vez de la distancia r = R + h al centro de la masa al aplicar g = G·M/r².
Dar g en newtons. La intensidad del campo es fuerza POR UNIDAD DE MASA: sus unidades son N/kg, numéricamente iguales a m/s². Un resultado en newtons delata que en algún paso se ha multiplicado por la masa de prueba.
Dibujar g saliendo de la masa que lo crea, por analogía con la carga positiva. El campo gravitatorio solo es atractivo: g apunta siempre HACIA la masa creadora, y por eso se escribe g = −(G·M/r²)·u_r con u_r saliente.

Repaso activo

Dos masas puntuales, M₁ = 4,0·10³ kg y M₂ = 9,0·10³ kg, están separadas 5,0 m. Determina en qué punto del segmento que las une la intensidad del campo gravitatorio resultante es nula. Justifica por qué dicho punto está más cerca de la masa menor.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Potencial, energía potencial y trabajo en el campo gravitatorio#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Energía mecánica de un objeto sometido a un campo gravitatorio: deducción del tipo de movimiento que posee, cálculo del trabajo o los balances energéticos existentes en desplazamientos entre distintas posiciones, velocidades y tipos de trayectorias.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Determinación, a través del cálculo vectorial, del campo gravitatorio producido por un sistema de masas. Efectos sobre las variables cinemáticas y dinámicas de objetos inmersos en el campo.»

Potencial gravitatorio V(r) de una masa puntual: el pozo de potencial

Junto a la descripción vectorial mediante g, el campo gravitatorio admite una descripción ENERGÉTICA, escalar y a menudo más cómoda. Se define el potencial gravitatorio V en un punto como la energía potencial por unidad de masa que tendría allí una masa testigo: V = Ep/m. Para una masa puntual M, tomando el origen de energías en el infinito (V → 0 cuando r → ∞), el potencial vale V = −G·M/r y la energía potencial de una masa m en ese punto es Ep = −G·M·m/r. Ambas magnitudes son NEGATIVAS porque la fuerza es atractiva: hay que aportar energía para alejar las masas hasta el infinito.

El potencial es un escalar, lo que simplifica los problemas con varias masas: por el principio de superposición, el potencial creado por un sistema de masas en un punto es la SUMA ALGEBRAICA (con su signo) de los potenciales que crea cada masa, V = ΣVᵢ = −G·Σ(Mᵢ/rᵢ). A diferencia de la intensidad de campo, aquí no hay que descomponer en componentes ni preocuparse de direcciones: basta sumar números con signo. La gráfica de V(r) es una hipérbola que parte de −∞ junto a la masa y tiende asintóticamente a cero al alejarse.

El trabajo que realiza la FUERZA del campo cuando una masa m se desplaza del punto A al punto B es igual a la variación de energía potencial cambiada de signo: W_campo = −ΔEp = Ep(A) − Ep(B) = m·(V_A − V_B). Equivalentemente, W_campo = −m·ΔV. Si el cuerpo «cae» hacia la masa (se acerca), el campo realiza trabajo positivo y la Ep disminuye; si se aleja, el campo realiza trabajo negativo. El trabajo que debe aportar un agente externo para mover la masa cuasiestáticamente es el opuesto: W_ext = +ΔEp.

Relacionar correctamente las magnitudes vectoriales (F, g) con las escalares (Ep, V) y los signos del trabajo es uno de los objetivos más recurrentes de la PAU. Conviene recordar la cadena de definiciones: F = m·g (vector), Ep = m·V (escalar), y el campo deriva del potencial (g apunta hacia potenciales decrecientes). Como referencia, el potencial gravitatorio terrestre en la superficie vale aproximadamente V₀ = −G·M/R ≈ −6,26·10⁷ J·kg⁻¹, un número grande y negativo que mide la «profundidad» del pozo de potencial de la Tierra.

Vocabulario

→ Tarjetas

Potencial gravitatorio (V)Energía potencial por unidad de masa en un punto: V = −G·M/r, medida en J/kg.
Energía potencial gravitatoriaEnergía asociada a la posición de una masa m dentro del campo: E_p = m·V = −G·M·m/r.
Origen de potencialesPunto al que se asigna V = 0. En el campo gravitatorio se toma el infinito, y esa elección es la que hace negativo el potencial.
Trabajo del campoW = −ΔE_p: positivo cuando la masa se acerca al cuerpo atractor y negativo cuando se aleja de él.
Diferencia de potencialV_A − V_B. Multiplicada por la masa da directamente el trabajo que realiza el campo entre A y B.

Potencial gravitatorio de una masa puntual

V = -\,G\,\dfrac{M}{r}

Energia potencial por unidad de masa, con origen en el infinito; se mide en J\cdot kg^{-1} y es negativo.

Energia potencial gravitatoria

E_p = m\,V = -\,G\,\dfrac{M\,m}{r}

Energia de una masa m en el campo de M; negativa (estado ligado).

Trabajo de la fuerza gravitatoria

W_{\text{campo}} = -\Delta E_p = m\,(V_A - V_B)

El trabajo del campo es la energia potencial perdida; W_{ext} = +\Delta E_p es el que aporta un agente externo.

Ejemplo resuelto

Potencial y trabajo entre dos masas

Dos masas, M₁ = 6,0·10²⁴ kg y M₂ = 3,0·10²⁴ kg, están separadas 1,0·10⁸ m. Una masa testigo m = 1,0·10³ kg se traslada desde el punto medio del segmento (punto A) hasta un punto B situado a 8,0·10⁷ m de M₁ y 2,0·10⁷ m de M₂. Calcula el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria. (G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻².)

Potencial en A (punto medio)
En A cada masa dista 5,0·10⁷ m. V_A = −G·(M₁/r₁ + M₂/r₂) = −6,674·10⁻¹¹·(6,0·10²⁴ + 3,0·10²⁴)/5,0·10⁷ = −6,674·10⁻¹¹·(9,0·10²⁴/5,0·10⁷).
Valor de V_A
V_A = −6,674·10⁻¹¹ · 1,80·10¹⁷ = −1,201·10⁷ J·kg⁻¹.
Potencial en B
En B: r₁ = 8,0·10⁷ m, r₂ = 2,0·10⁷ m. V_B = −G·(6,0·10²⁴/8,0·10⁷ + 3,0·10²⁴/2,0·10⁷) = −6,674·10⁻¹¹·(7,5·10¹⁶ + 1,5·10¹⁷) = −6,674·10⁻¹¹·2,25·10¹⁷.
Trabajo del campo
W = m·(V_A − V_B) = 1,0·10³·(−1,201·10⁷ − (−1,502·10⁷)) = 1,0·10³·(3,01·10⁶) = 3,0·10⁹ J. Es positivo: la masa se mueve hacia regiones de menor potencial, el campo realiza trabajo a su favor.

Resultado: W ≈ +3,0·10⁹ J. El trabajo de la fuerza gravitatoria es positivo porque el cuerpo pasa de un potencial mayor (A) a uno menor (B).

Objetivo Selectividad

Calcular el potencial gravitatorio en un punto creado por varias masas mediante suma escalar y deducir el trabajo W = m·(V_A − V_B) al desplazar una masa entre dos puntos.
Interpretar correctamente el signo del trabajo del campo y de la variación de energía potencial según el cuerpo se acerque o se aleje de la masa que crea el campo.
Escribe entera la cadena W_campo = −ΔE_p = E_p(A) − E_p(B) = m·(V_A − V_B). Casi todos los errores de signo del tema desaparecen si no se salta ningún eslabón, y cada eslabón se puntúa.
Distingue SIEMPRE de qué trabajo hablas. Para alejar una masa hasta el infinito, el trabajo exterior mínimo es W_ext = ΔE_p = 0 − (−G·M·m/r) = +G·M·m/r; el trabajo del CAMPO en ese mismo desplazamiento es el opuesto y sale negativo.

Errores frecuentes

Olvidar el signo negativo de V = −G·M/r y de Ep = −G·M·m/r, escribiendo valores positivos para un campo que es atractivo.
Confundir potencial V (energía por unidad de masa, J·kg⁻¹) con energía potencial Ep (en julios) o tratar el potencial como un vector y «descomponerlo» en componentes.
Olvidar el signo menos y escribir V = +G·M/r. El potencial gravitatorio es NEGATIVO en todo punto finito, V = −G·M/r, y solo vale cero en el infinito; el signo equivocado arrastra el error a la energía y al trabajo.
Usar E_p = m·g·h con alturas grandes. Esa expresión solo vale cerca de la superficie, donde g es prácticamente constante; para subir un satélite hay que emplear E_p = −G·M·m/r, de donde ΔE_p = G·M·m·(1/R − 1/r).

Repaso activo

Una masa de 50 kg se eleva desde la superficie de la Tierra (R = 6,37·10⁶ m) hasta una altura h = R sobre ella. Calcula la variación de su energía potencial gravitatoria y el trabajo que debe realizar un agente externo. (M_T = 5,97·10²⁴ kg, G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻².)

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Carácter conservativo y central; líneas de campo y superficies equipotenciales#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Determinación, a través del cálculo vectorial, del campo gravitatorio producido por un sistema de masas. Efectos sobre las variables cinemáticas y dinámicas de objetos inmersos en el campo.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Energía mecánica de un objeto sometido a un campo gravitatorio: deducción del tipo de movimiento que posee, cálculo del trabajo o los balances energéticos existentes en desplazamientos entre distintas posiciones, velocidades y tipos de trayectorias.»

Líneas de campo radiales y superficies equipotenciales esféricas de una masa puntual

El campo gravitatorio es un campo CONSERVATIVO: el trabajo que realiza la fuerza para llevar una masa de un punto a otro no depende del camino seguido, sino solo de las posiciones inicial y final. Una consecuencia inmediata y muy preguntada es que el trabajo a lo largo de cualquier trayectoria CERRADA es nulo (W = 0 en un circuito cerrado). Esta propiedad es precisamente lo que permite definir una energía potencial Ep y un potencial V: solo los campos conservativos admiten función potencial. Es también, junto con la dirección radial de g, una de las razones por las que la energía mecánica se conserva en ausencia de rozamiento.

El campo gravitatorio de una masa puntual es además un campo CENTRAL: la fuerza está siempre dirigida hacia un punto fijo (la masa que crea el campo) y su módulo depende solo de la distancia a ese centro, F = F(r)·u_r. Esta propiedad tiene consecuencias dinámicas profundas que se desarrollan en el siguiente apartado (conservación del momento angular). Conviene no confundir «conservativo» (relativo a la energía, el trabajo no depende del camino) con «central» (relativo a la geometría de la fuerza, siempre hacia un punto): el campo gravitatorio es ambas cosas, pero son propiedades distintas.

La representación gráfica del campo se hace con LÍNEAS DE CAMPO: líneas tangentes en cada punto al vector g, cuya densidad indica la intensidad del campo. Para una masa puntual son rectas radiales que entran hacia la masa (el campo es atractivo, por eso «entran» en lugar de «salir»). Donde las líneas se juntan (cerca de la masa) el campo es más intenso; donde se separan (lejos) es más débil. Las líneas de campo nunca se cruzan, porque en cada punto el campo tiene una única dirección.

Perpendiculares a las líneas de campo están las SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES: lugares geométricos de los puntos que tienen el mismo potencial V. Para una masa puntual son esferas concéntricas centradas en la masa. Dos propiedades clave para la PAU: (1) el trabajo para mover una masa a lo largo de una superficie equipotencial es NULO, porque V no cambia (W = m·ΔV = 0); y (2) las líneas de campo son siempre perpendiculares a las equipotenciales y apuntan hacia las de menor potencial (el campo «cae» hacia el pozo). El espaciado de las equipotenciales también informa: están más juntas donde el campo es más intenso.

Vocabulario

→ Tarjetas

Campo conservativoCampo en el que el trabajo entre dos puntos no depende del camino seguido y es nulo en toda trayectoria cerrada.
Fuerza centralFuerza cuya dirección pasa siempre por un punto fijo y cuyo módulo depende solo de la distancia a él.
Línea de campoCurva tangente en cada punto al vector g; su densidad de trazos representa la intensidad del campo.
Superficie equipotencialLugar geométrico de los puntos con el mismo potencial; en una masa puntual son esferas concéntricas.
Circulación del campoTrabajo por unidad de masa a lo largo de una línea; en un campo conservativo, nula si la línea es cerrada.

Carácter conservativo

\oint \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0

El trabajo de la fuerza gravitatoria a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo.

Trabajo independiente del camino

W_{A\to B} = -\Delta E_p \quad (\text{independiente del camino})

Solo depende de los puntos inicial y final, no de la trayectoria seguida.

Trabajo sobre una equipotencial

V = \text{cte} \;\Rightarrow\; W = m\,\Delta V = 0

Sobre una superficie equipotencial el potencial no cambia, asi que el campo no realiza trabajo.

Ejemplo resuelto

Trabajo en una trayectoria cerrada y sobre una equipotencial

Una masa m = 10 kg se mueve en el campo gravitatorio terrestre. (a) Recorre una trayectoria cerrada cualquiera y vuelve al punto de partida. (b) Se desplaza desde un punto A hasta un punto B situado a la misma distancia del centro de la Tierra. Calcula el trabajo de la fuerza gravitatoria en cada caso, justificando el resultado.

Caso (a): trayectoria cerrada
Como el campo es conservativo, el trabajo en cualquier trayectoria cerrada es nulo: los puntos inicial y final coinciden, luego ΔEp = 0.
Caso (b): misma distancia al centro
A y B están a la misma r, luego pertenecen a la misma superficie equipotencial: V_A = V_B. El trabajo solo depende de los potenciales inicial y final.
Trabajo en el caso (b)
W = m·(V_A − V_B) = m·0 = 0. Aunque el camino tenga cualquier forma, al no variar el potencial el campo no realiza trabajo neto.

Resultado: En ambos casos W = 0 J: en (a) por ser una trayectoria cerrada en un campo conservativo, en (b) por desplazarse entre dos puntos de la misma superficie equipotencial.

Objetivo Selectividad

Justificar que el trabajo del campo gravitatorio a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo y relacionarlo con el carácter conservativo y la existencia de energía potencial.
Razonar que el trabajo para desplazar una masa entre dos puntos de la misma superficie equipotencial es cero y dibujar líneas de campo y equipotenciales de una masa puntual.
JUSTIFICA que el campo es conservativo por el argumento de la trayectoria cerrada: si el trabajo dependiese del camino, existirían ida y vuelta con trabajo neto no nulo y se crearía energía de la nada. El trabajo a lo largo de una línea cerrada vale cero.
El trabajo sobre una superficie equipotencial es siempre nulo, porque V_A = V_B y W = m·(V_A − V_B) = 0. De ahí se DEDUCE que g es perpendicular a la equipotencial: una componente tangencial haría trabajo.

Errores frecuentes

Dibujar las líneas de campo gravitatorio SALIENDO de la masa (como en un campo eléctrico de carga positiva); en gravitación siempre ENTRAN hacia la masa, porque el campo es atractivo.
Afirmar que el trabajo sobre una equipotencial es nulo porque la fuerza es nula; en realidad la fuerza no es nula, pero es perpendicular al desplazamiento (o ΔV = 0), de modo que el trabajo se anula.
Confundir línea de campo con trayectoria. La línea de campo da la dirección de g en cada punto, y solo coincide con la trayectoria si el cuerpo parte del reposo: un satélite en órbita circular se mueve perpendicularmente a las líneas de campo.
Dibujar las superficies equipotenciales de una masa puntual igualmente espaciadas. Como V = −G·M/r, para saltos iguales de potencial las superficies se separan cada vez más al alejarse; están apretadas justo donde el campo es intenso.

Repaso activo

Una masa puntual de 200 kg se desplaza describiendo un cuarto de circunferencia centrado en la Tierra, manteniendo constante su distancia al centro terrestre, y a continuación regresa al punto de partida por el camino inverso. Razona, sin hacer cálculos numéricos, cuánto vale el trabajo total realizado por la fuerza gravitatoria y por qué.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Momento angular en campos centrales y su conservación#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Momento angular de un objeto en un campo gravitatorio: cálculo, relación con las fuerzas centrales y aplicación de su conservación en el estudio de su movimiento.»

Ley de las áreas: el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales

El momento angular L de una partícula de masa m respecto a un punto O se define como el producto vectorial de su vector de posición r (desde O) por su momento lineal p = m·v: L = r × p = m·(r × v). Su módulo vale L = m·v·r·sen φ, donde φ es el ángulo entre r y v; su dirección es perpendicular al plano formado por r y v, dada por la regla de la mano derecha. Su unidad en el SI es kg·m²·s⁻¹. El momento angular mide la «cantidad de giro» del cuerpo en torno al punto O.

La variación temporal del momento angular es igual al momento de la fuerza (par o torque) respecto al mismo punto: dL/dt = M = r × F. Esta es la ecuación fundamental de la dinámica de rotación. De ella se deduce el teorema de conservación: si el momento de la fuerza es nulo, el momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido.

En un campo gravitatorio creado por una masa puntual, la fuerza es CENTRAL: siempre apunta hacia el centro O (la masa que crea el campo), es decir, F es paralela (antiparalela) a r. Por tanto su momento respecto a ese centro es nulo, M = r × F = 0, ya que el producto vectorial de dos vectores paralelos es cero. La consecuencia es de enorme importancia: en todo campo central el momento angular del objeto que se mueve en él SE CONSERVA. Por eso los planetas y satélites mantienen L constante a lo largo de toda su órbita.

La conservación de L tiene dos consecuencias geométricas que conviene saber justificar. Primera: como L es constante y perpendicular al plano de r y v, el movimiento es PLANO (la órbita está contenida en un plano fijo). Segunda: la conservación de L equivale a la ley de las áreas (segunda ley de Kepler) —la velocidad areolar dA/dt = L/(2m) es constante—, de modo que el cuerpo barre áreas iguales en tiempos iguales: va más rápido cuando está cerca de la masa (perihelio/perigeo) y más despacio cuando está lejos (afelio/apogeo). Esto permite relacionar las velocidades en dos puntos de la órbita mediante m·v₁·r₁ = m·v₂·r₂ cuando v es perpendicular a r (puntos de máximo acercamiento y alejamiento).

Vocabulario

→ Tarjetas

Momento angular (L)Magnitud vectorial L = r × m·v; su módulo es m·v·r·sen θ y su dirección es perpendicular al plano que forman r y v.
Momento de una fuerzaM = r × F. Mide la capacidad de la fuerza para hacer girar el cuerpo respecto del punto elegido.
Velocidad areolarÁrea barrida por el radiovector en la unidad de tiempo; vale L/(2m) y es constante en todo campo central.
Perihelio y afelioPuntos de la órbita más cercano y más lejano al Sol; en ellos r y v son perpendiculares y L = m·v·r.
Plano orbitalPlano perpendicular a L que contiene la trayectoria; que L sea constante es lo que impide al cuerpo salirse de él.

Momento angular

\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m\,(\vec{r} \times \vec{v})

Producto vectorial de la posicion por el momento lineal; |\vec{L}| = m\,v\,r\sin\varphi, en kg\cdot m^2\cdot s^{-1}.

Ecuacion fundamental de la rotacion

\dfrac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}

La variacion del momento angular es igual al momento (par) de la fuerza respecto al mismo punto.

Conservacion en un campo central

\vec{F}\parallel\vec{r} \;\Rightarrow\; \vec{M}=\vec{0} \;\Rightarrow\; \vec{L}=\text{cte}

Como la fuerza gravitatoria es central, su momento es nulo y el momento angular se conserva.

Ley de las areas (perigeo-apogeo)

m\,v_p\,r_p = m\,v_a\,r_a

En los puntos donde v es perpendicular a r, la conservacion de L relaciona velocidades y distancias.

Ejemplo resuelto

Velocidades en perigeo y apogeo de un satélite

Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra. En el perigeo se encuentra a r_p = 7,0·10⁶ m del centro terrestre con una velocidad v_p = 9,0·10³ m·s⁻¹. En el apogeo está a r_a = 2,1·10⁷ m del centro. Calcula la velocidad del satélite en el apogeo y comprueba en qué punto se mueve más deprisa.

Identificar la magnitud conservada
La fuerza gravitatoria es central, luego el momento angular del satélite se conserva. En el perigeo y el apogeo la velocidad es perpendicular al radio vector (sen φ = 1).
Despejar v_a
Simplificando la masa m: v_a = v_p·r_p/r_a.
Sustituir valores
v_a = 9,0·10³ · (7,0·10⁶ / 2,1·10⁷) = 9,0·10³ · (1/3) = 3,0·10³ m·s⁻¹.
Comparar
v_p = 9,0·10³ m·s⁻¹ > v_a = 3,0·10³ m·s⁻¹: el satélite se mueve tres veces más rápido en el perigeo que en el apogeo, coherente con la ley de las áreas.

Resultado: v_a = 3,0·10³ m·s⁻¹. El satélite es más rápido en el perigeo (punto más cercano), como exige la conservación del momento angular.

Objetivo Selectividad

Calcular el módulo del momento angular L = m·v·r·sen φ y justificar que se conserva en un campo central porque el momento de la fuerza es nulo.
Aplicar la conservación del momento angular para relacionar las velocidades de un cuerpo en el perigeo y el apogeo de su órbita (m·v_p·r_p = m·v_a·r_a).
DEMUESTRA la conservación en dos líneas: dL/dt = M = r × F y, en un campo central, F es paralela a r, luego el producto vectorial se anula y L permanece constante. Esa demostración se pide con esas palabras y vale la puntuación completa del apartado.
De L constante se siguen tres consecuencias que conviene enunciar juntas: la trayectoria es PLANA, la velocidad areolar es constante (segunda ley de Kepler) y en una elipse se cumple r_p·v_p = r_a·v_a entre perihelio y afelio.

Errores frecuentes

Aplicar L = m·v·r olvidando el factor sen φ cuando r y v no son perpendiculares (solo en los puntos de máximo acercamiento y alejamiento de la órbita φ = 90° y sen φ = 1).
Creer que la velocidad de un satélite es constante en una órbita elíptica; lo que se conserva es L (y la energía), no el módulo de v, que es máximo en el perigeo y mínimo en el apogeo.
Escribir L = m·v·r sin más. El módulo es L = m·v·r·sen θ, con θ el ángulo entre r y v; solo en una órbita circular —o en el perihelio y el afelio de una elipse— es θ = 90° y la expresión se simplifica.
Afirmar que L se conserva «porque no hay fuerzas». Fuerza hay, y grande: lo que se anula es su MOMENTO respecto del centro, porque la fuerza es paralela al vector de posición.

Repaso activo

Un cometa describe una órbita muy elíptica alrededor del Sol. En el perihelio se encuentra a 8,0·10¹⁰ m del Sol y se mueve a 5,4·10⁴ m·s⁻¹. En el afelio está a 5,2·10¹² m del Sol. Calcula su velocidad en el afelio aplicando la conservación del momento angular, y razona en qué punto es mayor su rapidez.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Energía mecánica y deducción del tipo de movimiento#

~7 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Energía mecánica de un objeto sometido a un campo gravitatorio: deducción del tipo de movimiento que posee, cálculo del trabajo o los balances energéticos existentes en desplazamientos entre distintas posiciones, velocidades y tipos de trayectorias.»

Energía mecánica y tipo de trayectoria según su signo

La energía mecánica total de un objeto de masa m que se mueve en el campo gravitatorio de una masa M es la suma de su energía cinética y su energía potencial: E = Ec + Ep = ½·m·v² − G·M·m/r. Como el campo es conservativo, en ausencia de fuerzas no conservativas (rozamiento, propulsión) la energía mecánica TOTAL se conserva a lo largo de todo el movimiento: E = constante. El balance Ec + Ep = cte es la herramienta básica para resolver casi cualquier problema energético del bloque.

El SIGNO de la energía mecánica total determina el tipo de trayectoria, lo que constituye el resultado central de este apartado. Si E < 0, el objeto está LIGADO al campo: no tiene energía suficiente para escapar al infinito y su trayectoria es cerrada (una elipse, o una circunferencia como caso particular si E = −G·M·m/2r). Si E = 0, el objeto está en el caso LÍMITE: llegaría al infinito con velocidad nula, describiendo una trayectoria parabólica; la velocidad mínima para ello, lanzada desde la superficie, es la velocidad de escape. Si E > 0, el objeto es LIBRE: tiene energía de sobra para escapar y alejarse indefinidamente con velocidad no nula en el infinito, siguiendo una trayectoria hiperbólica.

La condición E = 0 conduce a la velocidad de escape: igualando ½·m·v_e² = G·M·m/R se obtiene v_e = √(2·G·M/R). Es independiente de la masa del objeto lanzado y, comparada con la velocidad orbital circular v_orb = √(G·M/r), cumple v_e = √2·v_orb (en la misma distancia). Para la Tierra, v_e ≈ 1,12·10⁴ m·s⁻¹ ≈ 11,2 km·s⁻¹. La energía de una órbita circular es E = −G·M·m/2r, exactamente la mitad de la energía potencial y de signo negativo, lo que confirma que toda órbita circular es un estado ligado.

En los problemas de balance energético hay que recordar tres ideas. Primera: la energía necesaria para poner un cuerpo en órbita (energía de satelización) es la diferencia entre la energía de la órbita y la energía en la superficie, ΔE = E_órbita − E_superficie. Segunda: cualquier fuerza no conservativa (motores, rozamiento atmosférico) modifica E según W_no conservativo = ΔE. Tercera: para «escapar» basta con E ≥ 0; si se aporta más energía, el cuerpo conserva velocidad en el infinito, v_∞ = √(v² − v_e²).

Vocabulario

→ Tarjetas

Energía mecánica (E)Suma E_c + E_p. En el campo gravitatorio es constante, y su signo determina el tipo de trayectoria.
Estado ligadoSituación con E < 0: el cuerpo no puede alcanzar el infinito y describe una órbita cerrada.
Punto de retornoDistancia a la que se agota la energía cinética en un lanzamiento radial; se obtiene igualando E = E_p(r).
ExcentricidadNúmero que mide el achatamiento de la cónica: 0 en la circunferencia, entre 0 y 1 en la elipse, 1 en la parábola y mayor que 1 en la hipérbola.
Velocidad residualVelocidad con la que un cuerpo de E > 0 llega al infinito: v_∞ = √(2E/m).

Energia mecanica total

E = E_c + E_p = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 - G\,\dfrac{M\,m}{r}

Suma de cinetica y potencial; se conserva si no actuan fuerzas no conservativas.

Signo de E y tipo de trayectoria

E<0 \Rightarrow \text{ligada (elipse/circulo)};\quad E=0 \Rightarrow \text{parabola};\quad E>0 \Rightarrow \text{hiperbola}

El signo de la energia mecanica clasifica el movimiento como ligado o libre.

Velocidad de escape

v_e = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}

Velocidad minima para que E = 0 y el cuerpo escape al infinito; independiente de su masa.

Energia de una orbita circular

E_{\text{orbita circular}} = -\,\dfrac{G\,M\,m}{2\,r}

Negativa (estado ligado); es la mitad de la energia potencial en esa orbita.

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Ejemplo resuelto

Velocidad de escape y energía de una órbita

Un satélite de masa m = 800 kg orbita la Tierra en una órbita circular de radio r = 8,0·10⁶ m. (a) Calcula la velocidad de escape desde la superficie terrestre (R = 6,37·10⁶ m). (b) Calcula la energía mecánica del satélite en su órbita y justifica que se trata de un estado ligado. (M_T = 5,97·10²⁴ kg, G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻².)

Velocidad de escape (a)
v_e = √(2·G·M_T/R) = √(2 · 6,674·10⁻¹¹ · 5,97·10²⁴ / 6,37·10⁶). El numerador 2·G·M_T = 7,969·10¹⁴; dividido por R da 1,251·10⁸ m²·s⁻².
Resultado de v_e
v_e = √(1,251·10⁸) = 1,118·10⁴ m·s⁻¹ ≈ 11,2 km·s⁻¹, independiente de la masa del cuerpo lanzado.
Energía de la órbita (b)
Para una órbita circular E = −G·M_T·m/(2r) = −6,674·10⁻¹¹ · 5,97·10²⁴ · 800 / (2 · 8,0·10⁶). El numerador G·M_T·m = 3,187·10¹⁷; el denominador 2r = 1,6·10⁷.
Resultado de E
E = −3,187·10¹⁷ / 1,6·10⁷ = −1,99·10¹⁰ J. Al ser E < 0, el satélite está LIGADO: su órbita es cerrada.

Resultado: (a) v_e ≈ 1,12·10⁴ m·s⁻¹ (≈ 11,2 km·s⁻¹). (b) E ≈ −1,99·10¹⁰ J < 0, luego el satélite está ligado a la Tierra (órbita cerrada).

Explicación paso a paso6 pasos

1
El signo de una sola magnitud decide si un cuerpo vuelve o se marcha para siempre. Vamos a construir esa regla desde la única ecuación que hace falta, y a leer los tres casos uno por uno.
La energía mecánica en el campo gravitatorio
$E = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{GMm}{r}$
m es la masa del cuerpo (kg), v su velocidad (m/s), M la masa del astro (kg) y r la distancia al CENTRO del astro (m). E se mide en julios y, en ausencia de rozamiento, es constante durante todo el movimiento.
2
Antes de nada hay que aceptar el convenio de signos, porque toda la regla depende de él: el cero de energía potencial está en el infinito, y por eso la energía potencial es negativa en cualquier punto a distancia finita.
El convenio: cero en el infinito
$E_p(r) = -\frac{GMm}{r} < 0, \qquad E_p(\infty) = 0$
Elegir el infinito como origen es lo que hace negativa la energía potencial. Con otro origen la fórmula cambiaría, pero las DIFERENCIAS de energía —lo único con significado físico— serían las mismas.
3
Primer caso: energía mecánica negativa. La energía cinética, que nunca puede ser negativa, se agotaría antes de que el cuerpo llegase al infinito, así que existe una distancia máxima y el cuerpo está atrapado.
E < 0: órbita cerrada
$E < 0 \;\Longrightarrow\; r_{\max} = -\frac{GMm}{E}$
r_max es el punto de retorno de un lanzamiento radial: la distancia a la que E_c vale cero. Si el cuerpo además tiene velocidad transversal, en vez de caer de nuevo en línea recta describe una elipse (o una circunferencia).
4
Segundo caso: energía mecánica exactamente nula. El cuerpo llega al infinito, pero con velocidad cero. Es el caso frontera, y de él sale la velocidad de escape sin ningún cálculo adicional.
E = 0: la parábola y la velocidad de escape
$\frac{1}{2}mv_e^{2} - \frac{GMm}{r} = 0 \;\Longrightarrow\; v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$
v_e no depende de la masa del proyectil ni de la dirección del lanzamiento, solo de la masa del astro y de la distancia a su centro. Desde la superficie de la Tierra vale 11,2 km/s.
5
Tercer caso: energía mecánica positiva. Al cuerpo le sobra energía al llegar al infinito, y esa sobra es justamente su energía cinética residual. La trayectoria es una hipérbola.
E > 0: hipérbola con velocidad residual
$E > 0 \;\Longrightarrow\; v_{\infty} = \sqrt{\frac{2E}{m}}$
v_∞ es la velocidad que conserva el cuerpo muy lejos del astro, cuando E_p ya es despreciable. Es la situación de las sondas que abandonan el sistema solar.
6
Y un último cierre que ahorra media hoja en el examen: en una órbita circular las tres energías guardan una proporción fija, y basta calcular una para conocer las otras dos.
Órbita circular: la proporción fija
$E_c = -\frac{E_p}{2} = \frac{GMm}{2r}, \qquad E = \frac{E_p}{2} = -\frac{GMm}{2r}$
La energía total es la mitad de la potencial y el opuesto de la cinética. De aquí sale, en un renglón, la energía que hay que aportar para pasar de una órbita a otra.

Errores frecuentes

Olvidar que la energía potencial es negativa al plantear E = Ec + Ep, sumando una Ep positiva y obteniendo un signo erróneo para E (y, por tanto, el tipo de trayectoria equivocado).
Confundir la velocidad de escape v_e = √(2·G·M/R) con la velocidad orbital v_orb = √(G·M/r), olvidando el factor √2 que las relaciona, o creer que la velocidad de escape depende de la masa del objeto lanzado.
Escribir la energía en órbita con E_p = m·g·h. En órbita hay que usar E_p = −G·M·m/r: con m·g·h la energía sale positiva y el criterio del signo deja de funcionar.
Dar la energía necesaria para escapar desde una órbita como «la energía cambiada de signo» sin más. El aporte es ΔE = 0 − E = +G·M·m/(2r), una cantidad POSITIVA que hay que entregar al satélite.

Repaso activo

Desde la superficie de un planeta de masa M = 6,4·10²³ kg y radio R = 3,4·10⁶ m (datos del orden de Marte) se lanza verticalmente un proyectil de 500 kg. (a) Calcula la velocidad de escape del planeta. (b) Si se lanza con una velocidad igual al 80 % de la velocidad de escape, razona el signo de su energía mecánica y el tipo de trayectoria. (G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻².)

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

Planificar un repaso

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Campo gravitatorio

5 secciones~31 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

Intensidad del campo gravitatorio y principio de superposición#

Potencial, energía potencial y trabajo en el campo gravitatorio#

Carácter conservativo y central; líneas de campo y superficies equipotenciales#

Momento angular en campos centrales y su conservación#

Energía mecánica y deducción del tipo de movimiento#

Campo gravitatorio

Puntos clave

Campo resultante en el vértice de un triángulo

Puntos clave

Potencial y trabajo entre dos masas

Puntos clave

Trabajo en una trayectoria cerrada y sobre una equipotencial

Puntos clave

Velocidades en perigeo y apogeo de un satélite

Puntos clave

Velocidad de escape y energía de una órbita

Fuentes

Campo gravitatorio

Puntos clave

Campo resultante en el vértice de un triángulo

Puntos clave

Potencial y trabajo entre dos masas

Puntos clave

Trabajo en una trayectoria cerrada y sobre una equipotencial

Puntos clave

Velocidades en perigeo y apogeo de un satélite

Puntos clave

Velocidad de escape y energía de una órbita

Fuentes