ES · Selectividad

Movimiento orbital y leyes de Kepler

Este apunte aplica el campo gravitatorio newtoniano al movimiento de planetas y satélites: estudia las tres leyes de Kepler, las deduce desde la ley de gravitación universal y resuelve las magnitudes de una órbita (velocidad orbital, periodo, energía, velocidad de escape y satélites geoestacionarios) mediante la conservación del momento angular y de la energía. Cierra con una introducción a la astrofísica y la cosmología como gran aplicación del campo gravitatorio. Pertenece al Bloque A del currículo de Física de 2.º de Bachillerato (LOMLOE) y es uno de los contenidos más recurrentes en la fase de acceso de la PAU/Selectividad.

5 secciones~28 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

T·0222 / 11

Perfil de examen

CE1 · Resolver problemas de movimiento orbital de planetas y satélites por métodos analíticos, relacionando la física con el desarrollo de la tecnología y la sociedad (RD 243/2022, criterios de evaluación 1.1, 1.2).CE2 · Analizar la evolución de los sistemas naturales (órbitas, satélites) con los modelos y leyes de la física e inferir aplicaciones prácticas como los satélites geoestacionarios (RD 243/2022, criterios de evaluación 2.1, 2.3).CE6 · Reconocer el carácter multidisciplinar y el recorrido histórico de la física en el conocimiento del universo, desde Copérnico y Kepler hasta la astrofísica actual (RD 243/2022, criterios de evaluación 6.1, 6.2).

Operadores:analizaexplicademuestracalculajustificainterpretarazonarelacionadeduce

nivel básico

Como contenido del Bloque A, debes dominar el enunciado y la aplicación numérica de las tres leyes de Kepler y el cálculo de velocidad orbital, periodo y velocidad de escape en órbitas circulares.

nivel avanzado

En la materia de modalidad se exige además deducir la 3ª ley desde la gravitación universal, aplicar la conservación del momento angular y de la energía a órbitas elípticas y manejar la energía total de la órbita como criterio del tipo de trayectoria.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Movimiento orbital y leyes de Kepler

5 secciones23 puntos clave13 fórmulas23 errores típicos

Las tres leyes de Kepler y su base observacional#

~5 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Leyes que se verifican en el movimiento planetario y extrapolación al movimiento de satélites y cuerpos celestes.»

El estudio del movimiento de los astros culminó, a comienzos del siglo XVII, en tres leyes empíricas formuladas por Johannes Kepler a partir de las precisísimas observaciones de la posición de Marte recopiladas por Tycho Brahe. Estas leyes describen «cómo» se mueven los planetas alrededor del Sol mucho antes de que Newton explicara el «porqué», y constituyen el punto de partida obligado para todo el tema: son la verificación experimental de la que la gravitación universal será, años después, la causa.

La primera ley (ley de las órbitas, 1609) afirma que los planetas describen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. La elipse se caracteriza por su semieje mayor a y su excentricidad e (con 0 ≤ e < 1); cuando e = 0 la elipse degenera en una circunferencia, que es una excelente aproximación para muchos planetas, cuya excentricidad es pequeña (la de la Tierra es de apenas 0,017). El punto de la órbita más próximo al Sol se llama perihelio y el más alejado, afelio (véase la Fig. 1).

Órbita elíptica con el Sol en un foco y ley de las áreas

Fig. 1 ↓

La segunda ley (ley de las áreas, 1609) establece que el vector que une el Sol con el planeta —el radio vector— barre áreas iguales en tiempos iguales. Como consecuencia directa, el planeta no se mueve a velocidad constante: va más deprisa cuando está cerca del Sol (en el perihelio) y más despacio cuando está lejos (en el afelio). Esta ley es, como veremos en el apartado siguiente, una manifestación de la conservación del momento angular, porque la fuerza gravitatoria es una fuerza central.

La tercera ley (ley armónica, 1619) relaciona el periodo de revolución T de un planeta con el semieje mayor a de su órbita: el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor, T² = k·a³, donde la constante k es la misma para todos los cuerpos que orbitan en torno al mismo astro central. Esta ley permite comparar las órbitas de dos planetas sin conocer la masa del Sol y es la que, al deducirse de la gravitación universal, conecta toda la cinemática planetaria con la dinámica de Newton.

Vocabulario

→ Tarjetas

ElipseCurva cerrada cuya suma de distancias a dos puntos fijos —los focos— es constante.
FocoCada uno de los dos puntos que definen la elipse; el astro central ocupa uno de ellos y el otro queda vacío.
Semieje mayor (a)Mitad del eje largo de la elipse; es la distancia media del cuerpo al astro y la que aparece en la tercera ley.
Velocidad areolarÁrea barrida por el radiovector en la unidad de tiempo; es constante, y de ahí que el cuerpo vaya más rápido cerca del astro.
Excentricidad (e)Cociente c/a entre la distancia focal y el semieje mayor; mide cuánto se aparta la órbita de la circunferencia.

3ª ley de Kepler

T^2 = k \cdot a^3

El cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo del semieje mayor; la constante k es común a todos los cuerpos que orbitan el mismo astro.

Comparación de dos órbitas (3ª ley)

\frac{T_1^{\,2}}{a_1^{\,3}} = \frac{T_2^{\,2}}{a_2^{\,3}}

Forma práctica de la 3ª ley para comparar dos planetas o satélites del mismo astro central sin necesidad de conocer su masa.

2ª ley de Kepler (velocidad areolar)

\frac{dA}{dt} = \text{constante}

El área barrida por el radio vector por unidad de tiempo es constante; de ahí que el planeta sea más rápido en el perihelio.

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Ejemplo resuelto

Periodo de Marte a partir de la 3ª ley de Kepler

Sabiendo que el semieje mayor de la órbita de Marte es a = 1,524 UA y tomando para la Tierra a = 1 UA y T = 1 año, determina el periodo de revolución de Marte alrededor del Sol.

Plantear la 3ª ley para ambos planetas
Como los dos orbitan el Sol, comparten la misma constante: el cociente T²/a³ es igual para Marte y para la Tierra.
Despejar el periodo de Marte
Tomando a_T = 1 UA y T_T = 1 año se simplifica el cálculo.
Sustituir y operar
Se eleva 1,524 al cubo y se extrae la raíz cuadrada.

Resultado: El periodo de revolución de Marte es de aproximadamente 1,88 años terrestres (unos 687 días), valor coherente con el dato astronómico real.

Errores frecuentes

Afirmar que el Sol está «en el centro» de la elipse: está en uno de los FOCOS, no en el centro geométrico.
Creer que la 3ª ley relaciona T con el radio en una órbita circular pero no sabe aplicarla a una elipse: en una elipse interviene el SEMIEJE MAYOR a, no la distancia instantánea r.
Situar el Sol en el CENTRO de la elipse. Está en uno de los focos, y precisamente por eso existen un perihelio y un afelio y la velocidad orbital no es constante.
Aplicar T² = k·a³ con la misma constante a los planetas del Sol y a los satélites de la Tierra. Como k = 4π²/(G·M) depende del astro central, las dos constantes difieren en un factor de más de 3·10⁵.

Repaso activo

Marte tiene un semieje mayor de 1,524 UA (unidades astronómicas). Aplicando la 3ª ley de Kepler con los datos de la Tierra (a = 1 UA, T = 1 año), calcula el periodo de revolución de Marte expresado en años terrestres.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Deducción de las órbitas desde la gravitación universal#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Leyes que se verifican en el movimiento planetario y extrapolación al movimiento de satélites y cuerpos celestes.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Momento angular de un objeto en un campo gravitatorio: cálculo, relación con las fuerzas centrales y aplicación de su conservación en el estudio de su movimiento.»

La gran aportación de Isaac Newton (Principia, 1687) fue demostrar que las tres leyes empíricas de Kepler son consecuencia necesaria de una única causa: la ley de gravitación universal, F = G·M·m/r². Si la fuerza que el Sol ejerce sobre un planeta es atractiva, central (dirigida siempre hacia el Sol) y proporcional a 1/r², entonces las órbitas posibles son cónicas y, para los cuerpos ligados, elipses con el Sol en un foco. En este apartado deducimos esas leyes para el caso más sencillo y exigible en la PAU: la órbita circular.

El carácter CENTRAL de la fuerza gravitatoria implica que su momento respecto al astro central es nulo y, por tanto, que el momento angular L del planeta se conserva (véase la Fig. 2). De L = r × p constante se sigue inmediatamente la 2ª ley de Kepler: el módulo L = m·r·v·sen φ es constante, y como el área barrida por unidad de tiempo vale dA/dt = L/(2m), esa velocidad areolar también lo es. Así, la ley de las áreas no es un postulado independiente, sino la conservación del momento angular escrita en términos geométricos.

Conservación del momento angular en una fuerza central

Fig. 2 ↓

Para una órbita circular de radio r, la fuerza gravitatoria proporciona exactamente la fuerza centrípeta necesaria: G·M·m/r² = m·v²/r. De esta igualdad se despeja la velocidad orbital, v = √(G·M/r), que es la velocidad con la que un satélite debe moverse para mantenerse en una órbita estable de radio r. Nótese que esta velocidad no depende de la masa m del cuerpo que orbita: un satélite pesado y uno ligero a la misma altura tienen la misma velocidad orbital.

De la velocidad orbital se deduce la 3ª ley de Kepler. Como en un movimiento circular v = 2π·r/T, sustituyendo en v² = G·M/r y despejando se obtiene T² = (4π²/G·M)·r³. Aparece así la constante de Kepler k = 4π²/(G·M), que efectivamente solo depende del astro central (a través de su masa M) y es común a todos sus satélites, tal como Kepler había observado empíricamente. Para una órbita elíptica, la deducción rigurosa sustituye el radio r por el semieje mayor a, recuperando la forma general T² ∝ a³.

Vocabulario

→ Tarjetas

Fuerza centrípetaComponente de la fuerza dirigida al centro de la trayectoria, responsable de curvarla: F_c = m·v²/r.
Radio orbitalDistancia del satélite al CENTRO del astro: r = R + h, siendo R el radio del astro y h la altura sobre su superficie.
Velocidad orbitalVelocidad de un satélite en órbita circular: v = √(G·M/r). No depende de su masa.
Periodo orbital (T)Tiempo que tarda el satélite en dar una vuelta completa: T = 2πr/v.
Órbita circularCaso particular de elipse con excentricidad cero, en el que r y v son constantes y siempre perpendiculares.

Equilibrio gravitatorio-centrípeto (órbita circular)

G\,\frac{M\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r}

La fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta que mantiene al satélite en su órbita circular.

Velocidad orbital circular

v = \sqrt{\dfrac{G\,M}{r}}

Velocidad necesaria para una órbita estable de radio r; no depende de la masa del satélite.

3ª ley de Kepler deducida

T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3

La constante de Kepler k = 4π²/(G·M) depende solo de la masa del astro central.

Conservación del momento angular

\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v} = \text{constante}

Al ser la gravedad una fuerza central, su momento es nulo y L se conserva, lo que origina la 2ª ley de Kepler.

Ejemplo resuelto

Velocidad orbital y periodo de un satélite en órbita baja

Un satélite orbita la Tierra en una órbita circular a 400 km de altura. Datos: G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², masa de la Tierra M = 5,97·10²⁴ kg, radio terrestre R = 6 371 km. Determina su velocidad orbital y su periodo de revolución.

Calcular el radio de la órbita
El radio se mide desde el centro de la Tierra: hay que sumar el radio terrestre y la altura.
Aplicar la velocidad orbital
La fuerza gravitatoria actúa como centrípeta, de donde v = √(G·M/r).
Resultado de la velocidad
Se obtiene la rapidez de la órbita baja, próxima a la de la Estación Espacial Internacional.
Calcular el periodo
En un movimiento circular uniforme T = 2π·r/v.

Resultado: La velocidad orbital es de unos 7,67 km/s y el periodo de unos 5 550 s, es decir, aproximadamente 92 minutos por vuelta, coherente con los datos reales de una órbita baja terrestre.

Objetivo Selectividad

Deducir la velocidad orbital v = √(G·M/r) igualando la fuerza gravitatoria a la fuerza centrípeta.
Demostrar la 3ª ley de Kepler T² = (4π²/G·M)·r³ a partir de la gravitación universal y reconocer que la constante depende solo de la masa del astro central.
Relacionar la 2ª ley de Kepler con la conservación del momento angular por tratarse de una fuerza central.
DEDUCE la tercera ley igualando la atracción gravitatoria a la fuerza centrípeta, G·M·m/r² = m·v²/r, y sustituyendo v = 2πr/T: sale T² = (4π²/G·M)·r³. Es una deducción de tres líneas y aparece un año sí y otro también.
De la misma igualdad se obtiene v = √(G·M/r). Di explícitamente las dos lecturas físicas: la velocidad orbital NO depende de la masa del satélite, y disminuye al aumentar el radio de la órbita.

Errores frecuentes

Incluir la masa m del satélite en la velocidad orbital o en el periodo: ambas se cancelan, pues solo dependen de la masa M del astro central y del radio.
Confundir la masa del astro central (M, la que crea el campo) con la masa del cuerpo en órbita (m): solo M aparece en v, T y g.
Olvidar que la igualdad G·M·m/r² = m·v²/r solo es válida en órbitas CIRCULARES; en una elipse la rapidez varía a lo largo de la trayectoria.
Añadir una fuerza centrífuga al diagrama del satélite «para equilibrar». En un sistema de referencia inercial la única fuerza es la atracción gravitatoria, y esa fuerza ES la centrípeta, no algo que haya que compensar.
Usar la altura h donde va el radio orbital r = R + h. Toda la mecánica orbital se escribe con la distancia al CENTRO del astro; con h el resultado sale mal por un factor grande.

Repaso activo

Un satélite describe una órbita circular alrededor de la Tierra (M = 5,97·10²⁴ kg, G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²) a una altura de 400 km sobre la superficie (radio terrestre R = 6 371 km). Calcula su velocidad orbital y su periodo. Demuestra previamente la expresión de la velocidad orbital.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Energía de la órbita y conservación de la energía mecánica#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Energía mecánica de un objeto sometido a un campo gravitatorio: deducción del tipo de movimiento que posee, cálculo del trabajo o los balances energéticos existentes en desplazamientos entre distintas posiciones, velocidades y tipos de trayectorias.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Leyes que se verifican en el movimiento planetario y extrapolación al movimiento de satélites y cuerpos celestes.»

Una órbita no solo se describe por su geometría y su velocidad, sino también por su energía mecánica total, suma de la energía cinética y la energía potencial gravitatoria. Como el campo gravitatorio es conservativo, esta energía se conserva a lo largo de toda la trayectoria; su valor —y muy especialmente su SIGNO— determina el tipo de movimiento del cuerpo, y por eso es una de las magnitudes más importantes y más preguntadas del tema en la PAU.

La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m a una distancia r del astro central de masa M se toma con el origen en el infinito: Ep = −G·M·m/r. Es siempre negativa y tiende a cero cuando r tiende a infinito (Fig. 3). La energía cinética, en cambio, es siempre positiva, Ec = ½·m·v². Para una órbita circular, donde v² = G·M/r, la energía cinética vale exactamente la mitad del valor absoluto de la potencial: Ec = G·M·m/(2r) = −Ep/2.

Energía cinética, potencial y mecánica de una órbita frente al radio

Fig. 3 ↓

Sumando ambas contribuciones, la energía mecánica de una órbita circular resulta E = Ec + Ep = G·M·m/(2r) − G·M·m/r = −G·M·m/(2r). Para una órbita elíptica, el resultado general sustituye el radio por el semieje mayor: E = −G·M·m/(2a). La energía es NEGATIVA, lo que indica que el cuerpo está LIGADO al astro: para escapar habría que aportarle energía hasta llevarlo, como mínimo, a E = 0.

El signo de la energía mecánica clasifica las trayectorias, lo que conecta este apartado con el de la velocidad de escape. Si E < 0 el cuerpo está ligado y describe una órbita cerrada (elipse o circunferencia). Si E = 0 la trayectoria es una parábola y el cuerpo escapa con velocidad nula en el infinito; es el caso límite que define la velocidad de escape. Si E > 0 la trayectoria es una hipérbola y el cuerpo escapa con energía cinética sobrante. Cuanto más negativa es la energía, más pequeña y ligada es la órbita.

Vocabulario

→ Tarjetas

Energía mecánica orbitalE = −G·M·m/(2r) en una órbita circular: negativa, y tanto más pequeña en valor absoluto cuanto más alta es la órbita.
Energía de enlace orbitalEnergía que hay que aportar a un satélite en órbita para llevarlo al infinito: |E| = G·M·m/(2r).
Cambio de órbitaManiobra que lleva un satélite de un radio a otro; su coste energético es la diferencia entre las energías mecánicas de las dos órbitas.
Teorema del virial (caso circular)Relación E_c = −E_p/2 que se cumple en toda órbita circular bajo una fuerza inversa del cuadrado.

Energía potencial gravitatoria

E_p = -\frac{G\,M\,m}{r}

Origen en el infinito; siempre negativa y creciente (hacia 0) al alejarse.

Energía cinética en órbita circular

E_c = \frac{1}{2}\,m\,v^2 = \frac{G\,M\,m}{2r}

Para una órbita circular vale la mitad del módulo de la energía potencial.

Energía mecánica de la órbita circular

E = E_c + E_p = -\frac{G\,M\,m}{2r}

Negativa: el cuerpo está ligado. En una elipse se sustituye r por el semieje mayor a.

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Ejemplo resuelto

Energía de un satélite geoestacionario

Un satélite de masa m = 500 kg orbita la Tierra en una órbita circular geoestacionaria de radio r = 4,216·10⁷ m. Con G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² y M = 5,97·10²⁴ kg, calcula su energía potencial, su energía cinética y su energía mecánica total, e indica si está ligado.

Energía potencial
Se aplica Ep = −G·M·m/r con el radio dado.
Energía cinética
En órbita circular Ec = −Ep/2, es decir, la mitad del módulo de la potencial.
Energía mecánica total
Se suman: E = Ec + Ep = −G·M·m/(2r).

Resultado: Ep ≈ −4,73·10⁹ J, Ec ≈ +2,36·10⁹ J y E ≈ −2,36·10⁹ J. Como la energía mecánica total es negativa, el satélite está LIGADO a la Tierra y describe una órbita cerrada estable.

Objetivo Selectividad

Deducir y aplicar E = −G·M·m/(2r) para una órbita circular (o −G·M·m/(2a) para una elíptica) y calcular Ec, Ep y E por separado.
Calcular la energía necesaria para cambiar a un satélite de una órbita a otra como diferencia de energías mecánicas, ΔE = E_final − E_inicial.
Justificar el tipo de trayectoria (ligada, parabólica o hiperbólica) a partir del signo de la energía mecánica total.
En órbita circular escribe las tres energías de golpe: E_c = +G·M·m/(2r), E_p = −G·M·m/r y E = −G·M·m/(2r). Con esas tres líneas queda resuelto cualquier apartado energético del ejercicio.
La energía necesaria para pasar de una órbita r₁ a otra r₂ es ΔE = (G·M·m/2)·(1/r₁ − 1/r₂), positiva si se sube. No la confundas con el trabajo del campo, que es el opuesto de la variación de energía POTENCIAL.

Errores frecuentes

Olvidar el signo negativo de la energía potencial Ep = −G·M·m/r o de la energía total: dejarlos positivos invierte por completo el razonamiento del tipo de órbita.
Tomar Ec = −Ep en lugar de Ec = −Ep/2 en órbitas circulares: la energía cinética es la MITAD del valor absoluto de la potencial.
Calcular la energía de una órbita usando la distancia instantánea en una elipse en lugar del semieje mayor a.
Obtener una energía orbital positiva por olvidar que E_p es negativa. En una órbita ligada E siempre sale NEGATIVA; un resultado positivo significa que el cuerpo no estaría en órbita, y es un error detectable de un vistazo.
Suponer que al subir de órbita el satélite va más rápido. Como v = √(G·M/r), en la órbita alta se mueve MÁS DESPACIO: lo que aumenta es la energía total, a costa de la energía potencial.

Repaso activo

Un satélite de 500 kg describe una órbita circular geoestacionaria de radio r = 4,216·10⁷ m alrededor de la Tierra (G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M = 5,97·10²⁴ kg). Calcula su energía cinética, su energía potencial y su energía mecánica total, y razona si está ligado a la Tierra.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Velocidad de escape y satélites geoestacionarios#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Leyes que se verifican en el movimiento planetario y extrapolación al movimiento de satélites y cuerpos celestes.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Energía mecánica de un objeto sometido a un campo gravitatorio: deducción del tipo de movimiento que posee, cálculo del trabajo o los balances energéticos existentes en desplazamientos entre distintas posiciones, velocidades y tipos de trayectorias.»Alcance de este apunte: La velocidad de escape no se nombra en el saber básico; es la aplicación directa del balance energético del bloque A al caso límite E = 0.

Este apartado reúne dos aplicaciones tecnológicas clave del movimiento orbital: la velocidad mínima para abandonar la atracción de un planeta (velocidad de escape) y los satélites geoestacionarios, que han hecho posibles las telecomunicaciones, la televisión por satélite, la meteorología y los sistemas de posicionamiento. Ambas se resuelven con las herramientas ya construidas: la conservación de la energía y la igualdad fuerza gravitatoria-fuerza centrípeta.

La velocidad de escape v_e es la velocidad mínima que hay que comunicar a un cuerpo en la superficie de un astro para que se aleje indefinidamente, llegando al infinito con velocidad nula. Imponiendo que la energía mecánica total sea justo cero (½·m·v_e² − G·M·m/R = 0), se despeja v_e = √(2G·M/R). Nótese que, igual que la velocidad orbital, no depende de la masa del cuerpo que escapa, y que es exactamente √2 veces la velocidad orbital a ras de superficie. Para la Tierra vale unos 11,2 km/s.

Un satélite geoestacionario es aquel que, visto desde la Tierra, permanece siempre sobre el mismo punto del ecuador. Para ello su periodo orbital debe coincidir con el periodo de rotación de la Tierra (un día sidéreo, T ≈ 86 164 s ≈ 23 h 56 min), debe orbitar en el plano ecuatorial y en el mismo sentido de giro que la Tierra. Aplicando la 3ª ley de Kepler con ese periodo se obtiene un único radio posible, r ≈ 42 200 km desde el centro de la Tierra, lo que equivale a una altura de unos 35 800 km sobre la superficie (Fig. 4).

Satélite geoestacionario sobre el ecuador terrestre

Fig. 4 ↓

Los satélites geoestacionarios (caso particular de los geosíncronos sobre el ecuador) son indispensables para las comunicaciones porque una antena en tierra puede apuntar siempre en la misma dirección fija. Otros satélites operan en órbitas distintas según su función: los de observación terrestre y los de la red GPS usan órbitas más bajas o de altura intermedia, donde el periodo es menor. En todos los casos, el radio de la órbita determina unívocamente la velocidad y el periodo a través de las leyes de Kepler.

Vocabulario

→ Tarjetas

Velocidad de escapeVelocidad mínima de lanzamiento para que un cuerpo no vuelva: v_e = √(2·G·M/R). Para la Tierra, 11,2 km/s.
Satélite geoestacionarioSatélite que se ve siempre en el mismo punto del cielo: órbita ecuatorial, circular y de periodo igual al día sidéreo.
Día sidéreoTiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa respecto de las estrellas: 86 164 s, casi cuatro minutos menos que el día solar.
Órbita baja terrestreÓrbita de unos pocos cientos de kilómetros de altura, con periodos de aproximadamente hora y media.
Altura orbital (h)Distancia del satélite a la SUPERFICIE del astro: h = r − R.

Condición de escape (E = 0)

\tfrac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0

La energía cinética inicial debe igualar al módulo de la energía potencial en la superficie.

Velocidad de escape

v_e = \sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}

Velocidad mínima para alejarse indefinidamente; no depende de la masa del cuerpo y es √2 veces la velocidad orbital a ras de superficie.

Radio de la órbita geoestacionaria

r = \sqrt[3]{\dfrac{G\,M\,T^2}{4\pi^2}}

Se obtiene de la 3ª ley imponiendo que el periodo sea igual al de rotación de la Tierra.

Ejemplo resuelto

Velocidad de escape y radio geoestacionario de la Tierra

Para la Tierra (R = 6,371·10⁶ m, M = 5,97·10²⁴ kg, G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²): (a) calcula la velocidad de escape desde la superficie; (b) calcula el radio de la órbita geoestacionaria, sabiendo que el periodo debe ser un día sidéreo, T = 86 164 s.

(a) Velocidad de escape
Se aplica v_e = √(2G·M/R) con los datos de la Tierra.
Resultado de la velocidad de escape
Se obtiene la conocida velocidad de escape terrestre.
(b) Radio geoestacionario
Se despeja r de la 3ª ley de Kepler con el periodo de rotación.
Resultado del radio y la altura
El radio se mide desde el centro de la Tierra; la altura es r − R.

Resultado: La velocidad de escape terrestre es de unos 11,2 km/s; la órbita geoestacionaria tiene un radio de unos 42 200 km (4,22·10⁷ m), lo que corresponde a una altura de unos 35 800 km sobre la superficie.

Explicación paso a paso6 pasos

1
La órbita geoestacionaria no se elige: se calcula. En cuanto exiges que el satélite se vea siempre sobre el mismo punto del ecuador, su radio queda determinado y no hay ninguna libertad más.
2
La condición es que el satélite tarde en dar una vuelta exactamente lo mismo que la Tierra en girar sobre sí misma respecto de las estrellas. Ese periodo no son 24 horas: es el día sidéreo.
La condición de partida: el día sidéreo
$T = 86\,164\ \mathrm{s} \approx 23\ \mathrm{h}\ 56\ \mathrm{min}\ 4\ \mathrm{s}$
Los casi cuatro minutos de diferencia con el día solar vienen del avance de la Tierra en su órbita alrededor del Sol. Usar 86 400 s falsea el radio en unos 100 km.
3
Ahora la física: la atracción gravitatoria es la fuerza centrípeta del movimiento circular. Escribimos la aceleración centrípeta en función del periodo, no de la velocidad, porque el periodo es el dato.
Gravitación igual a fuerza centrípeta
$\frac{GMm}{r^{2}} = m\,\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}$
A la izquierda, la ley de gravitación con r medido desde el centro de la Tierra; a la derecha, m·ω²·r con ω = 2π/T. La masa m del satélite aparece en los dos miembros y se cancela: el radio no depende de lo que pese el satélite.
4
Se simplifica la masa del satélite y se despeja el radio. Fíjate en que aparece una raíz cúbica: es la firma de la tercera ley de Kepler.
El radio de la órbita geoestacionaria
$r = \sqrt[3]{\frac{GM\,T^{2}}{4\pi^{2}}}$
G·M = 3,986·10¹⁴ m³/s² es la constante gravitatoria de la Tierra, un dato que se suele proporcionar ya multiplicado porque se conoce con mucha más precisión que G y M por separado.
5
Sustituimos y calculamos. Conviene trabajar con potencias de diez desde el principio y dejar la raíz cúbica para el último paso.
El resultado: unos 42 200 km desde el centro
$r = \sqrt[3]{\frac{3{,}986\cdot10^{14}\cdot(86\,164)^{2}}{4\pi^{2}}} = 4{,}22\cdot10^{7}\ \mathrm{m}$
El numerador vale 2,96·10²⁴ m³·s⁻²·s² = 2,96·10²⁴ m³; al dividir entre 4π² ≈ 39,48 quedan 7,50·10²² m³, cuya raíz cúbica es 4,22·10⁷ m.
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Y el último paso es el que más puntos cuesta olvidar: la pregunta casi nunca pide el radio, sino la altura sobre la superficie. Hay que restar el radio de la Tierra.
De radio a altura
$h = r - R_T = 4{,}22\cdot10^{7} - 6{,}37\cdot10^{6} \approx 3{,}58\cdot10^{7}\ \mathrm{m}$
Unos 35 800 km sobre el ecuador. Es casi seis veces el radio terrestre, y por eso una antena parabólica doméstica puede apuntar a un punto fijo del cielo y no moverse nunca.

Objetivo Selectividad

Deducir la velocidad de escape v_e = √(2G·M/R) imponiendo energía mecánica total nula y relacionarla con la velocidad orbital (v_e = √2·v_orbital en la superficie).
Calcular el radio y la altura de un satélite geoestacionario aplicando la 3ª ley de Kepler con T = 1 día (≈ 86 400 s o, con más precisión, el día sidéreo de 86 164 s).
Enumerar las tres condiciones de una órbita geoestacionaria: periodo igual al de rotación, plano ecuatorial y mismo sentido de giro que la Tierra.
DEDUCE la velocidad de escape imponiendo E = 0 en la superficie: ½·m·v_e² − G·M·m/R = 0 ⇒ v_e = √(2·G·M/R) = √(2·g₀·R). Señala que no depende ni de la masa del proyectil ni de la dirección del lanzamiento.
Para el satélite geoestacionario la condición es triple: periodo igual al día SIDÉREO (86 164 s), órbita ECUATORIAL y mismo sentido de giro que la Tierra. De T² = (4π²/G·M)·r³ sale r ≈ 4,22·10⁷ m, esto es, unos 35 800 km de ALTURA.

Errores frecuentes

Confundir la velocidad de escape con la velocidad orbital: la de escape lleva un factor 2 dentro de la raíz (v_e = √(2G·M/R)).
Usar la altura h en lugar del radio total r = R + h en las fórmulas orbitales, o viceversa al dar el resultado como «altura».
Olvidar que la órbita geoestacionaria es única (un solo radio) y exige el plano ecuatorial: un satélite con periodo de 24 h en otra inclinación es geosíncrono pero no geoestacionario.
Confundir la velocidad de escape con la velocidad orbital a la misma distancia. Se diferencian en un factor √2: para la superficie terrestre, 11,2 km/s frente a 7,9 km/s.
Dar el radio geoestacionario, r ≈ 42 200 km, como si fuera la altura. El radio se mide desde el CENTRO de la Tierra; la altura es r − R_T ≈ 35 800 km, y es lo que suele preguntarse.

Repaso activo

Calcula la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra (R = 6 371 km, M = 5,97·10²⁴ kg, G = 6,674·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²). Después, determina el radio de una órbita geoestacionaria sabiendo que su periodo debe ser un día sidéreo, T = 86 164 s.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Introducción a la cosmología y la astrofísica#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque A (Campo gravitatorio): «Introducción a la cosmología y la astrofísica como aplicación del campo gravitatorio: implicación de la física en la evolución de objetos astronómicos, del conocimiento del universo y repercusión de la investigación en estos ámbitos en la industria, la tecnología, la economía y en la sociedad.»

La gravedad a distintas escalas del universo

El campo gravitatorio no solo gobierna las órbitas del sistema solar: es la fuerza estructuradora del universo a gran escala. Esta sección introduce, sin entrar en formalismos avanzados, cómo la misma física que explica las leyes de Kepler permite comprender la formación, la evolución y el destino de los objetos astronómicos —estrellas, sistemas planetarios, galaxias— y conecta la física de 2.º de Bachillerato con la astrofísica y la cosmología contemporáneas.

La gravedad es el motor de la evolución estelar. Una estrella nace cuando una nube de gas y polvo colapsa gravitatoriamente y se calienta hasta iniciar la fusión nuclear; durante su vida existe un equilibrio entre la presión hacia fuera de la radiación y la atracción gravitatoria hacia dentro. Cuando el combustible se agota, la gravedad vence y la estrella evoluciona hacia una enana blanca, una estrella de neutrones o, si es muy masiva, un agujero negro. El propio recorrido histórico —de Copérnico, que situó el Sol en el centro, a Kepler, Galileo y Newton— muestra cómo la física fue desentrañando la estructura del cosmos.

A escala mayor, la gravitación explica la dinámica de las galaxias y la expansión del universo descrita por la cosmología. El estudio del movimiento de las estrellas dentro de las galaxias condujo a la hipótesis de la materia oscura, y la observación de la expansión cósmica a la de la energía oscura: dos de los grandes problemas abiertos de la física actual, que el currículo señala como ejemplo del carácter dinámico e inacabado del conocimiento científico. La astrofísica es, en este sentido, una aplicación directa y a gran escala del campo gravitatorio.

La investigación en astrofísica y cosmología tiene una repercusión real en la industria, la tecnología, la economía y la sociedad, tal como recoge expresamente el currículo. Las telecomunicaciones por satélite, la navegación por GPS, la observación meteorológica y de recursos terrestres, o tecnologías de uso cotidiano derivadas de la exploración espacial son fruto directo del dominio del movimiento orbital. Estudiar las leyes de Kepler no es, por tanto, un ejercicio puramente teórico: es la base de una parte sustancial de la infraestructura tecnológica contemporánea.

Vocabulario

→ Tarjetas

Colapso gravitatorioContracción de una nube de gas bajo su propia gravedad; es el mecanismo que enciende una estrella al elevar la temperatura del núcleo.
Fusión nuclear estelarUnión de núcleos ligeros en el interior de una estrella; libera la energía que sostiene la estrella frente a su propia gravedad.
Corrimiento al rojoDesplazamiento de las líneas espectrales hacia longitudes de onda mayores; en las galaxias lejanas es la huella de la expansión del universo.
Agujero negroObjeto cuya gravedad es tan intensa que la velocidad de escape en su horizonte supera la de la luz.
Año luzDistancia que recorre la luz en un año, unos 9,46·10¹⁵ m. Es una unidad de longitud, nunca de tiempo.

Ejemplo resuelto

Repercusión social del movimiento orbital

Comenta de forma razonada, con apoyo en la física estudiada, por qué los satélites geoestacionarios son tan importantes para las telecomunicaciones y qué condición orbital lo hace posible.

Identificar la condición física
Un satélite geoestacionario tiene un periodo igual al de rotación de la Tierra, orbita en el plano ecuatorial y en el mismo sentido de giro.
Consecuencia observacional
Al sincronizarse con la rotación, el satélite permanece fijo respecto a la superficie: siempre se ve sobre el mismo punto del ecuador.
Repercusión tecnológica y social
Una antena terrestre puede apuntar en una dirección FIJA sin seguimiento, lo que abarata y simplifica enormemente las comunicaciones, la televisión por satélite y la meteorología, infraestructura básica de la economía actual.

Resultado: La sincronización del periodo orbital con la rotación terrestre mantiene el satélite aparentemente inmóvil en el cielo, lo que permite enlaces de comunicación permanentes con antenas fijas; es un ejemplo directo de cómo el dominio del movimiento orbital repercute en la industria, la tecnología y la sociedad.

Objetivo Selectividad

Relacionar el papel estructurador de la gravedad con la formación y evolución de los objetos astronómicos (estrellas, galaxias) de forma cualitativa.
Argumentar la repercusión social, tecnológica y económica del movimiento orbital y de la investigación astrofísica (satélites de comunicación, GPS, meteorología).
RELACIONA siempre el fenómeno astrofísico con la magnitud que lo explica: la formación estelar con el colapso gravitatorio, la estabilidad de una estrella con el equilibrio entre gravedad y presión interna, y el destino de un cuerpo con el signo de su energía mecánica.
Si piden valorar la repercusión social o tecnológica de la investigación espacial, apoya la respuesta en ejemplos concretos y verificables —posicionamiento por satélite, meteorología, telescopios espaciales— en vez de generalidades: es lo que distingue una respuesta puntuable.

Errores frecuentes

Tratar la cosmología/astrofísica como contenido de cálculo numérico avanzado: en este nivel es una introducción CUALITATIVA, no se piden modelos cosmológicos cuantitativos.
Atribuir la evolución estelar a una sola fuerza: hay un EQUILIBRIO entre la presión de la radiación (hacia fuera) y la gravedad (hacia dentro); su ruptura es la que determina el final de la estrella.
Describir la expansión del universo como galaxias que se alejan de un centro a través del espacio. Lo que se expande es el espacio ENTRE ellas: no hay centro ni borde, y por eso cualquier observador ve alejarse a las galaxias lejanas.
Atribuir la energía de las estrellas a una combustión química. La fuente es la FUSIÓN nuclear del hidrógeno en helio, cuya energía por unidad de masa supera en varios órdenes de magnitud a la de cualquier reacción química.

Repaso activo

Explica de forma razonada por qué se puede afirmar que «la gravedad es el motor de la evolución de las estrellas» y cita dos aplicaciones tecnológicas concretas del movimiento orbital de satélites que repercutan en la sociedad.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

Planificar un repaso

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Movimiento orbital y leyes de Kepler

5 secciones~28 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

Deducción de las órbitas desde la gravitación universal#

Energía de la órbita y conservación de la energía mecánica#

Velocidad de escape y satélites geoestacionarios#

Introducción a la cosmología y la astrofísica#

Movimiento orbital y leyes de Kepler

Puntos clave

Periodo de Marte a partir de la 3ª ley de Kepler

Puntos clave

Velocidad orbital y periodo de un satélite en órbita baja

Puntos clave

Energía de un satélite geoestacionario

Puntos clave

Velocidad de escape y radio geoestacionario de la Tierra

Puntos clave

Repercusión social del movimiento orbital

Fuentes

Movimiento orbital y leyes de Kepler

Puntos clave

Periodo de Marte a partir de la 3ª ley de Kepler

Puntos clave

Velocidad orbital y periodo de un satélite en órbita baja

Puntos clave

Energía de un satélite geoestacionario

Puntos clave

Velocidad de escape y radio geoestacionario de la Tierra

Puntos clave

Repercusión social del movimiento orbital

Fuentes