ES · Selectividad

Física cuántica

La física cuántica nace de la imposibilidad de la física clásica para explicar la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y la estabilidad de la materia, y se construye sobre dos ideas radicales: la energía está cuantizada y la materia y la radiación tienen una doble naturaleza onda-corpúsculo. Este tema, integrado en el Bloque D (Física cuántica) del currículo LOMLOE de 2.º de Bachillerato, recorre la hipótesis de Planck, el fotón de Einstein, la longitud de onda de De Broglie y el principio de incertidumbre de Heisenberg, y cierra con sus aplicaciones tecnológicas. Es un contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad/PAU, donde se exige un manejo seguro de E = h·f, de la ecuación del efecto fotoeléctrico y de λ = h/p.

5 secciones~30 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

T·101010 / 11

Perfil de examen

CE2 · Adoptar los modelos de la física cuántica como base de estudio de los sistemas a escala atómica, prediciendo el comportamiento de fotones, electrones y otras partículas (RD 243/2022, criterio de evaluación 2.1).CE3 · Aplicar con rigor la formulación matemática de la cuantización —E = h·f, ecuación fotoeléctrica, λ = h/p, relaciones de incertidumbre— cuidando magnitudes, unidades y coherencia de los resultados (RD 243/2022, criterios de evaluación 3.1, 3.3).CE6 · Reconocer el recorrido histórico de la física cuántica (Planck, Einstein, De Broglie, Heisenberg) y su carácter multidisciplinar, conectándola con la tecnología actual (RD 243/2022, criterios de evaluación 6.1, 6.2).

Operadores:explicacalculajustificainterpretaanalizarazonarelacionademuestra

nivel básico

Domina con seguridad los tres pilares numéricos del tema: la energía del fotón E = h·f, la ecuación del efecto fotoeléctrico h·f = W₀ + Ec,máx y la longitud de onda de De Broglie λ = h/p, que son los cálculos que la Selectividad pide de forma directa.

nivel avanzado

Como materia de modalidad, profundiza en la interpretación física: el carácter umbral de la frecuencia, la distinción entre la energía de un fotón y la intensidad del haz, y el significado del principio de incertidumbre como límite intrínseco (no instrumental) de la medida simultánea de posición y momento.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Física cuántica

5 secciones20 puntos clave9 fórmulas20 errores típicos

Crisis de la física clásica: cuantización y la hipótesis de Planck#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque D (Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas): «Dualidad onda-corpúsculo y cuantización: hipótesis de De Broglie y efecto fotoeléctrico. Principio de incertidumbre formulado en base al tiempo y la energía.»Alcance de este apunte: La hipótesis de Planck no se cita por su nombre; el saber básico habla de «cuantización», que es exactamente lo que Planck introduce.

A finales del siglo XIX la física clásica parecía un edificio acabado, pero tres fenómenos resistían toda explicación: la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y los espectros atómicos discretos. El primero de ellos fue el detonante. Un cuerpo negro es un objeto ideal que absorbe toda la radiación que incide sobre él y, en equilibrio térmico, la reemite con un espectro que depende solo de su temperatura. La teoría clásica (ley de Rayleigh-Jeans, basada en la equipartición de la energía y el electromagnetismo de Maxwell) predecía que la energía emitida crecía sin límite al disminuir la longitud de onda, divergiendo en el ultravioleta. Esta predicción absurda —la llamada « catástrofe ultravioleta »— contradecía frontalmente los datos experimentales, que mostraban un máximo y una caída a frecuencias altas (Fig. 1).

Radiación del cuerpo negro: la catástrofe ultravioleta

Fig. 1 ↓

En 1900 Max Planck resolvió el problema introduciendo una hipótesis revolucionaria: los osciladores que componen las paredes del cuerpo negro no pueden emitir o absorber energía de forma continua, sino solo en porciones discretas o « cuantos », múltiplos enteros de una cantidad mínima proporcional a la frecuencia. La energía de cada cuanto es E = h·f, donde h es la constante de Planck, h = 6,626·10⁻³⁴ J·s, una de las constantes fundamentales de la naturaleza. Con esta cuantización Planck dedujo una fórmula que reproducía con exactitud la curva experimental a todas las longitudes de onda, eliminando la divergencia ultravioleta.

La idea clave es que la energía deja de ser una magnitud continua a escala microscópica: está « cuantizada », como si solo pudiera tomarse en escalones. El valor de h es extraordinariamente pequeño, y por eso la cuantización es imperceptible en el mundo macroscópico —los escalones de energía son tan finos que la energía parece continua—, pero resulta decisiva a escala atómica. Planck consideró al principio su hipótesis como un mero artificio matemático; sería Einstein quien, cinco años después, le diera carácter físico real al aplicarla a la luz. Por este trabajo Planck recibió el Premio Nobel de Física de 1918, y el año 1900 se considera el nacimiento de la física cuántica.

Conviene tener clara la relación entre las magnitudes que describen la radiación. La frecuencia f y la longitud de onda λ están ligadas por la velocidad de la luz, c = λ·f, con c = 3,00·10⁸ m/s en el vacío. Combinando esta relación con E = h·f se obtiene una segunda expresión muy útil, E = h·c/λ, que da la energía de un cuanto en función de su longitud de onda. En el dominio cuántico las energías son tan minúsculas en julios que resulta cómodo expresarlas en electronvoltios (1 eV = 1,602·10⁻¹⁹ J), una unidad de energía a escala atómica que aparecerá constantemente en este tema.

Vocabulario

→ Tarjetas

Cuerpo negroCuerpo ideal que absorbe toda la radiación que le llega y emite un espectro que depende únicamente de su temperatura.
Catástrofe ultravioletaPredicción clásica —falsa— de energía emitida infinita hacia las frecuencias altas; el fallo que abrió la física cuántica.
Hipótesis de PlanckLa energía se intercambia en múltiplos enteros de un cuanto E = h·f, y no de forma continua.
Constante de Planck (h)h = 6,63·10⁻³⁴ J·s. Su pequeñez explica que la cuantización sea invisible a escala humana.
CuantoPorción mínima e indivisible de energía que puede intercambiarse a una frecuencia dada.

Cuanto de Planck

E = h \cdot f

Energía de un cuanto de radiación de frecuencia f. La constante de Planck vale h = 6{,}626 \times 10^{-34}~\text{J}\cdot\text{s}.

Energía en función de la longitud de onda

c = \lambda \cdot f \quad \Rightarrow \quad E = \dfrac{h \cdot c}{\lambda}

Combinando E = h\cdot f con c = \lambda\cdot f se obtiene la energía del cuanto a partir de su longitud de onda \lambda.

La reproducción carga contenido de YouTube (Google).Abrir en YouTube ↗

El inicio carga la simulación de PhET (University of Colorado).Abrir en PhET ↗

Ejemplo resuelto

Energía de un fotón de luz azul

Una fuente emite luz azul de longitud de onda λ = 450 nm. Determina la energía de uno de sus fotones, expresándola en julios y en electronvoltios. Datos: h = 6,626·10⁻³⁴ J·s; c = 3,00·10⁸ m/s; 1 eV = 1,602·10⁻¹⁹ J.

Pasar la longitud de onda a unidades del SI
λ = 450 nm = 450·10⁻⁹ m = 4,50·10⁻⁷ m.
Aplicar E = h·c/λ
Sustituimos los datos en la expresión que liga energía y longitud de onda.
Resultado en julios
Operando se obtiene la energía del fotón en el SI.
Convertir a electronvoltios
Dividimos entre la carga del electrón para pasar a eV.

Resultado: Cada fotón de luz azul de 450 nm transporta una energía de 4,42·10⁻¹⁹ J, equivalente a 2,76 eV.

Objetivo Selectividad

Saber calcular la energía de un fotón o cuanto a partir de su frecuencia (E = h·f) o de su longitud de onda (E = h·c/λ), expresando el resultado en julios y en electronvoltios.
Explicar cualitativamente por qué la física clásica fracasa ante el cuerpo negro (catástrofe ultravioleta) y cómo la hipótesis de cuantización de Planck (E = h·f) resuelve el problema.
Cuenta la catástrofe ultravioleta como un FALLO de la teoría, no como un fenómeno observado: la física clásica predecía que un cuerpo negro emitiría energía infinita en el ultravioleta, cosa que no ocurre. La hipótesis de Planck —la energía se intercambia en paquetes E = h·f— es lo que repara la predicción.
Ten a mano h = 6,63·10⁻³⁴ J·s y úsala para justificar por qué la cuantización no se nota en el mundo macroscópico: el escalón de energía es tan minúsculo frente a las energías cotidianas que la emisión parece continua.

Errores frecuentes

Confundir la frecuencia f (en Hz) con la longitud de onda λ (en m), u olvidar la relación c = λ·f al pasar de una a otra.
Mezclar unidades: dar la energía en eV cuando el enunciado pide julios, o no convertir correctamente con 1 eV = 1,602·10⁻¹⁹ J.
Atribuir a Planck la idea del fotón. Planck cuantizó la EMISIÓN y la absorción de energía por los osciladores del cuerpo negro; fue Einstein, cinco años después, quien cuantizó la radiación misma.
Sustituir la longitud de onda en E = h·f sin convertirla. Hay que pasar por f = c/λ o usar directamente E = h·c/λ; poner λ donde va f invierte la relación entre energía y color.

Repaso activo

Un láser emite luz verde de longitud de onda 532 nm. Calcula: a) la frecuencia de esta luz; b) la energía de un fotón en julios y en electronvoltios. Datos: h = 6,626·10⁻³⁴ J·s; c = 3,00·10⁸ m/s; 1 eV = 1,602·10⁻¹⁹ J.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

El efecto fotoeléctrico y el fotón#

~8 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque D (Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas): «Dualidad onda-corpúsculo y cuantización: hipótesis de De Broglie y efecto fotoeléctrico. Principio de incertidumbre formulado en base al tiempo y la energía.»

El efecto fotoeléctrico es la emisión de electrones por la superficie de un metal cuando incide luz sobre él. Descubierto por Hertz en 1887 y estudiado experimentalmente por Lenard, presentaba rasgos imposibles de explicar con el modelo ondulatorio clásico de la luz. Según la física clásica, la energía de una onda depende de su intensidad (su amplitud), de modo que una luz muy intensa, por débil que fuera su frecuencia, debería arrancar electrones si se esperaba el tiempo suficiente para acumular energía. La experiencia mostraba lo contrario, y ahí estaba el enigma (Fig. 2).

Esquema del efecto fotoeléctrico: fotones que arrancan electrones de un metal

Fig. 2 ↓

Los hechos experimentales eran tres y muy tercos. Primero, existe una frecuencia umbral f₀ característica de cada metal: por debajo de ella no se emite ningún electrón, por intensa que sea la luz; por encima, la emisión es inmediata, incluso con luz muy débil. Segundo, la energía cinética máxima de los electrones emitidos no depende de la intensidad de la luz, sino solo de su frecuencia, creciendo linealmente con ella. Tercero, aumentar la intensidad de una luz por encima del umbral solo aumenta el número de electrones arrancados (la corriente), no su energía. Ninguno de estos hechos encajaba con la imagen de la luz como onda continua.

En 1905 —su « año milagroso »— Albert Einstein dio la explicación que le valdría el Premio Nobel de Física de 1921. Retomó la cuantización de Planck y postuló que la luz no solo se emite, sino que también se propaga y se absorbe en cuantos de energía discretos, los fotones, cada uno con energía E = h·f. El efecto fotoeléctrico es entonces un choque « uno a uno »: un fotón entrega toda su energía a un único electrón. Para escapar del metal, el electrón debe gastar como mínimo una energía W₀, el trabajo de extracción (función trabajo), característico de cada material. La energía sobrante se convierte en energía cinética del electrón emitido.

El balance energético se expresa en la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico: h·f = W₀ + Ec,máx, donde Ec,máx es la energía cinética máxima del electrón. De aquí surge de forma natural la frecuencia umbral: la luz solo arranca electrones si su fotón aporta al menos el trabajo de extracción, es decir, si h·f ≥ W₀, lo que define f₀ = W₀/h (y la longitud de onda umbral λ₀ = h·c/W₀). Representando Ec,máx frente a f se obtiene una recta cuya pendiente es la constante de Planck h y cuya intersección con el eje horizontal marca f₀ (Fig. 3): el experimento de Millikan (1916) midió así h y confirmó la teoría de Einstein. El efecto fotoeléctrico es la prueba decisiva de la naturaleza corpuscular de la luz.

Energía cinética máxima frente a la frecuencia en el efecto fotoeléctrico

Fig. 3 ↓

Conviene distinguir con cuidado dos parejas de magnitudes. La frecuencia (o la energía del fotón) gobierna si hay emisión y con cuánta energía sale el electrón; la intensidad (número de fotones por segundo) gobierna cuántos electrones salen. Por eso una luz roja intensísima puede no arrancar ni un electrón de un metal cuyo umbral esté en el ultravioleta, mientras que una débil luz ultravioleta lo hace al instante.

Vocabulario

→ Tarjetas

Efecto fotoeléctricoEmisión de electrones por un metal iluminado con radiación de frecuencia suficiente.
FotónCuanto de radiación electromagnética, de energía E = h·f. Es indivisible: se absorbe entero o no se absorbe.
Trabajo de extracción (W₀)Energía mínima para arrancar un electrón del metal: W₀ = h·f₀. Depende solo del material.
Frecuencia umbral (f₀)Frecuencia por debajo de la cual no hay emisión, sea cual sea la intensidad de la luz.
Potencial de frenadoTensión que hay que aplicar para detener a los electrones más rápidos; cumple e·V_f = E_c,máx.

Ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico

h \cdot f = W_0 + E_{c,\text{máx}}

La energía del fotón h\cdot f se reparte entre el trabajo de extracción W_0 (energía mínima para arrancar el electrón) y la energía cinética máxima del electrón emitido.

Frecuencia y longitud de onda umbral

f_0 = \dfrac{W_0}{h} \qquad \lambda_0 = \dfrac{h \cdot c}{W_0}

Por debajo de f_0 (o por encima de \lambda_0) no hay emisión. La emisión exige f \ge f_0, es decir, \lambda \le \lambda_0.

Energía cinética máxima y potencial de frenado

E_{c,\text{máx}} = \tfrac{1}{2} m_e v_{\text{máx}}^2 = e \cdot V_f

La energía cinética máxima se puede medir mediante el potencial de frenado V_f que detiene a los electrones más rápidos: E_{c,\text{máx}} = e\cdot V_f.

Interaktive Grafik lädt…

Ejemplo resuelto

Efecto fotoeléctrico sobre cobre con luz ultravioleta

El cobre tiene un trabajo de extracción W₀ = 4,7 eV. Se ilumina su superficie con luz ultravioleta de longitud de onda λ = 200 nm. a) Comprueba que se produce efecto fotoeléctrico hallando la longitud de onda umbral. b) Calcula la energía cinética máxima de los electrones emitidos, en eV. Datos: h = 6,626·10⁻³⁴ J·s; c = 3,00·10⁸ m/s; 1 eV = 1,602·10⁻¹⁹ J.

Trabajo de extracción en julios
Convertimos W₀ al SI: W₀ = 4,7 eV · 1,602·10⁻¹⁹ J/eV = 7,53·10⁻¹⁹ J.
Longitud de onda umbral
La luz arranca electrones si λ ≤ λ₀, con λ₀ = h·c/W₀.
Comprobar la condición de emisión
Como λ = 200 nm < λ₀ = 264 nm, la luz incidente sí produce efecto fotoeléctrico.
Energía del fotón incidente
Calculamos la energía de cada fotón de 200 nm.
Energía cinética máxima
Aplicamos la ecuación de Einstein y despejamos Ec,máx.

Resultado: La longitud de onda umbral del cobre es 264 nm; como 200 nm < 264 nm sí hay emisión, y los electrones salen con una energía cinética máxima de 1,50 eV (≈ 2,40·10⁻¹⁹ J).

Explicación paso a paso6 pasos

1
El efecto fotoeléctrico es el experimento que obligó a inventar el fotón. Para entender por qué, hay que ver primero qué predecía la teoría ondulatoria y en qué tres puntos concretos falló.
2
Predicción ondulatoria número uno: si la luz es una onda, su energía está repartida por todo el frente, así que subiendo la intensidad siempre se podría acumular energía suficiente para arrancar un electrón. Bastaría con esperar. El experimento dice que no: por debajo de cierta frecuencia no sale ningún electrón, se espere lo que se espere.
3
Predicción número dos: con luz muy débil, el electrón debería tardar en acumular la energía necesaria, minutos incluso. El experimento dice que la emisión es instantánea. Y número tres: la energía de los electrones debería crecer con la intensidad, y en realidad crece con la FRECUENCIA.
4
La propuesta de Einstein resuelve los tres a la vez con una sola idea: la luz llega en paquetes indivisibles, y cada electrón absorbe UN paquete entero o ninguno.
La idea: la luz llega en paquetes
$E_{\text{fotón}} = h\,f$
La intensidad no es la energía de cada paquete: es CUÁNTOS paquetes llegan por segundo. Más intensidad son más fotones, no fotones más energéticos, y eso reordena las tres predicciones anteriores.
5
Con esa idea, el balance de energía de un electrón que escapa se escribe en una línea: lo que trae el fotón se reparte entre lo que cuesta salir del metal y lo que le sobra al electrón en forma de energía cinética.
La ecuación de Einstein
$h\,f = W_0 + E_{c,\max}, \qquad W_0 = h\,f_0$
W₀ es el trabajo de extracción, una propiedad del metal; E_c,máx es la energía del electrón más favorecido, el que estaba en la superficie. Si h·f < W₀ el paquete no alcanza y no hay emisión: ahí está la frecuencia umbral.
6
Y la confirmación cuantitativa: al representar la energía cinética máxima frente a la frecuencia sale una recta cuya pendiente es la constante de Planck, la MISMA para todos los metales. Millikan la midió en 1916 intentando refutar a Einstein, y acabó confirmándolo.
La recta que se mide en el laboratorio
$E_{c,\max} = h\,f - W_0 \quad \Rightarrow \quad \text{pendiente} = h$
Cambiar de metal desplaza la recta pero no la inclina: el corte con el eje horizontal da f₀ y la ordenada en el origen vale −W₀. Es uno de los pocos casos en que una constante fundamental se lee directamente de una gráfica.

Objetivo Selectividad

Aplicar la ecuación de Einstein h·f = W₀ + Ec,máx para calcular la energía cinética máxima de los fotoelectrones, la frecuencia (o longitud de onda) umbral, o el trabajo de extracción.
Razonar cualitativamente la diferencia entre el papel de la frecuencia y el de la intensidad de la luz, justificando por qué existe una frecuencia umbral y por qué la física clásica no explica el efecto.
La ecuación de Einstein es h·f = W₀ + E_c,máx, y cada término tiene su lectura: h·f es lo que trae el fotón, W₀ el trabajo de extracción del metal y E_c,máx la energía sobrante del electrón más favorecido. Escribir las tres lecturas resuelve el apartado teórico.
Enumera las TRES observaciones que el modelo ondulatorio no puede explicar: la existencia de una frecuencia umbral, la instantaneidad del efecto y que la energía cinética máxima dependa de la frecuencia y no de la intensidad. Es la cuestión razonada más frecuente del tema.

Errores frecuentes

Creer que aumentar la intensidad de la luz aumenta la energía cinética de los electrones: la intensidad solo aumenta el número de electrones emitidos, no su energía.
Olvidar que la condición de emisión es f ≥ f₀ (o λ ≤ λ₀): si la luz tiene menor frecuencia que la umbral, no se emite ningún electrón aunque sea muy intensa, y Ec,máx no puede ser negativa.
Suponer que subiendo la intensidad se arrancan electrones por debajo de la frecuencia umbral. No se puede: cada electrón interacciona con UN fotón, y muchos fotones de energía insuficiente siguen siendo insuficientes.
Confundir el trabajo de extracción con la energía cinética máxima. W₀ = h·f₀ es una propiedad del METAL y no depende de la luz; E_c,máx depende de la frecuencia de la luz incidente.

Repaso activo

El cesio tiene un trabajo de extracción W₀ = 1,9 eV. Sobre su superficie incide luz de longitud de onda 480 nm. a) ¿Se produce efecto fotoeléctrico? Justifícalo calculando la longitud de onda umbral. b) Si lo hay, calcula la energía cinética máxima de los electrones emitidos, en eV. Datos: h = 6,626·10⁻³⁴ J·s; c = 3,00·10⁸ m/s; 1 eV = 1,602·10⁻¹⁹ J.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Dualidad onda-corpúsculo: hipótesis de De Broglie#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque D (Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas): «Dualidad onda-corpúsculo y cuantización: hipótesis de De Broglie y efecto fotoeléctrico. Principio de incertidumbre formulado en base al tiempo y la energía.»

Hacia 1924 la física vivía una doble paradoja sobre la naturaleza de la luz. La interferencia y la difracción (experimento de Young) probaban que la luz es una onda; el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton probaban que es un chorro de partículas (fotones). La respuesta fue aceptar que la luz tiene una doble naturaleza onda-corpúsculo: se comporta como onda al propagarse y como partícula al intercambiar energía. Louis de Broglie, en su tesis doctoral, dio un paso audaz y simétrico: si la luz (clásicamente una onda) tiene aspecto corpuscular, quizá la materia (clásicamente corpúsculos) tenga aspecto ondulatorio (Fig. 4).

Dualidad onda-corpúsculo: difracción de un haz de electrones

Fig. 4 ↓

De Broglie postuló que a toda partícula con cantidad de movimiento p = m·v le corresponde una onda asociada (« onda de materia ») cuya longitud de onda es λ = h/p = h/(m·v). Esta expresión generaliza la relación que ya cumplían los fotones, para los que p = E/c = h/λ. La constante de Planck h, de nuevo, fija la escala: como es minúscula, la longitud de onda de los objetos macroscópicos es ridículamente pequeña e indetectable, lo que explica por qué nunca observamos efectos ondulatorios en una pelota o un coche. En cambio, para partículas muy ligeras como el electrón, λ alcanza valores comparables a las distancias interatómicas y los efectos ondulatorios se hacen patentes.

La hipótesis, aparentemente especulativa, recibió una confirmación experimental espectacular. En 1927 Davisson y Germer (y de forma independiente G. P. Thomson) lograron difractar electrones al hacerlos incidir sobre un cristal, obteniendo el mismo patrón de máximos y mínimos que producen los rayos X: los electrones, partículas con masa y carga, se comportaban como ondas. La difracción de electrones es hoy una herramienta cotidiana (microscopía electrónica). De Broglie recibió el Premio Nobel de Física de 1929. Esta dualidad onda-corpúsculo, válida para toda la materia y la radiación, es uno de los pilares conceptuales de la mecánica cuántica.

En los problemas conviene tener presente cómo escala λ con la energía. Cuanto mayor es la cantidad de movimiento de la partícula (más masa o más velocidad), menor es su longitud de onda asociada. Para un electrón acelerado desde el reposo por una diferencia de potencial V, la energía cinética adquirida es Ec = e·V, de donde el momento es p = √(2·m·Ec) = √(2·m·e·V), y la longitud de onda λ = h/√(2·m·e·V). Así, aumentar la tensión de aceleración reduce λ, lo que permite « afinar » la resolución de un microscopio electrónico.

Vocabulario

→ Tarjetas

Hipótesis de De BroglieToda partícula con cantidad de movimiento p lleva asociada una longitud de onda λ = h/p.
Cantidad de movimiento (p)p = m·v en el caso no relativista; es la magnitud que entra en la fórmula de De Broglie, no la velocidad sola.
Difracción de electronesExperimento de Davisson y Germer (1927): un haz de electrones difractado por un cristal produce el mismo patrón que una onda.
Dualidad onda-corpúsculoPrincipio general: toda entidad cuántica presenta comportamiento ondulatorio o corpuscular según el experimento.
Microscopio electrónicoInstrumento que aprovecha la pequeñísima longitud de onda de los electrones para resolver detalles inaccesibles a la luz.

Longitud de onda de De Broglie

\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m \cdot v}

Toda partícula de cantidad de movimiento p = m\cdot v lleva asociada una onda de longitud \lambda. La constante h fija la escala: \lambda es apreciable solo para partículas muy ligeras.

De Broglie para un electrón acelerado

\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2 \, m \, E_c}} = \dfrac{h}{\sqrt{2 \, m \, e \, V}}

Si un electrón de carga e se acelera desde el reposo con una diferencia de potencial V, adquiere E_c = e\cdot V y momento p = \sqrt{2\,m\,e\,V}, de donde sale \lambda.

Ejemplo resuelto

Longitud de onda de un electrón acelerado

Un electrón inicialmente en reposo se acelera mediante una diferencia de potencial de 100 V. a) Calcula su energía cinética y su velocidad (tratamiento no relativista). b) Determina su longitud de onda de De Broglie. Datos: h = 6,626·10⁻³⁴ J·s; m_e = 9,109·10⁻³¹ kg; e = 1,602·10⁻¹⁹ C.

Energía cinética adquirida
El trabajo del campo eléctrico se convierte en energía cinética: Ec = e·V.
Velocidad del electrón
Despejamos v de Ec = ½·m·v².
Cantidad de movimiento
Calculamos p = m·v (equivale a p = √(2·m·Ec)).
Longitud de onda de De Broglie
Aplicamos λ = h/p.

Resultado: El electrón adquiere Ec = 1,60·10⁻¹⁷ J (v ≈ 5,93·10⁶ m/s) y le corresponde una longitud de onda de De Broglie λ ≈ 1,23·10⁻¹⁰ m (123 pm), del orden de las distancias interatómicas: por eso difracta en los cristales.

Objetivo Selectividad

Calcular la longitud de onda de De Broglie λ = h/p de una partícula a partir de su masa y velocidad, o a partir de su energía cinética (incluido el caso de un electrón acelerado por una diferencia de potencial V).
Justificar por qué la naturaleza ondulatoria de la materia solo se manifiesta en partículas muy ligeras (electrones) y es inobservable en objetos macroscópicos, razonando sobre el valor de λ.
Aplica λ = h/p = h/(m·v) calculando SIEMPRE el momento primero. Para un electrón acelerado por una diferencia de potencial, el atajo es p = √(2·m·e·ΔV), y aparece una y otra vez en los enunciados.
Justifica con números por qué no vemos la onda de un objeto cotidiano: para una pelota de 0,1 kg a 10 m/s sale λ ≈ 6,6·10⁻³⁴ m, inconcebiblemente menor que cualquier obstáculo con el que pudiera difractarse.

Errores frecuentes

Usar la masa en gramos o la velocidad en km/h sin pasar al SI (kg y m/s), lo que altera el resultado en varios órdenes de magnitud.
Confundir la longitud de onda de De Broglie λ = h/p de una partícula con masa con la relación λ = h·c/E válida solo para fotones (sin masa): no se debe usar c en λ = h/(m·v).
Sustituir en λ = h/(m·v) con la masa en unidades de masa atómica o la velocidad en km/s. Todo en unidades del SI —kilogramos y metros por segundo—, o el resultado se desvía varios órdenes de magnitud.
Describir la onda de De Broglie como algo que «acompaña» a la partícula. La longitud de onda asociada describe el comportamiento ondulatorio de la propia partícula, y es la que se observa al difractar electrones en un cristal.

Repaso activo

Un protón (m = 1,67·10⁻²⁷ kg) se mueve con una velocidad de 2,0·10⁶ m/s. a) Calcula su longitud de onda de De Broglie. b) Compárala con la de un balón de fútbol (m = 0,45 kg) que se mueve a 25 m/s y explica por qué solo en un caso son observables los efectos ondulatorios. Dato: h = 6,626·10⁻³⁴ J·s.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Principio de incertidumbre de Heisenberg#

~5 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque D (Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas): «Dualidad onda-corpúsculo y cuantización: hipótesis de De Broglie y efecto fotoeléctrico. Principio de incertidumbre formulado en base al tiempo y la energía.»Alcance de este apunte: El currículo formula el principio de incertidumbre «en base al tiempo y la energía»; la forma posición-momento se incluye aquí porque es la que piden habitualmente los exámenes de la EvAU y porque sin ella la otra no se entiende.

El principio de incertidumbre: localización frente a definición del momento

La dualidad onda-corpúsculo tiene una consecuencia profunda y desconcertante: a escala cuántica no es posible conocer simultáneamente, con precisión arbitraria, ciertas parejas de magnitudes. En 1927 Werner Heisenberg formuló su principio de incertidumbre (o de indeterminación): no se puede determinar a la vez, con exactitud ilimitada, la posición y la cantidad de movimiento de una partícula. Cuanto mejor se conoce una, peor se conoce la otra. No se trata de una limitación de nuestros aparatos, sino de un límite intrínseco de la naturaleza, ligado al carácter ondulatorio de la materia (una onda perfectamente localizada en el espacio no tiene una longitud de onda —y por tanto un momento— bien definido).

Cuantitativamente, el producto de las incertidumbres en la posición (Δx) y en la cantidad de movimiento (Δp) no puede ser menor que una cantidad del orden de la constante de Planck reducida ħ = h/(2π): Δx·Δp ≥ ħ/2. Aquí ħ = h/2π = 1,055·10⁻³⁴ J·s. La relación impone que, si se localiza muy bien una partícula (Δx pequeño), su momento queda muy indeterminado (Δp grande), y viceversa. De nuevo, como ħ es minúscula, este límite es por completo irrelevante para objetos macroscópicos —la indeterminación de un coche es indetectable—, pero domina el comportamiento de electrones y átomos.

Existe una segunda relación de incertidumbre, entre la energía y el tiempo: ΔE·Δt ≥ ħ/2. Se interpreta como que un estado que existe solo durante un intervalo de tiempo Δt corto tiene una energía intrínsecamente indeterminada en una cantidad ΔE. Esta versión explica, por ejemplo, la anchura natural de las líneas espectrales: cuanto menor es la vida media de un estado atómico excitado, mayor es la dispersión de energía de los fotones que emite al desexcitarse.

El principio de incertidumbre rompe con el determinismo de la física clásica. En la mecánica de Newton, conocidas la posición y la velocidad de una partícula y las fuerzas que actúan, su trayectoria futura queda fijada. En el mundo cuántico ni siquiera tiene sentido hablar de una trayectoria precisa: la partícula se describe mediante una función de onda que da solo probabilidades. Una imagen intuitiva es el « paquete de ondas »: para localizar una partícula en una región estrecha hay que superponer muchas ondas de distinta longitud de onda (distinto momento), de modo que estrechar Δx ensancha inevitablemente Δp. Por todo ello, Heisenberg recibió el Premio Nobel de Física de 1932.

Vocabulario

→ Tarjetas

Principio de incertidumbreLímite fundamental al producto de las indeterminaciones de dos magnitudes complementarias.
Constante reducida (ħ)ħ = h/(2π) = 1,05·10⁻³⁴ J·s. Es la que aparece en las desigualdades de Heisenberg.
Magnitudes complementariasPares como posición y momento, o energía y tiempo, que no admiten valores definidos simultáneamente.
Indeterminación (Δ)Dispersión intrínseca del valor de una magnitud, no el error del instrumento con que se mide.
Anchura de una línea espectralConsecuencia observable de ΔE·Δt ≥ ħ/2: un estado de vida corta tiene energía mal definida y emite una raya ancha.

Incertidumbre posición-momento

\Delta x \cdot \Delta p \geq \dfrac{\hbar}{2}

El producto de las indeterminaciones de la posición y del momento tiene una cota inferior. \hbar = h/2\pi = 1{,}055 \times 10^{-34}~\text{J}\cdot\text{s}.

Incertidumbre energía-tiempo

\Delta E \cdot \Delta t \geq \dfrac{\hbar}{2}

Un estado de vida media \Delta t corta tiene una energía indeterminada en \Delta E. Explica la anchura natural de las líneas espectrales.

Ejemplo resuelto

Indeterminación del momento de un electrón confinado

Un electrón está confinado en una región de tamaño Δx = 1,0·10⁻¹⁰ m (el orden del tamaño de un átomo). a) Calcula la indeterminación mínima de su cantidad de movimiento. b) Calcula la indeterminación mínima de su velocidad y comenta el resultado. Datos: ħ = 1,055·10⁻³⁴ J·s; m_e = 9,109·10⁻³¹ kg.

Plantear la relación de Heisenberg
El caso límite (mínima indeterminación) corresponde a la igualdad Δx·Δp = ħ/2.
Calcular Δp
Sustituimos los datos.
Pasar a indeterminación de la velocidad
Como p = m·v, la indeterminación de la velocidad es Δv = Δp/m_e.
Interpretar
La indeterminación de la velocidad (≈ 580 km/s) es enorme, del orden de la propia velocidad del electrón en el átomo. Confirma que para una partícula tan ligera y tan localizada la incertidumbre cuántica es decisiva: no tiene sentido hablar de una trayectoria precisa.

Resultado: La indeterminación mínima del momento es Δp ≈ 5,3·10⁻²⁵ kg·m/s, equivalente a una indeterminación de la velocidad Δv ≈ 5,8·10⁵ m/s: comparable a la velocidad típica del electrón, lo que muestra que su movimiento solo puede describirse en términos probabilísticos.

Objetivo Selectividad

Aplicar las relaciones Δx·Δp ≥ ħ/2 y ΔE·Δt ≥ ħ/2 para estimar la indeterminación mínima de la posición, del momento (o la velocidad) o de la energía de una partícula.
Interpretar el principio de incertidumbre como un límite fundamental de la naturaleza (no instrumental) y razonar por qué es irrelevante a escala macroscópica pero decisivo a escala atómica.
Enuncia las dos formas con su significado: Δx·Δp ≥ ħ/2 impide conocer a la vez posición y momento con precisión arbitraria, y ΔE·Δt ≥ ħ/2 permite estados con energía indefinida durante tiempos muy cortos. Recuerda que ħ = h/(2π) = 1,05·10⁻³⁴ J·s.
Deja explícito que NO es una limitación de los aparatos sino una propiedad de la naturaleza: aun con instrumentos perfectos, el producto de las indeterminaciones tiene un mínimo. Esa frase es la que distingue una respuesta correcta de una aproximada.

Errores frecuentes

Entender la incertidumbre como un mero error experimental o un defecto de los instrumentos, en lugar de un límite intrínseco impuesto por la naturaleza cuántica de la materia.
Usar h en lugar de ħ = h/(2π) en las relaciones, u olvidar el factor 1/2 (Δx·Δp ≥ ħ/2), obteniendo resultados que difieren en un factor 2π.
Usar h donde va ħ. En Δx·Δp ≥ ħ/2 aparece la constante reducida ħ = h/(2π); poner h multiplica el límite por 6,28 y falsea el orden de magnitud.
Interpretar el principio como un error de medida. La indeterminación persiste con la medida perfecta: no es que no sepamos las dos magnitudes, es que la partícula no posee simultáneamente valores definidos de ambas.

Repaso activo

El electrón de un átomo de hidrógeno está confinado en una región del tamaño del átomo, Δx ≈ 1,0·10⁻¹⁰ m. a) Estima la indeterminación mínima de su cantidad de movimiento. b) Estima la indeterminación mínima de su velocidad. Datos: ħ = 1,055·10⁻³⁴ J·s; m_e = 9,109·10⁻³¹ kg.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Aplicaciones de la física cuántica#

~5 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque D (Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas): «Dualidad onda-corpúsculo y cuantización: hipótesis de De Broglie y efecto fotoeléctrico. Principio de incertidumbre formulado en base al tiempo y la energía.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Criterio de evaluación 2.3: «Conocer aplicaciones prácticas y productos útiles para la sociedad en el campo tecnológico, industrial y biosanitario, analizándolos en base a los modelos, las leyes y las teorías de la física.»

Mapa de aplicaciones de la física cuántica y su fundamento

Lejos de ser una abstracción teórica, la física cuántica es la base de buena parte de la tecnología que sostiene el mundo actual: se estima que una fracción muy importante del PIB de las economías desarrolladas depende, directa o indirectamente, de dispositivos cuánticos. El currículo cierra el bloque pidiendo reconocer estas aplicaciones tecnológicas, lo que enlaza con la competencia específica CE6 sobre el carácter multidisciplinar de la física y su impacto social. El hilo conductor es que los fenómenos estudiados en este tema —la cuantización de la energía, el efecto fotoeléctrico y la dualidad onda-corpúsculo— se traducen en aparatos concretos.

El efecto fotoeléctrico, además de su valor histórico, es la base de los dispositivos que convierten luz en señal eléctrica: las células fotoeléctricas y fotodiodos de los sensores de luz, las puertas automáticas, los paneles fotovoltaicos (donde los fotones liberan portadores de carga en un semiconductor, fenómeno emparentado con el fotoeléctrico) y los sensores de las cámaras digitales. En todos ellos la clave es que un fotón con energía suficiente arranca o promociona un electrón, generando una corriente medible.

La cuantización de la energía y la emisión/absorción de fotones entre niveles atómicos están detrás del LED (diodo emisor de luz), del láser (luz coherente producida por emisión estimulada entre niveles cuantizados) y de toda la espectroscopía, que identifica sustancias por las líneas discretas de su espectro. La dualidad onda-corpúsculo, por su parte, hace posible el microscopio electrónico: al usar electrones, con longitud de onda de De Broglie mucho menor que la de la luz visible, se alcanza un poder de resolución muchísimo mayor que el de un microscopio óptico, permitiendo « ver » virus y estructuras atómicas.

La electrónica moderna es, en su raíz, cuántica. El comportamiento de los electrones en los semiconductores (la teoría de bandas) explica el funcionamiento del transistor y, con él, de todos los circuitos integrados, ordenadores y teléfonos. Otras aplicaciones de raíz cuántica son los relojes atómicos (que dan el patrón de tiempo y sustentan el GPS), la resonancia magnética en medicina y, en la frontera actual, la computación cuántica, que aprovecha la superposición de estados. Comprender los principios de este tema permite entender por qué la revolución cuántica del siglo XX sigue impulsando la tecnología del XXI.

Vocabulario

→ Tarjetas

Emisión estimuladaUn fotón induce la emisión de otro idéntico en fase, dirección y frecuencia; es el mecanismo del láser.
Inversión de poblaciónSituación, provocada artificialmente, en la que hay más átomos en el nivel excitado que en el fundamental; condición necesaria para que un láser funcione.
SemiconductorMaterial con una banda prohibida estrecha; su conductividad se controla añadiendo impurezas, y en eso se basan el diodo y el transistor.
Célula fotovoltaicaDispositivo que convierte luz en corriente eléctrica aprovechando que los fotones liberan portadores de carga en un semiconductor.
Poder de resoluciónDistancia mínima entre dos puntos que un instrumento distingue como separados; está limitado por la longitud de onda empleada.

Ejemplo resuelto

Por qué el microscopio electrónico ve más que el óptico

Un microscopio óptico usa luz visible de longitud de onda media λ_luz ≈ 550 nm; un microscopio electrónico usa electrones acelerados con λ_e ≈ 0,12 nm (122 pm, como el del ejemplo anterior). El poder de resolución (la menor distancia distinguible) mejora cuanto menor es la longitud de onda empleada. a) Calcula cuántas veces menor es la longitud de onda del electrón. b) Comenta qué fenómeno cuántico lo hace posible.

Pasar ambas longitudes de onda a las mismas unidades
λ_luz = 550 nm; λ_e = 0,12 nm.
Calcular el cociente de longitudes de onda
Comparamos la longitud de onda de la luz con la del electrón.
Interpretar el resultado
La longitud de onda del electrón es unas 4600 veces menor, de modo que el microscopio electrónico distingue detalles miles de veces más finos que el óptico.
Identificar el fenómeno cuántico
La razón es la dualidad onda-corpúsculo (hipótesis de De Broglie, λ = h/p): los electrones, partículas con masa, llevan una onda asociada de longitud de onda mucho menor que la de la luz visible, lo que aumenta enormemente la resolución.

Resultado: La longitud de onda del electrón es unas 4,6·10³ veces menor que la de la luz visible; gracias a la dualidad onda-corpúsculo de De Broglie, el microscopio electrónico alcanza una resolución miles de veces superior a la del óptico.

Objetivo Selectividad

Asociar correctamente cada aplicación tecnológica con el fenómeno cuántico en que se basa (efecto fotoeléctrico → células fotovoltaicas y sensores; cuantización de niveles → láser, LED y espectroscopía; dualidad onda-corpúsculo → microscopio electrónico).
Argumentar, de forma cualitativa y honesta, la relevancia social y tecnológica de la física cuántica, conectándola con dispositivos de uso cotidiano.
Encadena aplicación y fundamento en la misma frase: el láser con la emisión ESTIMULADA entre niveles; el microscopio electrónico con la longitud de onda de De Broglie; la célula fotovoltaica con el efecto fotoeléctrico; el LED y el transistor con la estructura de bandas de los semiconductores.
Si piden justificar la resolución del microscopio electrónico, hazlo con números: el poder de resolución está limitado por la longitud de onda, y la de un electrón acelerado es del orden de 10⁻¹¹ m frente a los 5·10⁻⁷ m de la luz visible.

Errores frecuentes

Atribuir todas las aplicaciones a un único fenómeno (por ejemplo, explicar el microscopio electrónico por el efecto fotoeléctrico en lugar de por la dualidad onda-corpúsculo).
Confundir el microscopio electrónico con el microscopio óptico, o no relacionar su mayor resolución con la menor longitud de onda de De Broglie de los electrones.
Explicar el láser por la emisión espontánea. Un láser funciona por emisión ESTIMULADA: un fotón provoca la emisión de otro idéntico, en fase y en la misma dirección, y de ahí viene su coherencia.
Decir que un microscopio electrónico ve mejor porque aumenta más. Aumentar sin resolución solo produce una imagen borrosa y grande; lo que mejora es la RESOLUCIÓN, y la mejora la longitud de onda pequeña.

Repaso activo

Explica razonadamente en qué fenómeno cuántico de los estudiados en el tema (cuantización de Planck, efecto fotoeléctrico o dualidad onda-corpúsculo) se basa cada uno de los siguientes dispositivos y por qué: a) un panel solar fotovoltaico; b) el microscopio electrónico; c) un láser.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

Planificar un repaso

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Física cuántica

5 secciones~30 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

Crisis de la física clásica: cuantización y la hipótesis de Planck#

El efecto fotoeléctrico y el fotón#

Dualidad onda-corpúsculo: hipótesis de De Broglie#

Principio de incertidumbre de Heisenberg#

Aplicaciones de la física cuántica#

Física cuántica

Puntos clave

Energía de un fotón de luz azul

Puntos clave

Efecto fotoeléctrico sobre cobre con luz ultravioleta

Puntos clave

Longitud de onda de un electrón acelerado

Puntos clave

Indeterminación del momento de un electrón confinado

Puntos clave

Por qué el microscopio electrónico ve más que el óptico

Fuentes

Física cuántica

Puntos clave

Energía de un fotón de luz azul

Puntos clave

Efecto fotoeléctrico sobre cobre con luz ultravioleta

Puntos clave

Longitud de onda de un electrón acelerado

Puntos clave

Indeterminación del momento de un electrón confinado

Puntos clave

Por qué el microscopio electrónico ve más que el óptico

Fuentes