Física relativista

Crisis de la física clásica y postulados de Einstein#

~7 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque D (Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas): «Principios fundamentales de la Relatividad especial y sus consecuencias: contracción de la longitud, dilatación del tiempo, energía y masa relativistas.»

A finales del siglo XIX la física clásica parecía completa: la mecánica de Newton describía el movimiento y la teoría electromagnética de Maxwell, la luz como una onda. Sin embargo, ambos marcos eran incompatibles. Las ecuaciones de Maxwell predecían que la luz se propaga en el vacío con una velocidad fija c ≈ 3·10⁸ m/s, pero las transformaciones de Galileo —que regían el cambio entre sistemas de referencia inerciales en la mecánica— exigían que cualquier velocidad se sumase o restase con la del observador. Si un observador persiguiera un rayo de luz, según Galileo debería medir una velocidad menor; según Maxwell, no. Esta contradicción es la « crisis » que abre la física moderna.

Para conciliar la mecánica con el electromagnetismo se postuló un medio universal, el « éter », en reposo absoluto, respecto del cual la luz tendría su velocidad c. El movimiento de la Tierra a través del éter debería producir un « viento de éter » detectable. En 1887, Albert Michelson y Edward Morley diseñaron un interferómetro de altísima precisión para medir la diferencia de tiempos de la luz al viajar en la dirección del movimiento terrestre y perpendicularmente a él. El resultado fue nulo: no se detectó ningún viento de éter. Este experimento, repetido y refinado durante décadas, demostró que la velocidad de la luz no depende del movimiento del observador y dejó sin sustento la hipótesis del éter.

En 1905, su « annus mirabilis », Albert Einstein resolvió la crisis renunciando al éter y elevando los hechos a principios. Su Relatividad especial descansa en DOS postulados. Primer postulado (principio de relatividad): las leyes de la física son idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales —aquellos que se mueven con velocidad constante uno respecto de otro—; no existe un sistema en reposo absoluto ni experimento mecánico u óptico que lo distinga. Segundo postulado (constancia de c): la velocidad de la luz en el vacío tiene el mismo valor c en todos los sistemas inerciales, con independencia del movimiento de la fuente o del observador.

El segundo postulado es revolucionario porque obliga a abandonar el carácter absoluto del tiempo y del espacio que asumía Newton. Si todos miden la misma c, entonces el tiempo y las longitudes deben cambiar de un observador a otro para que la velocidad de la luz salga siempre igual. Las transformaciones de Galileo se sustituyen por las transformaciones de Lorentz, que Hendrik Lorentz ya había escrito como un artificio matemático y que Einstein dotó de significado físico. De ellas emerge la magnitud central de toda la relatividad: el factor de Lorentz γ = 1/√(1 − v²/c²), siempre mayor o igual que 1, que crece sin límite cuando v se aproxima a c (véase Fig. 1) y que mide « cuánto » se separan las predicciones relativistas de las clásicas.

Esquema del interferómetro de Michelson-Morley

Fig. 1 ↓

Conviene fijar el régimen de validez. Para velocidades cotidianas (un coche, un avión, incluso un satélite) v/c es minúsculo, γ ≈ 1 y la mecánica de Newton es una excelentísima aproximación: la relatividad no la contradice, la contiene como caso límite (principio de correspondencia). Los efectos relativistas solo se vuelven apreciables a velocidades comparables a c, como las de las partículas en aceleradores o los rayos cósmicos. Por eso la relatividad no se « notaba » antes: la naturaleza la había ocultado tras un γ casi igual a la unidad.

Vocabulario

→ Tarjetas

Sistema de referencia inercialAquel en el que se cumple la ley de inercia; se mueve con velocidad constante respecto de cualquier otro inercial.
Éter luminíferoMedio hipotético del siglo XIX en el que se suponía que se propagaba la luz; el experimento de Michelson y Morley no halló rastro de él.
Postulados de EinsteinInvariancia de las leyes físicas en todos los sistemas inerciales e invariancia de la velocidad de la luz en el vacío.
Invariante relativistaMagnitud que todos los observadores miden igual; c lo es, y el tiempo y la longitud no.
Transformaciones de LorentzRelaciones que sustituyen a las de Galileo entre dos sistemas inerciales y de las que salen la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud.

Factor de Lorentz

\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}

Magnitud adimensional que cuantifica los efectos relativistas. Vale 1 cuando v = 0 y tiende a infinito cuando v se aproxima a c; aquí v es la velocidad relativa entre los sistemas y c la velocidad de la luz en el vacío.

Velocidad de la luz en el vacío

c = 3.00 \times 10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}} \quad (\text{constante, igual en todo sistema inercial})

El segundo postulado: c es la misma para todos los observadores inerciales, sea cual sea el movimiento de la fuente o del receptor.

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Ejemplo resuelto

Cálculo del factor de Lorentz

Una partícula se mueve a una velocidad v = 0,60·c respecto del laboratorio. Determina el factor de Lorentz γ asociado a su movimiento. (Dato: c = 3,00·10⁸ m/s.)

Identificar β = v/c
Se trabaja con la velocidad relativa expresada como fracción de c. Aquí β = v/c = 0,60, magnitud adimensional.
Sustituir en la expresión de γ
Se calcula β² y se resta de 1 dentro de la raíz.
Operar la raíz
1 − 0,36 = 0,64, cuya raíz cuadrada es 0,80.
Resultado
El factor de Lorentz es mayor que 1, como debe ser; los efectos relativistas (dilatación, contracción) se amplifican en un factor 1,25.

Resultado: γ = 1,25 (adimensional). A v = 0,60·c los relojes en movimiento se dilatan y las longitudes se contraen en un factor 1,25.

Objetivo Selectividad

Enunciar con precisión los dos postulados de Einstein y explicar por qué las transformaciones de Galileo y el experimento de Michelson-Morley hacían insostenible la física clásica.
Definir el factor de Lorentz γ, justificar que γ ≥ 1 y calcular su valor para una velocidad dada, identificando el límite clásico γ → 1 cuando v ≪ c.
Razonar cualitativamente, a partir de la constancia de c, por qué el tiempo y las longitudes dejan de ser absolutos.
Enuncia los dos postulados en este orden y con estas palabras: (1) las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales; (2) la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores, sea cual sea el movimiento de la fuente. El segundo es el que rompe con Galileo.
Cuenta el experimento de Michelson y Morley por su RESULTADO y no por su montaje: no se detectó ninguna diferencia en la velocidad de la luz según la dirección, y ese resultado nulo dejó sin base la hipótesis del éter.

Errores frecuentes

Creer que el experimento de Michelson-Morley « midió » la velocidad de la luz: lo que demostró fue su independencia del movimiento del observador (resultado nulo, sin viento de éter).
Confundir el principio de relatividad (válido ya en Galileo: las leyes son iguales en todo sistema inercial) con la novedad einsteiniana (que esa igualdad incluye también las leyes del electromagnetismo y, por tanto, la constancia de c).
Aplicar la relatividad a sistemas de referencia acelerados o no inerciales: la Relatividad especial solo trata sistemas inerciales.
Resumir la relatividad como que «todo es relativo». Es al revés: postula que hay cosas ABSOLUTAS —las leyes físicas y la velocidad de la luz— y son el tiempo y el espacio los que dejan de serlo.
Componer velocidades a la manera galileana cuando interviene la luz. Un haz emitido desde una nave que viaja a 0,5c no se propaga a 1,5c: la composición relativista de velocidades nunca da un resultado mayor que c.

Repaso activo

Una nave se aleja de la Tierra a v = 0,80·c. (a) Calcula el factor de Lorentz γ correspondiente. (b) Enuncia los dos postulados de la Relatividad especial e indica cuál de ellos garantiza que un observador en la nave y otro en la Tierra midan el mismo valor c para un haz láser emitido desde la nave. (c) Explica por qué para una nave que volase a 300 m/s los efectos relativistas serían inapreciables.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Dilatación del tiempo#

~7 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque D (Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas): «Principios fundamentales de la Relatividad especial y sus consecuencias: contracción de la longitud, dilatación del tiempo, energía y masa relativistas.»

La primera consecuencia de los postulados es que el tiempo transcurre de manera distinta para observadores en movimiento relativo: « los relojes en movimiento atrasan ». La forma más limpia de deducirlo es el experimento mental del reloj de luz (véase Fig. 2): un pulso de luz rebota verticalmente entre dos espejos separados una distancia d. Para el observador que viaja con el reloj, la luz sube y baja en línea recta y mide un intervalo propio Δt₀. Para un observador respecto del cual el reloj se desplaza, la luz debe recorrer una trayectoria diagonal, más larga; como la velocidad de la luz es la MISMA para ambos (segundo postulado), recorrer más camino a la misma velocidad exige más tiempo. Resulta Δt = γ·Δt₀.

Reloj de luz y dilatación del tiempo

Fig. 2 ↓

Conviene definir con rigor el tiempo propio Δt₀: es el intervalo de tiempo medido por un único reloj que está presente en los dos sucesos (inicio y fin) en el mismo lugar; equivale a medir con un reloj en reposo respecto del fenómeno. Cualquier otro observador, que ve el reloj moverse, mide un intervalo dilatado Δt = γ·Δt₀ ≥ Δt₀, ya que γ ≥ 1. El tiempo propio es siempre el más corto: ningún intervalo medido puede ser menor que el propio.

La dilatación es RECÍPROCA y ahí reside su sutileza. Por el principio de relatividad ningún sistema inercial es privilegiado, de modo que cada observador ve atrasar el reloj del otro. No hay contradicción porque la simultaneidad también es relativa: dos sucesos simultáneos para un observador no lo son para otro. La aparente paradoja (« paradoja de los gemelos ») se resuelve al notar que el gemelo que viaja y regresa cambia de sistema de referencia (acelera y da la vuelta), rompiendo la simetría, y es él quien envejece menos.

La prueba experimental más célebre son los muones cósmicos. Los muones se crean en la alta atmósfera (a unos 10–15 km) por el choque de rayos cósmicos y tienen una vida media propia de unos 2,2 microsegundos. Viajando casi a c, en ese tiempo solo recorrerían unos cientos de metros y casi ninguno llegaría al suelo. Sin embargo, se detectan en abundancia a nivel del mar: desde la Tierra su « reloj interno » va más lento (Δt = γ·Δt₀), su vida media se dilata y les da tiempo de llegar. El mismo fenómeno se observa con relojes atómicos en aviones y, de forma cotidiana, en el sistema GPS, que debe corregir la marcha de los relojes de los satélites.

En los problemas conviene un protocolo claro: (1) identificar quién mide el tiempo propio Δt₀ (el reloj que está en el mismo lugar en los dos sucesos), (2) calcular γ con la velocidad relativa, (3) aplicar Δt = γ·Δt₀ para el observador que ve el reloj en movimiento. El error más frecuente es invertir la fórmula y obtener un intervalo menor que el propio, lo que es imposible.

Vocabulario

→ Tarjetas

Tiempo propio (Δt₀)Intervalo medido por un reloj en reposo respecto de los sucesos; es siempre el MÁS CORTO de todos los posibles.
Factor de Lorentz (γ)γ = 1/√(1 − v²/c²). Vale 1 en reposo, 1,15 a 0,5c y crece sin límite al acercarse a c.
Dilatación del tiempoΔt = γ·Δt₀: un reloj en movimiento se atrasa respecto de los que están en reposo en el laboratorio.
SucesoPunto del espacio-tiempo definido por un lugar y un instante; la relatividad compara sucesos, no objetos.
Simultaneidad relativaDos sucesos simultáneos para un observador pueden no serlo para otro que se mueva respecto de él.

Dilatación del tiempo

\Delta t = \gamma\,\Delta t_{0} = \dfrac{\Delta t_{0}}{\sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}

Δt₀ es el tiempo propio (medido por el reloj en reposo respecto del fenómeno, presente en ambos sucesos) y Δt el tiempo medido por el observador que ve el reloj en movimiento. Como γ ≥ 1, siempre Δt ≥ Δt₀: el tiempo propio es el mínimo.

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Ejemplo resuelto

Vida media de un muón en vuelo

Un muón se mueve a v = 0,98·c respecto de un detector en tierra. Su vida media medida en reposo (tiempo propio) es Δt₀ = 2,2 μs. (a) Calcula la vida media del muón medida desde el detector. (b) Comenta el resultado en relación con la llegada de muones cósmicos al nivel del mar. (Dato: c = 3,00·10⁸ m/s.)

Calcular β y β²
La velocidad como fracción de c es β = 0,98, luego β² = 0,9604.
Calcular el factor de Lorentz
Se evalúa γ = 1/√(1 − β²) = 1/√(0,0396).
Aplicar la dilatación del tiempo
El tiempo propio es la vida media en reposo Δt₀ = 2,2 μs; el detector mide Δt = γ·Δt₀.
Resultado
La vida media medida en tierra es unas cinco veces mayor que en reposo.

Resultado: Δt ≈ 11 μs. La dilatación del tiempo multiplica por ≈ 5 la vida del muón visto desde tierra, lo que le permite recorrer varios kilómetros y llegar al nivel del mar; es una de las evidencias experimentales directas de la dilatación del tiempo.

Explicación paso a paso6 pasos

1
La dilatación del tiempo no se postula: se DEDUCE, y con una geometría que cabe en un triángulo rectángulo. Vamos a construir el reloj de luz, que es el argumento original de Einstein y el que se pide en el examen.
2
Un reloj de luz es un pulso que rebota entre dos espejos separados una distancia d. Para quien viaja con el reloj, el pulso sube y baja en vertical, y el tiempo de ida y vuelta es inmediato.
El tic-tac visto desde dentro
$\Delta t_0 = \frac{2d}{c}$
Este es el TIEMPO PROPIO: los dos sucesos —la salida y el regreso del pulso— ocurren en el mismo lugar para este observador. Nada relativista ha pasado todavía.
3
Ahora el mismo reloj visto desde el laboratorio, mientras la nave pasa a velocidad v. Para este observador el pulso no sube en vertical: mientras sube, los espejos se han desplazado, así que recorre una diagonal.
4
Y aquí entra el segundo postulado: ese observador mide la MISMA velocidad de la luz. Como el camino es más largo y la velocidad es la misma, el tiempo tiene que ser mayor. Pongámosle números con el teorema de Pitágoras.
El triángulo del reloj en movimiento
$\left(\frac{c\,\Delta t}{2}\right)^{2} = d^{2} + \left(\frac{v\,\Delta t}{2}\right)^{2}$
La hipotenusa es lo que recorre la luz en medio tic-tac; un cateto es la separación de los espejos y el otro, lo que avanza la nave en ese mismo medio tic-tac.
5
Despejamos el intervalo del laboratorio. Al agrupar los términos aparece una diferencia de cuadrados que es exactamente la que da el factor de Lorentz.
El despeje
$\Delta t = \frac{2d}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}} = \frac{2d/c}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$
Sacar c² factor común dentro de la raíz es el paso que convierte una expresión con unidades en el cociente adimensional v²/c², que es como conviene manejarla siempre.
6
Y el numerador es el tiempo propio que ya habíamos calculado. La fórmula final no es una hipótesis: es una consecuencia geométrica de que la luz vaya a la misma velocidad para todos.
La dilatación del tiempo
$\Delta t = \gamma\,\Delta t_0, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}} \ge 1$
Como γ ≥ 1 siempre, el laboratorio mide MÁS tiempo que el reloj que viaja. El reloj en movimiento se atrasa, y no por un defecto del mecanismo: cualquier reloj, incluido el biológico, hace lo mismo.

Objetivo Selectividad

Deducir cualitativamente la dilatación del tiempo a partir del reloj de luz y de la constancia de c, distinguiendo tiempo propio Δt₀ de tiempo dilatado Δt.
Resolver problemas numéricos con Δt = γ·Δt₀, identificando correctamente cuál de los dos intervalos es el propio.
Explicar la detección de muones a nivel del mar (o la corrección del GPS) como evidencia experimental de la dilatación del tiempo.
Identifica el tiempo PROPIO antes de sustituir nada: Δt₀ lo mide el reloj que está en reposo respecto de los sucesos, es decir, el que los ve ocurrir en el MISMO lugar, y es el intervalo más corto. Confundirlo invierte la fórmula entera.
Escribe γ = 1/√(1 − v²/c²) y comprueba que sale mayor o igual que 1 antes de continuar. Un factor menor que 1 significa que has invertido la raíz, y todo el apartado va detrás de ese número.

Errores frecuentes

Confundir cuál es el tiempo propio: Δt₀ lo mide el reloj que viaja con el fenómeno y está presente en ambos sucesos en el mismo lugar; es siempre el intervalo MÁS CORTO.
Aplicar la fórmula al revés (Δt₀ = γ·Δt) y obtener un tiempo dilatado menor que el propio, lo que carece de sentido físico.
Pensar que la dilatación es absoluta y solo le ocurre « al que se mueve »: por el principio de relatividad es recíproca, cada observador ve atrasar el reloj del otro.
Poner el tiempo propio en el lado equivocado. La relación es Δt = γ·Δt₀: el observador que ve moverse el reloj mide MÁS tiempo. Escribir Δt₀ = γ·Δt hace que el tiempo se contraiga, que es justo lo contrario.
Introducir v en km/h o km/s dentro de v²/c². El cociente tiene que ser adimensional: o las dos velocidades en m/s, o se escribe v como fracción de c y se usa directamente v²/c² = 0,64 cuando v = 0,8c.

Repaso activo

Una nave viaja a v = 0,90·c respecto de la Tierra. A bordo, un reloj mide que un experimento dura Δt₀ = 5,0 s. (a) ¿Qué duración del experimento mide un observador en la Tierra? (b) Justifica cuál de los dos intervalos es el tiempo propio. (c) Razona si el astronauta, mirando los relojes terrestres, los vería adelantar o atrasar.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

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Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Contracción de la longitud#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque D (Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas): «Principios fundamentales de la Relatividad especial y sus consecuencias: contracción de la longitud, dilatación del tiempo, energía y masa relativistas.»

Si el tiempo no es absoluto, el espacio tampoco puede serlo. La segunda gran consecuencia es la contracción de la longitud (o contracción de Lorentz-FitzGerald): un objeto en movimiento se mide más corto, en la dirección del movimiento, que el mismo objeto en reposo. La relación es L = L₀/γ, con γ ≥ 1, de modo que L ≤ L₀ (véase Fig. 3). La contracción solo afecta a la dimensión paralela a la velocidad; las dimensiones perpendiculares no cambian.

Contracción de una regla en movimiento

Fig. 3 ↓

Hay que definir con cuidado la longitud propia L₀: es la longitud del objeto medida en el sistema de referencia en el que está en reposo; es siempre la mayor de las longitudes posibles. Un observador respecto del cual el objeto se mueve mide una longitud contraída L = L₀/γ. Igual que con el tiempo, el efecto es recíproco: cada observador ve más corta la regla del otro, sin que haya contradicción gracias a la relatividad de la simultaneidad (medir la longitud de algo en movimiento exige localizar sus dos extremos « a la vez », y ese « a la vez » depende del observador).

Dilatación del tiempo y contracción de la longitud son las dos caras de un mismo fenómeno y deben ser consistentes. El ejemplo del muón lo ilustra: desde la Tierra, el muón vive más (tiempo dilatado) y por eso atraviesa los ~10 km de atmósfera; desde el propio muón, su vida es la normal (2,2 μs), pero la atmósfera, que se le viene encima a 0,98·c, está contraída a una fracción de su grosor, y por eso le « cabe » recorrerla en su corto tiempo de vida. Ambas descripciones predicen lo mismo: que el muón llega al suelo.

El factor de contracción es el inverso del de dilatación: el tiempo se MULTIPLICA por γ, la longitud se DIVIDE entre γ. Esta asimetría en la posición de γ es la fuente del error más común del tema. Una regla mnemotécnica útil: « lo que viaja, encoge » (L = L₀/γ, más corta) y « el reloj que viaja, se retrasa » (Δt = γ·Δt₀, más tiempo medido desde fuera).

Para problemas: (1) identificar la longitud propia L₀ (la medida en reposo respecto del objeto), (2) calcular γ con la velocidad relativa, (3) aplicar L = L₀/γ para el observador que ve el objeto en movimiento, recordando que solo se contrae la componente paralela al movimiento. El resultado debe ser siempre menor o igual que L₀.

Vocabulario

→ Tarjetas

Longitud propia (L₀)Longitud medida por un observador en reposo respecto del objeto; es la MAYOR de todas las posibles.
Contracción de la longitudL = L₀/γ: un objeto en movimiento se mide más corto en la dirección del desplazamiento.
Dirección del movimientoLa única en la que actúa la contracción; las dimensiones perpendiculares no se alteran.
ReciprocidadCada observador ve contraído al otro: la contracción no es un efecto que le ocurra al objeto, sino una relación entre sistemas.
Espacio-tiempoMarco de cuatro dimensiones en el que tiempo y espacio dejan de ser independientes y se transforman conjuntamente.

Contracción de la longitud

L = \dfrac{L_{0}}{\gamma} = L_{0}\,\sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}}

L₀ es la longitud propia (medida en reposo respecto del objeto) y L la longitud que mide el observador que ve el objeto moverse. Como γ ≥ 1, siempre L ≤ L₀, y la contracción solo afecta a la dirección paralela a la velocidad.

Ejemplo resuelto

Contracción de una nave a alta velocidad

Una nave espacial cuya longitud en reposo es L₀ = 150 m se desplaza a v = 0,60·c respecto de un observador en reposo. (a) Calcula la longitud de la nave medida por dicho observador. (b) Indica qué longitud mide la propia tripulación.

Calcular el factor de Lorentz
Con β = 0,60 se obtiene γ = 1/√(1 − 0,36) = 1/0,80 = 1,25 (mismo γ del primer ejemplo).
Identificar la longitud propia
La longitud propia es la medida en reposo respecto de la nave: L₀ = 150 m.
Aplicar la contracción de la longitud
El observador externo mide L = L₀/γ.
Resultado
La nave se mide más corta para el observador externo; la tripulación, en reposo respecto de la nave, sigue midiendo los 150 m propios.

Resultado: L = 120 m para el observador externo; la tripulación mide L₀ = 150 m. La nave aparece contraída en un factor 1/γ = 0,80 en la dirección del movimiento.

Objetivo Selectividad

Explicar la contracción de la longitud, distinguiendo longitud propia L₀ (la máxima, medida en reposo) de longitud contraída L, y precisando que solo se contrae la dirección del movimiento.
Resolver problemas con L = L₀/γ y comprobar la consistencia con la dilatación del tiempo (caso del muón visto desde cada sistema).
Justificar el carácter recíproco de la contracción a partir del principio de relatividad.
La longitud PROPIA L₀ es la que mide un observador en reposo respecto del objeto, y es la MÁXIMA: L = L₀/γ. Aquí se divide, al revés que en el tiempo; decir en voz alta cuál es la magnitud propia evita el error de raíz.
La contracción ocurre SOLO en la dirección del movimiento: las dimensiones perpendiculares no cambian. Una nave esférica se vería achatada como un elipsoide, no reducida como una esfera menor.

Errores frecuentes

Colocar γ en el lugar equivocado y multiplicar (L = γ·L₀): la longitud se DIVIDE entre γ, nunca se multiplica; el objeto en movimiento es más corto, no más largo.
Aplicar la contracción a todas las dimensiones del objeto: solo se contrae la componente PARALELA a la velocidad; las perpendiculares permanecen iguales.
Olvidar que la longitud propia L₀ es la medida en reposo respecto del objeto y confundirla con la que mide el observador en movimiento.
Multiplicar por γ en lugar de dividir. Si la longitud medida saliera MAYOR que la propia, el resultado sería absurdo: L es siempre menor o igual que L₀.
Contraer la altura de una nave que se mueve horizontalmente. Solo se acorta la dimensión PARALELA a la velocidad; la anchura y la altura quedan intactas.

Repaso activo

Una nave tiene una longitud en reposo L₀ = 120 m. Pasa junto a una estación espacial a v = 0,80·c. (a) ¿Qué longitud de la nave mide un observador en la estación? (b) ¿Qué longitud mide la tripulación de la nave para su propia nave? (c) Si la nave llevara una antena de 5,0 m montada perpendicularmente a su movimiento, ¿qué longitud mediría la estación para esa antena? Justifica.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Equivalencia masa-energía (E = mc²)#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque D (Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas): «Principios fundamentales de la Relatividad especial y sus consecuencias: contracción de la longitud, dilatación del tiempo, energía y masa relativistas.»

Energía cinética relativista frente a la clásica: c como velocidad límite

El resultado más célebre de la Relatividad especial es la equivalencia entre masa y energía: la masa es una forma de energía y puede convertirse en otras formas, y viceversa. Una masa en reposo m₀ posee una energía en reposo E₀ = m₀·c² aun sin moverse. Como c² es un número enorme (≈ 9·10¹⁶ m²/s²), una pequeñísima cantidad de masa equivale a una cantidad colosal de energía: convertir 1 gramo de masa íntegramente en energía liberaría unos 9·10¹³ J, comparable a la energía de decenas de miles de toneladas de TNT.

Cuando el cuerpo se mueve, su energía total es E = γ·m₀·c², que crece con la velocidad porque γ crece. La diferencia entre la energía total y la energía en reposo es la energía cinética relativista: Ec = E − E₀ = (γ − 1)·m₀·c². Esta es la expresión correcta de la energía cinética a cualquier velocidad; la fórmula clásica Ec = ½·m·v² es solo su aproximación para v ≪ c. Conviene tener presente que la energía cinética relativista es siempre MAYOR que la clásica para una misma velocidad y tiende a infinito cuando v → c.

De E = γ·m₀·c² se sigue una consecuencia fundamental: ningún cuerpo con masa puede alcanzar la velocidad de la luz. A medida que v → c, γ → ∞ y la energía necesaria para seguir acelerando tiende a infinito; haría falta energía infinita para llegar a c. Por eso c es un límite de velocidad universal e inalcanzable para la materia. Solo las partículas sin masa (como el fotón) viajan exactamente a c, y lo hacen siempre.

La equivalencia masa-energía explica la energética nuclear y estelar, y conecta este tema con la física nuclear (donde se retoma como defecto de masa y energía de enlace). En las reacciones nucleares de fisión y fusión, una fracción de la masa de los núcleos « desaparece » y se convierte en energía según ΔE = Δm·c²: es la fuente de energía de las centrales nucleares, de las estrellas (fusión del hidrógeno en el Sol) y del enorme contenido energético de los procesos nucleares. También en la creación y aniquilación de partículas la energía se transforma en masa y la masa en energía.

En problemas conviene fijar unidades. En el SI, E = m·c² da julios con m en kg y c en m/s. En física de partículas es habitual usar el electronvoltio (eV) y sus múltiplos (MeV, GeV) y expresar las masas en MeV/c². Por ejemplo, la energía en reposo del electrón es ≈ 0,511 MeV. Recalcula siempre potencias de diez con cuidado, pues c² introduce un factor 10¹⁷ del orden de la unidad.

Vocabulario

→ Tarjetas

Masa en reposo (m₀)Masa medida en el sistema en el que la partícula está quieta; es una propiedad invariante de la partícula.
Energía en reposo (E₀)E₀ = m₀·c². Para un electrón vale 0,511 MeV y para un protón, 938 MeV.
Energía total relativistaE = γ·m₀·c². Crece sin límite al acercarse a c, y esa es la razón física de que c sea inalcanzable para una partícula con masa.
Energía cinética relativistaE_c = (γ − 1)·m₀·c². Se reduce a ½·m₀·v² cuando la velocidad es pequeña frente a c.
Unidad de masa atómica1 u equivale a 931,5 MeV/c²; es la conversión que convierte un defecto de masa en energía sin pasar por julios.

Energía en reposo

E_{0} = m_{0}\,c^{2}

Energía asociada a la masa en reposo m₀ de un cuerpo, aun estando inmóvil. Con m₀ en kg y c en m/s se obtiene en julios.

Energía total relativista

E = \gamma\,m_{0}\,c^{2}

Energía total de un cuerpo de masa en reposo m₀ que se mueve con factor de Lorentz γ; incluye la energía en reposo y la cinética.

Energía cinética relativista

E_{c} = E - E_{0} = (\gamma - 1)\,m_{0}\,c^{2}

Diferencia entre la energía total y la energía en reposo. Para v ≪ c se reduce a la expresión clásica ½·m·v²; para v → c tiende a infinito.

Ejemplo resuelto

Energía de un electrón relativista

Un electrón de masa en reposo m₀ = 9,11·10⁻³¹ kg se mueve a v = 0,60·c. Calcula: (a) su energía en reposo E₀; (b) su energía total E; (c) su energía cinética relativista Ec. (Dato: c = 3,00·10⁸ m/s.)

Energía en reposo
Se aplica E₀ = m₀·c² con m₀ = 9,11·10⁻³¹ kg y c² = 9,00·10¹⁶ m²/s².
Factor de Lorentz
Con β = 0,60, γ = 1/√(1 − 0,36) = 1,25.
Energía total
E = γ·m₀·c² = γ·E₀ = 1,25 × 8,2·10⁻¹⁴ J.
Energía cinética relativista
Ec = (γ − 1)·E₀ = 0,25 × 8,2·10⁻¹⁴ J.

Resultado: E₀ ≈ 8,2·10⁻¹⁴ J (≈ 0,511 MeV), E ≈ 1,02·10⁻¹³ J y Ec ≈ 2,05·10⁻¹⁴ J. La energía cinética relativista (≈ 2,05·10⁻¹⁴ J) es mayor que la clásica ½·m₀·v² ≈ 1,48·10⁻¹⁴ J, como corresponde a una velocidad próxima a c.

Objetivo Selectividad

Interpretar E = m₀·c² como energía en reposo y E = γ·m₀·c² como energía total, calculando ambas para una masa y una velocidad dadas.
Obtener la energía cinética relativista Ec = (γ − 1)·m₀·c² y comparar su valor con el de la fórmula clásica ½·m·v², justificando que c es una velocidad límite inalcanzable para la materia.
Relacionar la equivalencia masa-energía con la energía liberada en procesos nucleares (ΔE = Δm·c²).
Escribe las tres energías juntas y no las mezcles: energía en reposo E₀ = m₀·c², energía total E = γ·m₀·c² y energía cinética E_c = E − E₀ = (γ − 1)·m₀·c². La cinética NO es ½·m·v² a velocidades relativistas.
Comprueba el límite clásico: para v mucho menor que c, (γ − 1)·m₀·c² tiende a ½·m₀·v². Mencionarlo demuestra que la fórmula nueva no contradice la antigua sino que la contiene, y ese razonamiento se valora.

Errores frecuentes

Usar la energía cinética clásica ½·m·v² a velocidades relativistas: a v comparable con c hay que emplear Ec = (γ − 1)·m₀·c²; la clásica subestima fuertemente la energía.
Confundir la energía total E = γ·m₀·c² con la energía cinética: la cinética es la diferencia E − E₀ = (γ − 1)·m₀·c², no la energía total.
Creer que un cuerpo con masa puede alcanzar o superar c: como γ → ∞ cuando v → c, requeriría energía infinita; solo las partículas sin masa viajan a c.
Calcular la energía cinética relativista como ½·m·v² usando la masa relativista. La expresión correcta es E_c = (γ − 1)·m₀·c²; el atajo con ½mv² ya falla apreciablemente por encima de 0,3c.
Confundir energía en reposo con energía total. E₀ = m₀·c² es la que la partícula tiene por el mero hecho de existir; la total incluye además su energía cinética.

Repaso activo

Un electrón (masa en reposo m₀ = 9,11·10⁻³¹ kg) se acelera hasta v = 0,80·c. (a) Calcula su energía en reposo E₀ = m₀·c². (b) Calcula su energía total E = γ·m₀·c² y su energía cinética relativista Ec = (γ − 1)·m₀·c². (c) Compara Ec con el valor que daría la fórmula clásica ½·m₀·v² y comenta la diferencia. (Datos: c = 3,00·10⁸ m/s.)

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Consecuencias y evidencias experimentales#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque D (Física relativista, cuántica, nuclear y de partículas): «Principios fundamentales de la Relatividad especial y sus consecuencias: contracción de la longitud, dilatación del tiempo, energía y masa relativistas.»

Mapa de consecuencias y evidencias de la Relatividad especial

La Relatividad especial no es una mera especulación: es una de las teorías mejor comprobadas de la física, con consecuencias verificadas experimentalmente y aplicaciones tecnológicas cotidianas (véase figura, mapa de consecuencias y evidencias). Reunir las pruebas permite valorar la repercusión de la relatividad en el conocimiento del universo y en la tecnología, una de las competencias específicas del tema (CE6).

Las consecuencias clave que el alumnado debe relacionar son cuatro y se derivan unas de otras: (1) la relatividad de la simultaneidad —dos sucesos simultáneos para un observador no lo son para otro en movimiento—, que es el origen de las demás; (2) la dilatación del tiempo Δt = γ·Δt₀; (3) la contracción de la longitud L = L₀/γ; y (4) la equivalencia masa-energía E = γ·m₀·c², con c como velocidad límite inalcanzable para la materia. Las cuatro convergen en una idea: espacio y tiempo no son escenarios absolutos, sino magnitudes ligadas al observador.

Las evidencias experimentales son numerosas y concordantes. Los muones cósmicos que llegan al nivel del mar prueban la dilatación del tiempo (y, equivalentemente, la contracción de la longitud). Los relojes atómicos transportados en aviones (experimento de Hafele-Keating, 1971) midieron diferencias de tiempo respecto de relojes en tierra acordes con la relatividad. En los aceleradores de partículas, las partículas inestables de vida muy corta « viven » mucho más cuando viajan a velocidades próximas a c, y nunca alcanzan c por más que se las acelere, confirmando el límite de velocidad y la energía relativista.

La aplicación tecnológica más conocida es el sistema de posicionamiento GPS. Los satélites llevan relojes atómicos cuya marcha hay que corregir: la Relatividad especial predice que, por su velocidad orbital, esos relojes atrasarían respecto de los de tierra (la Relatividad general, debida al menor campo gravitatorio en órbita, predice el efecto contrario y mayor; el efecto neto se corrige). Sin estas correcciones relativistas, el GPS acumularía errores de posición de varios kilómetros al día. Así, la relatividad está literalmente « dentro » de cualquier teléfono móvil.

Finalmente, la equivalencia masa-energía cambió nuestra comprensión del universo y de la energía: explica cómo brillan las estrellas (fusión nuclear que convierte masa en luz), la energía de las centrales y armas nucleares, y la física de las partículas elementales. La Relatividad especial, junto con la cuántica, abre la física moderna del siglo XX y constituye, históricamente, una de las mayores revoluciones del pensamiento científico, con un fuerte carácter multidisciplinar (astrofísica, energía, ingeniería, tecnología de la información).

Vocabulario

→ Tarjetas

MuónPartícula inestable creada en la alta atmósfera; su vida media en reposo es de unos 2,2 μs, insuficiente para llegar al suelo sin dilatación del tiempo.
Paradoja de los gemelosSituación en la que el gemelo viajero regresa más joven; se resuelve al notar que solo él cambia de sistema de referencia.
Relatividad generalExtensión de 1915 que incorpora la gravitación; predice que los relojes se atrasan en campos gravitatorios intensos.
Corrección relativista del GPSAjuste diario de los relojes de los satélites, sin el cual el posicionamiento acumularía errores de kilómetros.
Límite clásicoRégimen v ≪ c en el que las fórmulas relativistas se reducen a las de Newton; toda teoría nueva debe contener así a la anterior.

Síntesis de las consecuencias relativistas

\Delta t = \gamma\,\Delta t_{0} \;,\quad L = \dfrac{L_{0}}{\gamma} \;,\quad E = \gamma\,m_{0}\,c^{2}

Las tres consecuencias cuantitativas de la Relatividad especial comparten el mismo factor de Lorentz γ: el tiempo se dilata, la longitud se contrae y la energía total crece con la velocidad.

Ejemplo resuelto

Distancia recorrida por muones y consistencia espacio-tiempo

Muones creados a 9,0 km de altura viajan hacia el suelo a v = 0,99·c. Su vida media propia es Δt₀ = 2,2 μs. (a) Calcula la distancia que recorrerían según la física clásica (sin dilatación). (b) Calcula la distancia que recorren teniendo en cuenta la dilatación del tiempo y compárala con los 9,0 km. (Dato: c = 3,00·10⁸ m/s; γ(0,99c) ≈ 7,1.)

Distancia clásica (sin relatividad)
Sin dilatación, el muón solo vive Δt₀ = 2,2 μs; recorre d_clás = v·Δt₀ = 0,99 × 3,00·10⁸ × 2,2·10⁻⁶.
Tiempo dilatado en tierra
Desde tierra la vida media se dilata: Δt = γ·Δt₀ = 7,1 × 2,2 μs ≈ 15,6 μs.
Distancia relativista
Con el tiempo dilatado, d_rel = v·Δt = 0,99 × 3,00·10⁸ × 15,6·10⁻⁶.
Comparación e interpretación
La distancia clásica (~0,65 km) es muy inferior a los 9,0 km: clásicamente casi ningún muón llegaría. La relativista (~4,6 km) es comparable a la altura y, con la dispersión de velocidades y de vidas, explica que muchos muones lleguen al suelo. Desde el muón, el mismo resultado se obtiene contrayendo la atmósfera: 9,0 km/γ ≈ 1,3 km.

Resultado: Clásicamente el muón recorrería solo ~0,65 km; con la dilatación del tiempo recorre ~4,6 km. La detección de muones a nivel del mar solo se explica con la relatividad, y las descripciones desde la Tierra (tiempo dilatado) y desde el muón (atmósfera contraída a ~1,3 km) son consistentes.

Objetivo Selectividad

Enumerar y relacionar las consecuencias de la Relatividad especial (simultaneidad relativa, dilatación del tiempo, contracción de la longitud y equivalencia masa-energía con c como límite).
Citar y explicar al menos una evidencia experimental (muones cósmicos, relojes atómicos, aceleradores) y una aplicación tecnológica (GPS) de la relatividad.
Valorar la repercusión de la relatividad en el conocimiento del universo (estrellas, energía nuclear) y su carácter multidisciplinar e histórico.
Ten preparadas tres evidencias CONCRETAS en lugar de afirmaciones generales: los muones atmosféricos que llegan al suelo gracias a la dilatación del tiempo, la corrección relativista de los relojes del sistema GPS y el aumento de la energía necesaria para acelerar partículas en un sincrotrón.
Explica el caso de los muones desde los DOS sistemas de referencia: desde la Tierra, su vida media se dilata; desde el muón, la atmósfera se contrae. Los dos relatos dan el mismo resultado, y mostrar esa consistencia es exactamente lo que se puntúa.

Errores frecuentes

Presentar la relatividad como teoría « no comprobada » o puramente teórica: cuenta con abundantes evidencias experimentales (muones, relojes atómicos, aceleradores) y aplicaciones (GPS).
Atribuir todas las correcciones del GPS a la Relatividad especial: intervienen también efectos de la Relatividad general (gravitatorios), que en este caso son mayores y de signo opuesto.
Confundir el límite c con una imposibilidad de comunicar información rápido en general: es la materia (cuerpos con masa) la que no puede alcanzar c; la luz y otras partículas sin masa viajan siempre exactamente a c.
Presentar la paradoja de los gemelos como una contradicción sin resolver. No la hay: el gemelo que viaja cambia de sistema de referencia al dar la vuelta, y por eso las dos situaciones no son simétricas.
Atribuir las correcciones del GPS solo a la relatividad especial. Intervienen dos efectos de signo contrario: la velocidad orbital atrasa los relojes (especial) y el campo gravitatorio más débil los adelanta (general), y este segundo es el mayor de los dos.

Repaso activo

Explica, en un texto razonado, dos pruebas experimentales de la Relatividad especial y una aplicación tecnológica. Para cada prueba, indica qué consecuencia relativista (dilatación del tiempo, contracción de la longitud o equivalencia masa-energía) confirma y por qué. Concluye valorando la repercusión de la relatividad en el conocimiento del universo.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 534/2024 — Prueba de Acceso a la Universidad (PAU) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))