ES · Selectividad

Matrices y sus aplicaciones

Las matrices son tablas ordenadas de números que permiten almacenar y operar con información estructurada: ventas por regiones, flujos de población o conexiones de un grafo. En Matemáticas Aplicadas a las CCSS II constituyen la herramienta algebraica con la que se modelizan sistemas de ecuaciones lineales y situaciones socioeconómicas, y son contenido plenamente evaluable en la fase de acceso de la Selectividad/PAU.

5 secciones~28 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

T·0111 / 11

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales mediante la representación matricial de datos y relaciones.CE4 · Utilizar el pensamiento computacional: organizar datos en tablas, descomponer el problema en partes y emplear herramientas tecnológicas para operar con matrices.CE6 · Descubrir los vínculos de las matemáticas con otras áreas de conocimiento, aplicando las matrices a la economía, la demografía y la teoría de grafos.

Operadores:calculaoperaresuelveinterpretajustificarazonatraducerelacionarepresenta

nivel básico

El cálculo matricial es propio de la materia de modalidad Matemáticas Aplicadas a las CCSS II; en las materias comunes no se exige operar con matrices, solo leer e interpretar tablas de doble entrada.

nivel avanzado

En la modalidad se domina la operatoria completa (suma, escalar y producto), el cálculo de la inversa por Gauss-Jordan, la resolución de ecuaciones matriciales A·X=B y la modelización con matrices de adyacencia y de transición.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Matrices y sus aplicaciones

5 secciones20 puntos clave14 fórmulas20 errores típicos

Concepto de matriz, dimensión y tipos de matrices#

~5 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, A. Sentido numérico — 2. Relaciones: «Conjuntos de matrices: estructura, comprensión y propiedades.»

Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas; es la forma natural de organizar información cuantitativa que depende de dos criterios a la vez, como las ventas de varios productos en distintas regiones o los desplazamientos entre zonas de un territorio. Una matriz con « m » filas y « n » columnas se dice de dimensión (u orden) « m × n », y cada uno de sus números recibe el nombre de elemento o entrada; el elemento situado en la fila « i » y la columna « j » se denota por a_{ij}, de modo que el primer subíndice indica siempre la fila y el segundo la columna.

Atendiendo a su dimensión y a la disposición de sus elementos, distinguimos varios tipos de matrices que conviene reconocer de un vistazo. Una matriz fila tiene una sola fila (dimensión 1 × n) y una matriz columna una sola columna (m × 1); una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas (n × n), y solo en ella tiene sentido hablar de diagonal principal (los elementos a_{11}, a_{22}, …, a_{nn}). La matriz nula es la que tiene todos sus elementos iguales a cero y se comporta como el cero en la suma de matrices.

Dentro de las matrices cuadradas se definen varios casos relevantes. Una matriz diagonal tiene nulos todos los elementos fuera de la diagonal principal; la matriz identidad I_n es la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal valen todos 1, y desempeña en el producto el mismo papel que el número uno en la multiplicación de números. Una matriz es triangular superior cuando son nulos todos los elementos por debajo de la diagonal (y triangular inferior en el caso simétrico): estas formas escalonadas aparecerán de modo natural al resolver sistemas por el método de Gauss.

Dos matrices son iguales únicamente cuando tienen la misma dimensión y coinciden, una a una, en todos sus elementos. Esta definición, aparentemente trivial, es decisiva: implica que la dimensión es un dato inseparable de la matriz y que, por ejemplo, una matriz 2 × 3 nunca puede ser igual a una 3 × 2 aunque contengan los mismos números. La figura principal (Fig. 1) muestra una matriz genérica con la posición del elemento a_{ij} resaltada, y la Fig. 2 ilustra cómo una tabla de doble entrada de un contexto social se traduce directamente en una matriz.

Anatomía de una matriz m × n

Una tabla de doble entrada es una matriz

Fig. 1 ↓Fig. 2 ↓

Vocabulario

→ Tarjetas

MatrizTabla ordenada de números dispuestos en filas y columnas, escrita entre paréntesis o corchetes.
Dimensión (u orden)El par m × n de una matriz: m filas y n columnas, siempre en ese orden.
Elemento a_ijNúmero que ocupa la fila i y la columna j; el primer subíndice es SIEMPRE la fila.
Matriz cuadradaMatriz con el mismo número de filas que de columnas (m = n); la única que tiene diagonal principal.
Diagonal principalLos elementos a_11, a_22, a_33, … de una matriz cuadrada.
Matriz identidadMatriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros fuera; es el neutro del producto.
Matriz nulaMatriz con todos sus elementos iguales a cero; es el neutro de la suma.

Matriz genérica de dimensión m × n

A = (a_{ij})_{m \times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

El elemento a_{ij} ocupa la fila i y la columna j; la dimensión es el par (filas, columnas).

Matriz identidad de orden 3

I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Matriz diagonal con unos en la diagonal principal; es el elemento neutro del producto de matrices.

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Ejemplo resuelto

Lectura e identificación de una matriz

Dada la matriz A = [[3, 0, -1], [5, 2, 4]], indica su dimensión, el valor del elemento a_{13} y el de a_{21}, y razona si A puede ser una matriz cuadrada.

Contar filas y columnas
La matriz tiene 2 filas y 3 columnas, luego su dimensión es 2 × 3.
Localizar a₁₃
Fila 1, columna 3: es el tercer elemento de la primera fila.
Localizar a₂₁
Fila 2, columna 1: es el primer elemento de la segunda fila.
Decidir si es cuadrada
Una matriz es cuadrada solo si tiene el mismo número de filas que de columnas. Aquí 2 ≠ 3, por tanto A no es cuadrada.

Resultado: Dimensión 2 × 3; a_{13} = -1; a_{21} = 5; A no es cuadrada porque 2 filas ≠ 3 columnas.

Errores frecuentes

Confundir el orden de los subíndices y leer a_{ij} como « columna i, fila j »: el primer subíndice es SIEMPRE la fila y el segundo la columna.
Escribir la dimensión al revés (poner « n × m » cuando hay m filas y n columnas) y, a partir de ahí, intentar operaciones imposibles entre matrices.
Llamar « diagonal » a una matriz rectangular con ceros fuera de una franja: la diagonal principal solo está definida en matrices cuadradas, y una matriz diagonal es cuadrada por definición.
Tomar la matriz nula como neutro del producto. El neutro del producto es la identidad I; la matriz nula es el neutro de la SUMA y anula cualquier producto.

Repaso activo

En un instituto se recoge en una tabla el número de alumnos matriculados en tres modalidades (Ciencias, Humanidades, CCSS) durante dos cursos (1.º y 2.º). Escribe la matriz 2 × 3 asociada, indica su dimensión, di qué representa el elemento a_{23} y nombra qué tipo de matriz se obtendría si solo consideráramos un único curso.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Operaciones con matrices: suma, producto por escalar y producto matricial#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, A. Sentido numérico — 1. Sentido de las operaciones: «Adición y producto de matrices: interpretación, comprensión y aplicación adecuada de las propiedades.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, A. Sentido numérico — 1. Sentido de las operaciones: «Estrategias para operar con números reales y matrices: cálculo mental o escrito en los casos sencillos y con herramientas tecnológicas en los casos más complicados.»

Producto fila por columna

El álgebra de matrices comienza con dos operaciones sencillas que se realizan elemento a elemento. La suma de matrices solo está definida entre matrices de la misma dimensión: la matriz suma A + B tiene en cada posición la suma de los elementos correspondientes, (a_{ij} + b_{ij}). El producto de una matriz por un número real « k » (producto por un escalar) multiplica por « k » todos los elementos de la matriz. Ambas operaciones heredan las buenas propiedades de la suma de números: la suma es conmutativa y asociativa, tiene como elemento neutro la matriz nula y cada matriz tiene su opuesta.

El producto de matrices es la operación verdaderamente característica y la que da potencia modelizadora al cálculo matricial, pero exige una condición de dimensiones estricta: para multiplicar A · B el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Si A es de dimensión m × n y B es de dimensión n × p, el producto A · B existe y tiene dimensión m × p (la condición es « n = n », y las dimensiones « exteriores » m y p son las del resultado). La Fig. 3 esquematiza esta regla de encaje de dimensiones, que conviene comprobar SIEMPRE antes de multiplicar.

Condición de dimensiones para el producto A·B

Fig. 3 ↓

El elemento que ocupa la fila « i » y la columna « j » del producto A · B se obtiene combinando la fila « i » de A con la columna « j » de B: se multiplican término a término y se suman los productos. Esta « fila por columna » es el corazón del cálculo y la razón de que la condición de dimensiones sea necesaria, pues solo si la fila de A y la columna de B tienen la misma longitud se pueden emparejar todos sus términos. La matriz identidad actúa como elemento neutro del producto: A · I = I · A = A siempre que las dimensiones lo permitan.

La propiedad más importante —y la fuente de la mayoría de errores— es que el producto de matrices NO es conmutativo: en general A · B ≠ B · A, e incluso puede existir uno de los dos productos y no el otro, o tener dimensiones distintas. Sí se cumplen la propiedad asociativa (A · B) · C = A · (B · C) y la distributiva respecto de la suma A · (B + C) = A · B + A · C. Por su origen histórico, este cálculo se atribuye a Arthur Cayley y James J. Sylvester, que en el siglo XIX desarrollaron la teoría de matrices precisamente para tratar transformaciones y sistemas lineales.

Vocabulario

→ Tarjetas

Producto por un escalarMultiplicar todos los elementos de la matriz por un mismo número k.
Producto matricialOperación fila por columna: el elemento (i, j) del producto es la suma de los productos de la fila i de A por la columna j de B.
Matrices encadenablesPar (A, B) en el que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; solo entonces existe A·B.
No conmutatividadPropiedad que NO cumple el producto de matrices: en general A·B ≠ B·A, y a veces solo una de las dos existe.
Potencia de una matrizA^n = A·A·…·A (n factores); solo tiene sentido si A es cuadrada.

Suma y producto por un escalar

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}, \qquad (k \cdot A)_{ij} = k \, a_{ij}

Ambas operaciones actúan elemento a elemento; la suma exige misma dimensión.

Elemento (i, j) del producto A·B

(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}

Fila i de A combinada con la columna j de B; requiere columnas de A = filas de B.

Condición de dimensiones y no conmutatividad

A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = (A\cdot B)_{m \times p}, \qquad A \cdot B \neq B \cdot A

Las dimensiones interiores deben coincidir (n); el resultado es m × p y, en general, el producto no conmuta.

Ejemplo resuelto

Producto de dos matrices 2 × 2

Sean A = [[2, 1], [0, 3]] y B = [[1, 4], [2, 1]]. Comprueba que el producto A·B está definido y calcúlalo.

Verificar dimensiones
A es 2 × 2 y B es 2 × 2; columnas de A (2) = filas de B (2), luego A·B existe y será 2 × 2.
Elemento (1,1) y (1,2)
Fila 1 de A por cada columna de B.
Elemento (2,1) y (2,2)
Fila 2 de A por cada columna de B.
Escribir la matriz producto
Se colocan los cuatro elementos en su posición.

Resultado: A·B = [[4, 9], [6, 3]], una matriz de dimensión 2 × 2.

Errores frecuentes

Intentar multiplicar dos matrices sin verificar que el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, obteniendo un producto inexistente.
Suponer que A·B = B·A y simplificar como si las matrices fueran números, cuando el producto matricial no es conmutativo.
Sumar matrices de dimensiones distintas « rellenando con ceros ». La suma solo está definida entre matrices de la MISMA dimensión; si no coinciden, la operación no existe.
Escribir (A + B)² = A² + 2AB + B². Al no ser conmutativo el producto, el desarrollo correcto es A² + AB + BA + B², y solo coincide con el del binomio si AB = BA.

Repaso activo

Dadas A = [[1, 2], [0, 3]] y B = [[2, -1], [1, 4]], calcula 2A + B, el producto A·B y el producto B·A, y comprueba con tus resultados que A·B ≠ B·A.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Matriz traspuesta, identidad e inversa (método de Gauss-Jordan)#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, A. Sentido numérico — 2. Relaciones: «Conjuntos de matrices: estructura, comprensión y propiedades.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 5. Pensamiento computacional: «Análisis algorítmico de las propiedades de las operaciones con matrices y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.»

La matriz traspuesta de A, que se denota A^t, se obtiene intercambiando filas por columnas: la fila « i » de A pasa a ser la columna « i » de A^t, de modo que si A es m × n, su traspuesta A^t es n × m. La trasposición es una operación muy útil para reorganizar la información y cumple propiedades sencillas, como (A^t)^t = A y (A + B)^t = A^t + B^t. Reconocer la traspuesta de una matriz dada es una destreza básica que aparece con frecuencia en los enunciados.

Para una matriz cuadrada A, la matriz inversa A^{-1} es aquella —cuando existe— que multiplicada por A en cualquier orden devuelve la identidad: A · A^{-1} = A^{-1} · A = I. La inversa desempeña en el cálculo matricial el papel que el inverso 1/a tiene para los números, pero con dos diferencias cruciales: solo las matrices cuadradas pueden tener inversa y NO todas la tienen. Una matriz que posee inversa se llama regular o invertible, y una que no la posee se llama singular.

El método de Gauss-Jordan es el procedimiento estándar para calcular la inversa por su transparencia. Se parte de la matriz ampliada (A | I), es decir, se escribe A junto a la identidad del mismo orden; mediante operaciones elementales por filas (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero, sumar a una fila un múltiplo de otra) se transforma la parte izquierda hasta convertirla en la identidad. Las mismas operaciones, aplicadas en bloque a la parte derecha, transforman la identidad inicial en la inversa: al final se llega a (I | A^{-1}). La Fig. 5 muestra esta evolución de la matriz ampliada.

Gauss-Jordan: evolución de la matriz ampliada

Fig. 5 ↓

Si en el proceso de escalonamiento aparece una fila de ceros en la parte izquierda, el método se detiene porque la matriz NO tiene inversa: es singular. En el caso 2 × 2 existe además una comprobación rápida basada en el determinante (det A = ad − bc): la matriz es invertible si y solo si ese número es distinto de cero, y entonces la inversa se obtiene con una fórmula directa que conviene conocer como atajo y como verificación del resultado obtenido por Gauss-Jordan.

Vocabulario

→ Tarjetas

Matriz traspuestaMatriz A^t que se obtiene al intercambiar filas por columnas; si A es m × n, A^t es n × m.
Matriz simétricaMatriz cuadrada que coincide con su traspuesta: A = A^t.
Matriz inversaMatriz A^{-1} que cumple A·A^{-1} = A^{-1}·A = I; solo puede tenerla una matriz cuadrada.
Matriz regularMatriz cuadrada que tiene inversa (también llamada inversible o no singular).
Matriz singularMatriz cuadrada que NO tiene inversa.
Gauss-JordanMétodo que escalona la matriz ampliada (A | I) por filas hasta dejar (I | A^{-1}).
Operación elemental por filasIntercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número no nulo o sumarle un múltiplo de otra.

Definición de matriz inversa

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n

La inversa devuelve la identidad en cualquier orden; solo existe para matrices cuadradas regulares.

Método de Gauss-Jordan

(A \mid I) \;\xrightarrow{\text{operaciones por filas}}\; (I \mid A^{-1})

Se reduce la parte izquierda a la identidad; lo que aparece a la derecha es la inversa.

Inversa de una matriz 2 × 2

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \; ad-bc \neq 0

Atajo válido solo si el determinante ad − bc es distinto de cero; útil para comprobar el resultado.

Ejemplo resuelto

Inversa de una matriz 2 × 2 por Gauss-Jordan

Calcula la inversa de A = [[2, 1], [1, 1]] por el método de Gauss-Jordan y comprueba el resultado.

Plantear la matriz ampliada
Se escribe A junto a la identidad de orden 2.
Hacer un 1 en la posición (1,1)
Intercambiamos las dos filas para tener un 1 arriba (F1 ↔ F2).
Anular el elemento (2,1)
Restamos 2 veces la fila 1 a la fila 2: F2 → F2 − 2·F1.
Hacer un 1 en la posición (2,2)
Multiplicamos la fila 2 por −1: F2 → −F2.
Anular el elemento (1,2)
Restamos la fila 2 a la fila 1: F1 → F1 − F2. La izquierda es ya la identidad.
Comprobar
La parte derecha es la inversa. Verificamos el producto.

Resultado: A^{-1} = [[1, -1], [-1, 2]], y la comprobación A·A^{-1} = I_2 confirma el resultado.

Errores frecuentes

Mezclar las operaciones por filas con operaciones por columnas: en Gauss-Jordan SOLO se permiten operaciones elementales por filas, aplicadas a la vez a las dos mitades de la matriz ampliada.
Olvidar comprobar el resultado: tras hallar A^{-1} conviene multiplicar A·A^{-1} y exigir que dé la identidad; un signo o una división mal hechos se detectan así de inmediato.
Escribir (A·B)^{-1} = A^{-1}·B^{-1}. La inversa de un producto invierte también el orden: (A·B)^{-1} = B^{-1}·A^{-1}.
Inventar una « división de matrices » y escribir B/A. La división no existe: hay que multiplicar por la inversa, y decidir además por qué lado se multiplica.

Repaso activo

Calcula, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz A = [[1, 2], [1, 3]] y comprueba tu resultado verificando que A·A^{-1} = I_2.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Ecuaciones matriciales y resolución de sistemas con matrices#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 2. Modelo matemático: «Técnicas y uso de matrices para, al menos, modelizar situaciones en las que aparezcan sistemas de ecuaciones lineales o grafos.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, A. Sentido numérico — 1. Sentido de las operaciones: «Adición y producto de matrices: interpretación, comprensión y aplicación adecuada de las propiedades.»

Una ecuación matricial es una igualdad en la que la incógnita es una matriz X, por ejemplo A · X = B. La estrategia para despejar X imita la del álgebra ordinaria, pero con una precaución capital: en lugar de « dividir » (operación que no existe entre matrices) se multiplica por la matriz inversa, y como el producto no es conmutativo hay que respetar el lado por el que se multiplica. Si A es regular, multiplicando por A^{-1} POR LA IZQUIERDA en ambos miembros de A · X = B se obtiene A^{-1} · A · X = A^{-1} · B, es decir I · X = A^{-1} · B, y por tanto X = A^{-1} · B.

El lado por el que se multiplica importa porque cambia el resultado. En la ecuación X · A = B la incógnita queda a la izquierda de A, de modo que ahora hay que multiplicar por A^{-1} POR LA DERECHA: X · A · A^{-1} = B · A^{-1}, lo que da X = B · A^{-1}. Confundir A^{-1} · B con B · A^{-1} es el error típico de este apartado, y conviene tener siempre presente de qué lado está la incógnita respecto de la matriz que se quiere « eliminar ».

Esta misma idea conecta las matrices con los sistemas de ecuaciones lineales, que es su aplicación más importante en la materia. Todo sistema lineal puede escribirse en forma matricial A · X = B, donde A es la matriz de coeficientes, X la matriz columna de incógnitas y B la matriz columna de términos independientes. La Fig. 6 muestra cómo un sistema 2 × 2 se reescribe en esta forma compacta, que revela su estructura algebraica de un solo vistazo.

Un sistema lineal escrito como A·X = B

Fig. 6 ↓

Cuando la matriz de coeficientes A es cuadrada y regular (tiene inversa), el sistema tiene solución única y se obtiene directamente como X = A^{-1} · B. Este método matricial es elegante y sistemático, aunque exige calcular la inversa; en la práctica de la Selectividad convive con el método de Gauss (eliminación) y la regla de Cramer, y la elección entre uno y otro depende del enunciado y del tamaño del sistema. La ventaja del enfoque matricial es que, una vez calculada A^{-1}, resolver el sistema para distintos términos independientes B es inmediato.

Vocabulario

→ Tarjetas

Ecuación matricialIgualdad entre matrices en la que la incógnita X es a su vez una matriz.
Matriz de coeficientesMatriz A que recoge los coeficientes de las incógnitas de un sistema lineal.
Matriz de términos independientesMatriz columna B con los números del segundo miembro del sistema.
Forma matricial de un sistemaEscritura A·X = B de un sistema de ecuaciones lineales.
Multiplicar por la izquierdaColocar el factor delante: de A·X = B se pasa a A^{-1}·A·X = A^{-1}·B, es decir X = A^{-1}·B.

Despeje en A·X = B (inversa por la izquierda)

A \cdot X = B \;\Rightarrow\; X = A^{-1} \cdot B \qquad (A \text{ regular})

Se multiplica por A^{-1} por la izquierda en ambos miembros; el orden A^{-1}·B es obligatorio.

Despeje en X·A = B (inversa por la derecha)

X \cdot A = B \;\Rightarrow\; X = B \cdot A^{-1} \qquad (A \text{ regular})

Ahora se multiplica por A^{-1} por la derecha; el resultado B·A^{-1} es distinto de A^{-1}·B.

Forma matricial de un sistema lineal

\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}

Coeficientes en A, incógnitas en X y términos independientes en B: A·X = B.

Ejemplo resuelto

Resolución de un sistema mediante la matriz inversa

Resuelve el sistema { 2x + y = 3 ; x + y = 2 } escribiéndolo en forma matricial A·X = B y aplicando X = A^{-1}·B, con A = [[2, 1], [1, 1]].

Escribir el sistema en forma matricial
Coeficientes en A, incógnitas en X, términos independientes en B.
Tomar la inversa de A
Del apartado anterior se sabe que A = [[2,1],[1,1]] tiene inversa A^{-1} = [[1,-1],[-1,2]] (det A = 1 ≠ 0).
Multiplicar X = A⁻¹·B
Producto de la inversa por el vector de términos independientes.
Comprobar
Sustituimos x = 1, y = 1 en las ecuaciones: 2·1 + 1 = 3 ✓ y 1 + 1 = 2 ✓.

Resultado: La solución del sistema es x = 1, y = 1 (sistema compatible determinado).

Explicación paso a paso7 pasos

1
Casi todos los fallos en ecuaciones matriciales vienen de un solo sitio: multiplicar por la inversa por el lado equivocado. Con números da igual, porque 3·5 y 5·3 son lo mismo. Con matrices no.
2
Mira la ecuación y pregúntate dónde está pegada la A a la X. Si lees A·X, la A está a la IZQUIERDA de la X; si lees X·A, está a la derecha. Ese lado manda.
3
La regla es atacar por el mismo lado en el que está la A. En A·X = B multiplicas por A^{-1} por la izquierda, en los dos miembros.
Ecuación A·X = B
$A^{-1}\!\cdot\! A \cdot X = A^{-1}\!\cdot\! B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\!\cdot\! B$
A^{-1}·A se convierte en la identidad I, e I·X es X. Por eso la inversa « limpia » la A y deja la X sola.
4
Si la ecuación fuera X·A = B, la A está a la derecha, así que multiplicas por A^{-1} por la DERECHA y la solución es X = B·A^{-1}. Es la otra respuesta, no la misma escrita al revés.
Ecuación X·A = B
$X \cdot A \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1} \;\Longrightarrow\; X = B \cdot A^{-1}$
Aquí la identidad aparece a la derecha de X. Cambiar el lado cambia el resultado: en general A^{-1}·B ≠ B·A^{-1}.
5
Si además hay un término suelto, como en A·X + B = C, primero se despeja el bloque A·X restando B. Sumar y restar no tienen lados; multiplicar sí.
6
Y antes de nada, comprueba que A es regular. Si al escalonar sale una fila de ceros, A^{-1} no existe y todo este camino está cerrado: hay que resolver el sistema por Gauss.
7
Cierra siempre sustituyendo la X que has obtenido en la ecuación original. Es un producto de matrices, cuesta medio minuto, y detecta cualquier signo cambiado.

Errores frecuentes

Multiplicar por la inversa por el lado equivocado y escribir X = B·A^{-1} cuando la ecuación era A·X = B (cuya solución es X = A^{-1}·B): el orden de los factores no es intercambiable.
Intentar resolver X = A^{-1}·B sin haber comprobado antes que A es regular; si A es singular el método no se aplica y el sistema puede no tener solución única.
Restar B « pasándolo al otro lado » cambiando también el orden de los factores. Sumar o restar no altera el lado de una multiplicación: de A·X + B = C se pasa a A·X = C − B, y solo entonces se multiplica.
Multiplicar por A^{-1} solo en un miembro. Una ecuación matricial se conserva multiplicando AMBOS miembros por el mismo lado; hacerlo por la izquierda en uno y por la derecha en el otro la destruye.

Repaso activo

Resuelve la ecuación matricial A·X = B, siendo A = [[1, 2], [1, 3]] y B = [[5], [8]]. Para ello, halla primero A^{-1} y después efectúa el producto X = A^{-1}·B; comprueba la solución sustituyendo en A·X.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Matrices y grafos: modelización de situaciones sociales y económicas#

Matriz de transición entre ciudad y campo

La capacidad de las matrices para representar relaciones entre elementos las convierte en una herramienta natural para modelizar grafos, es decir, conjuntos de puntos (vértices o nodos) unidos por conexiones (aristas). A un grafo de « n » vértices se le asocia su matriz de adyacencia, una matriz cuadrada n × n cuyo elemento de la fila « i » y columna « j » vale 1 si existe una conexión del vértice « i » al « j » y 0 si no la hay. En un grafo dirigido —donde las conexiones tienen sentido— la matriz no tiene por qué ser simétrica; en uno no dirigido sí lo es. La Fig. 7 muestra un grafo dirigido junto a su matriz de adyacencia.

Grafo dirigido y su matriz de adyacencia

Fig. 7 ↓

Las matrices de adyacencia permiten modelizar redes muy diversas en ciencias sociales: rutas de transporte entre ciudades, relaciones de influencia en una red social, enlaces entre páginas web o flujos comerciales entre países. Una propiedad notable y útil es que las potencias de la matriz de adyacencia cuentan caminos: el elemento (i, j) de la matriz A^2 indica cuántos caminos de longitud 2 (es decir, con un vértice intermedio) llevan del vértice « i » al « j », y en general A^k cuenta los caminos de longitud « k ». Esta lectura combinatoria conecta el álgebra de matrices con problemas reales de conectividad.

Una segunda gran aplicación social es la de las matrices de transición, propias de los modelos de evolución por etapas como las cadenas de Markov. En una matriz de transición cada columna recoge las probabilidades (o proporciones) con que un estado pasa a los demás en una etapa, de modo que las columnas suman 1. Multiplicando la matriz de transición M por el vector de estado actual v se obtiene el estado en la etapa siguiente: v_{nuevo} = M · v. Repitiendo el producto se proyecta la evolución del sistema a lo largo del tiempo, lo que se usa para modelizar migraciones, cuotas de mercado o trasvases de votantes.

Estos modelos enlazan las matemáticas con la demografía y la economía: el modelo de Leslie describe el crecimiento de una población estructurada por edades, y las cadenas de Markov modelizan el reparto entre categorías que cambia con el tiempo. La traducción de un enunciado social a una matriz de transición —decidir qué representan filas y columnas y comprobar que las columnas suman 1— es una destreza central del apartado. Conviene recordar que estos modelos describen una evolución a largo plazo: iterando v, M·v, M^2·v, … muchos sistemas tienden a una distribución estable.

Vocabulario

→ Tarjetas

GrafoConjunto de vértices unidos por aristas; modeliza conexiones entre ciudades, personas o páginas.
Grafo dirigidoGrafo en el que las aristas tienen sentido; su matriz de adyacencia no tiene por qué ser simétrica.
Matriz de adyacenciaMatriz cuyo elemento (i, j) vale 1 si hay conexión del vértice i al j y 0 si no la hay.
Matriz de transiciónMatriz cuyas columnas suman 1 y recogen las proporciones que pasan de un estado a otro en cada etapa.
Vector de estadoColumna v con el reparto actual entre los estados; la etapa siguiente es M·v.

Matriz de adyacencia de un grafo

a_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si hay conexión de } i \text{ a } j \\ 0 & \text{en caso contrario} \end{cases}

Codifica con unos y ceros las conexiones; en un grafo no dirigido la matriz es simétrica.

Evolución con una matriz de transición

v_{1} = M \cdot v_{0}, \qquad v_{k} = M^{k} \cdot v_{0}

M aplica una etapa de cambio al vector de estado; iterando se proyecta la evolución temporal.

Condición de una matriz de transición

\sum_{i} m_{ij} = 1 \quad \text{(cada columna suma 1)}

Las proporciones que salen de cada estado se reparten por completo: la suma de cada columna es la unidad.

Ejemplo resuelto

Proyección de población con una matriz de transición

En una región, cada año el 10 % de la población urbana se traslada al campo (y el 90 % permanece en la ciudad), mientras que el 20 % de la población rural se traslada a la ciudad (y el 80 % permanece en el campo). Si hoy hay 6 millones de habitantes urbanos y 4 millones rurales, escribe la matriz de transición y calcula la distribución dentro de un año.

Construir la matriz de transición
Las columnas representan el estado de partida (ciudad, campo) y deben sumar 1. Columna ciudad: 0,90 permanece y 0,10 se va al campo; columna campo: 0,20 va a la ciudad y 0,80 permanece.
Escribir el vector de estado inicial
En millones de habitantes, ciudad arriba y campo abajo.
Calcular v₁ = M·v₀
Producto de la matriz por el vector, fila por columna.
Interpretar
Dentro de un año habrá 6,2 millones de habitantes en la ciudad y 3,8 millones en el campo; el total se conserva (10 millones), como debe ocurrir al sumar las columnas 1.

Resultado: M = [[0,90 ; 0,20], [0,10 ; 0,80]] y la distribución al cabo de un año es 6,2 millones urbanos y 3,8 millones rurales.

Errores frecuentes

Olvidar el sentido de las conexiones en un grafo dirigido y rellenar la matriz de adyacencia como si fuera simétrica, confundiendo el elemento (i, j) con el (j, i).
Plantear una matriz de transición cuyas columnas no suman 1 (o sumar por filas en lugar de por columnas), de modo que el modelo deja de tener sentido probabilístico.
Leer el elemento (i, j) de M² como « hay 2 caminos ». El número que aparece es la CANTIDAD de caminos de longitud 2, no su longitud; un 0 significa que no hay ninguno.
Perder el total de población al iterar: si las columnas de M suman 1, la suma de las componentes de M·v debe coincidir con la de v. Si no coincide, hay un error de trasposición o de porcentaje.

Repaso activo

En una región, cada año el 15 % de la población urbana se traslada al campo y el resto permanece en la ciudad, mientras que el 5 % de la población rural se traslada a la ciudad y el resto permanece en el campo. Escribe la matriz de transición M (con las columnas sumando 1) y, partiendo de 8 millones de habitantes urbanos y 2 millones rurales, calcula la distribución al cabo de un año mediante M·v.

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Recuerdo activo

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Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

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Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Matrices y sus aplicaciones

5 secciones~28 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

Operaciones con matrices: suma, producto por escalar y producto matricial#

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