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Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Este tema enseña a traducir problemas de las ciencias sociales y de la vida cotidiana al lenguaje algebraico mediante sistemas de ecuaciones lineales, a resolverlos y clasificarlos por el método de Gauss (apoyándonos en matrices) y a discutir cómo varía la solución cuando el modelo depende de un parámetro. La segunda mitad pasa de las igualdades a las desigualdades: la resolución gráfica de inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas y la determinación de la región factible. Es uno de los bloques de «Sentido algebraico» con presencia constante en la fase de acceso de la PAU y, además, el puente natural hacia la programación lineal.

5 secciones~29 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

T·0222 / 11

Perfil de examen

CE1 · Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias sociales planteando y resolviendo sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales.CE2 · Verificar la validez de las posibles soluciones de un problema empleando el razonamiento y la argumentación (comprobación e interpretación de la solución en su contexto).CE3 · Formular y comprobar conjeturas sencillas utilizando el razonamiento, la abstracción y las herramientas adecuadas (discusión de sistemas dependientes de un parámetro).

Operadores:plantearesuelveclasificadiscutecalculajustificainterpretarazonatraducerepresenta

nivel básico

Lo exigible para todo el alumnado: plantear un sistema lineal a partir de un enunciado, resolverlo por Gauss, clasificarlo (compatible determinado, indeterminado o incompatible) e interpretar el resultado en el contexto.

nivel avanzado

La profundización propia de esta materia de modalidad: discutir un sistema dependiente de un parámetro razonando los rangos (criterio de Rouché-Frobenius a nivel operativo) y resolver gráficamente sistemas de inecuaciones determinando y describiendo la región factible.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

5 secciones20 puntos clave8 fórmulas20 errores típicos

Sistemas lineales: planteamiento y clasificación#

~5 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 2. Modelo matemático: «Sistemas de ecuaciones: modelización de situaciones en diversos contextos.»

Mapa de clasificación de sistemas lineales (SCD / SCI / SI)

Modelizar un problema de ciencias sociales suele reducirse a un mismo gesto: nombrar con incógnitas las cantidades desconocidas y escribir, como ecuaciones, las relaciones que el enunciado afirma entre ellas. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado que han de cumplirse a la vez; resolverlo es hallar todos los valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones. La condición «a la vez» es la clave: una solución debe verificar cada ecuación, no solo una de ellas.

Geométricamente, cada ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano, y la solución del sistema es el conjunto de puntos comunes a todas esas rectas (Fig. 1). Esto da una imagen muy clara de las tres situaciones posibles: las rectas pueden cortarse en un único punto, ser la misma recta o ser paralelas sin punto común. Cada caso corresponde a un tipo de sistema, y esa correspondencia entre álgebra y geometría es el hilo conductor de todo el tema.

Interpretación gráfica de un sistema 2x2: rectas secantes (única solución)

Fig. 1 ↓

Atendiendo a su número de soluciones, los sistemas se clasifican en tres familias. Un sistema es «compatible determinado» (SCD) cuando tiene una única solución; es «compatible indeterminado» (SCI) cuando tiene infinitas soluciones, que se describen mediante uno o más parámetros; y es «incompatible» (SI) cuando no tiene ninguna solución porque las ecuaciones se contradicen entre sí. Un sistema cuyos términos independientes son todos cero se llama homogéneo: nunca es incompatible, pues la solución trivial (todas las incógnitas nulas) siempre lo verifica.

Esta clasificación no es una mera etiqueta: en un problema real cada caso tiene una lectura. Una solución única significa que los datos determinan por completo la respuesta (por ejemplo, los precios de dos productos quedan fijados); infinitas soluciones indican que el modelo está «poco determinado» y admite varias respuestas válidas (faltan datos o sobran grados de libertad); y la incompatibilidad revela que las condiciones impuestas son contradictorias y, por tanto, que el enunciado, tal como está, no tiene respuesta. Interpretar correctamente esa salida es justo lo que evalúa la competencia CE2.

Conviene distinguir desde el principio entre un sistema y una sola ecuación, y entre ecuaciones equivalentes y ecuaciones independientes. Dos ecuaciones son equivalentes (aportan la misma información) cuando una es múltiplo de la otra; en ese caso, aunque haya «dos ecuaciones», en realidad solo hay una condición. Reconocer estas dependencias antes de calcular evita errores y anticipa si el sistema será determinado o indeterminado.

Vocabulario

→ Tarjetas

Sistema de ecuaciones linealesConjunto de ecuaciones de primer grado que deben cumplirse a la vez.
Solución del sistemaConjunto de valores de las incógnitas que satisface TODAS las ecuaciones simultáneamente.
Compatible determinado (SCD)Sistema con una única solución; gráficamente, rectas secantes.
Compatible indeterminado (SCI)Sistema con infinitas soluciones, que se expresan en función de un parámetro; gráficamente, rectas coincidentes.
Incompatible (SI)Sistema sin ninguna solución; gráficamente, rectas paralelas.
Sistemas equivalentesSistemas con exactamente las mismas soluciones; el método de Gauss pasa de uno a otro equivalente.

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Ejemplo resuelto

Plantear y clasificar gráficamente un sistema 2x2

Una persona ha comprado 2 entradas de cine y 1 de teatro pagando 35 €, y en otra ocasión 1 entrada de cine y 1 de teatro por 25 €. Plantea el sistema, resuélvelo gráficamente y clasifícalo.

Definir incógnitas
Sea x el precio de una entrada de cine (€) e y el precio de una entrada de teatro (€).
Escribir el sistema
Las dos compras dan dos ecuaciones lineales.
Despejar y en cada recta
De la primera, y = 35 - 2x; de la segunda, y = 25 - x. Son dos rectas de pendientes distintas (-2 y -1).
Hallar el punto de corte
Igualando: 35 - 2x = 25 - x, de donde 10 = x, es decir x = 10; sustituyendo, y = 25 - 10 = 15.
Clasificar
Las rectas tienen pendientes diferentes, por lo que se cortan en un único punto: el sistema es compatible determinado (SCD).

Resultado: La entrada de cine cuesta 10 € y la de teatro 15 €. El sistema es compatible determinado (solución única).

Errores frecuentes

Definir mal las incógnitas o no escribirlas explícitamente: sin la frase «sea x = …», el resto de la resolución pierde sentido y se pierden puntos de planteamiento.
Confundir «sin solución» con «solución cero»: un sistema homogéneo siempre tiene al menos la solución trivial (todas las incógnitas nulas), de modo que nunca es incompatible.
Dar como respuesta final los valores de x e y sin volver al contexto. Un sistema planteado desde un enunciado se termina respondiendo a la pregunta, con unidades y comprobando que la solución es razonable (no salen personas negativas).
Confundir « sin solución » con « solución cero ». Un sistema incompatible NO tiene ninguna solución; que la solución sea x = 0, y = 0 significa que sí la tiene, y vale cero.

Repaso activo

En una librería se han vendido por la mañana 3 novelas y 2 ensayos por un total de 64 €, y por la tarde 1 novela y 4 ensayos por 58 €. Define las incógnitas, plantea el sistema lineal correspondiente y, sin resolverlo todavía, razona si esperas que sea compatible determinado, indeterminado o incompatible.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Resolución por el método de Gauss y mediante matrices#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 3. Igualdad y desigualdad: «Formas equivalentes de expresiones algebraicas en la resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones, mediante cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, y con herramientas digitales.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 5. Pensamiento computacional: «Análisis algorítmico de las propiedades de las operaciones con matrices y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.»

El método de Gauss (o eliminación gaussiana) es el procedimiento estándar para resolver sistemas lineales de cualquier tamaño: transforma el sistema, paso a paso, en otro equivalente —con las mismas soluciones— pero escalonado, en el que la última ecuación tiene una sola incógnita y se va remontando hacia arriba. Es sistemático, válido para 2, 3 o más incógnitas y, además, hace transparente la clasificación del sistema al final del proceso.

Su eficacia descansa en las llamadas transformaciones elementales, que no alteran el conjunto de soluciones: intercambiar dos ecuaciones de orden, multiplicar una ecuación por un número distinto de cero, y sumar a una ecuación otra multiplicada por un número. Aplicando estas operaciones se anulan, de forma ordenada, los coeficientes situados por debajo de la diagonal hasta dejar una forma «en escalera». La idea es la misma que la del método de reducción que ya se usaba en cursos anteriores (repaso), pero llevada de manera sistemática.

Para ganar claridad y rapidez se trabaja con la matriz ampliada del sistema, que coloca a la izquierda los coeficientes y a la derecha los términos independientes, separados por una barra (Fig. 3). Las transformaciones elementales se aplican entonces sobre las filas de esa matriz; cada fila representa una ecuación, de modo que el sistema y su matriz ampliada son dos lenguajes de lo mismo. Este es el sentido de resolver «mediante matrices» que pide el currículo de esta materia.

Esquema del método de Gauss sobre la matriz ampliada

Fig. 3 ↓

Una vez escalonada la matriz, la lectura del resultado es inmediata. Si la última fila no nula deja una incógnita por ecuación, el sistema es compatible determinado y se resuelve por sustitución hacia atrás. Si aparece una fila de ceros a la izquierda con un término independiente también nulo (del tipo 0 = 0), esa ecuación es redundante: hay menos ecuaciones útiles que incógnitas y el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones que se parametrizan. Si aparece una fila imposible (del tipo 0 = k con k distinto de cero), el sistema es incompatible.

Esta lectura final es, en la práctica, el teorema de Rouché-Frobenius en acción: el número de filas no nulas de la matriz escalonada es el rango. Cuando el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, el sistema es compatible (determinado si ese rango iguala el número de incógnitas, indeterminado si es menor); cuando los rangos difieren, es incompatible. No hace falta calcular determinantes: el propio escalonamiento de Gauss revela los rangos y, con ellos, la naturaleza del sistema.

Vocabulario

→ Tarjetas

Matriz ampliadaMatriz (A | B) que junta los coeficientes y los términos independientes separados por una barra.
EscalonarTransformar la matriz por operaciones de fila hasta que cada fila empiece con más ceros que la anterior.
PivotePrimer elemento no nulo de una fila escalonada; con él se hacen ceros por debajo.
Sustitución regresivaDespejar desde la última ecuación hacia arriba una vez escalonado el sistema.
Fila absurdaFila del tipo (0 0 0 | k) con k ≠ 0: dice 0 = k, luego el sistema es incompatible.

Matriz ampliada de un sistema 3x3

\left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array}\right)

A la izquierda de la barra van los coeficientes de las incógnitas; a la derecha, los términos independientes.

Transformación elemental de fila

F_2 \to F_2 - \frac{a_{21}}{a_{11}}\,F_1

Resta a la fila 2 un múltiplo de la fila 1 para anular el coeficiente bajo el pivote. No cambia las soluciones.

Criterio de Rouché-Frobenius (caso determinado)

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = n \;\Rightarrow\; \text{SCD}

Si el rango de la matriz de coeficientes A iguala al de la ampliada A* y ambos coinciden con el número n de incógnitas, el sistema tiene solución única.

Ejemplo resuelto

Sistema 3x3 compatible determinado por Gauss

Resuelve por el método de Gauss el sistema: x + y + z = 6; x + 2y + 3z = 14; 2x + y + z = 7.

Matriz ampliada
Se ordenan coeficientes y términos independientes.
Anular la primera columna
F2 → F2 − F1 y F3 → F3 − 2F1.
Anular bajo el segundo pivote
F3 → F3 + F2 deja la matriz triangular.
Sustitución hacia atrás
La 3.ª fila da z = 3. La 2.ª: y + 2(3) = 8 ⟹ y = 2. La 1.ª: x + 2 + 3 = 6 ⟹ x = 1.
Comprobar
2(1) + 2 + 3 = 7 (correcto); 1 + 2(2) + 3(3) = 14 (correcto). Tres pivotes no nulos ⟹ rangos iguales a 3 ⟹ SCD.

Resultado: Solución única: x = 1, y = 2, z = 3. El sistema es compatible determinado.

Errores frecuentes

Aplicar transformaciones no válidas, como sumar dos ecuaciones a la vez sobre una sola fila o multiplicar una fila por cero, lo que cambia el conjunto de soluciones o destruye información.
Cometer errores de signo al hacer Fila2 → Fila2 − k·Fila1: hay que restar el producto término a término, incluido el término independiente, sin olvidar ninguno.
Multiplicar una fila por CERO para « hacer ceros ». Solo se puede multiplicar por un número distinto de cero; multiplicar por cero destruye información y cambia el sistema.
Operar con dos filas y escribir el resultado en la fila equivocada: al hacer F₂ → F₂ − 2F₁, la que cambia es F₂ y F₁ se conserva intacta. Anotar la operación al margen evita perder la pista.

Repaso activo

Resuelve por el método de Gauss, escribiendo la matriz ampliada y las transformaciones de fila, el sistema: x + y + z = 6; x − y + 2z = 5; 2x + y − z = 1.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Discusión de sistemas dependientes de un parámetro#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 3. Igualdad y desigualdad: «Resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones en diferentes contextos.»Alcance de este apunte: la «discusión» de un sistema dependiente de un parámetro no se nombra como tal en el Anexo II; se desarrolla aquí porque es la forma en que las EBAU de la mayoría de comunidades piden este saber.

Discutir un sistema dependiente de un parámetro consiste en estudiar cómo cambia su naturaleza —y, por tanto, su número de soluciones— según los valores que tome ese parámetro, normalmente llamado m, k o a. No se trata de resolver para un valor concreto, sino de clasificar el sistema para todos los valores posibles a la vez, distinguiendo los valores «especiales» de los «genéricos». Es la tarea que mejor encarna la competencia CE3: formular y comprobar conjeturas razonando con abstracción.

La estrategia más limpia en esta materia es escalonar por Gauss arrastrando el parámetro como si fuese un número, prestando atención a los pivotes: el sistema cambia de comportamiento justo en los valores del parámetro que anulan algún pivote. Esos valores críticos se obtienen igualando a cero las expresiones que aparecen en la diagonal durante el escalonamiento; alternativamente, pueden hallarse anulando el determinante de la matriz de coeficientes, que conduce a los mismos valores singulares.

El esquema de discusión es siempre el mismo (Fig. 4). Primero se localizan los valores del parámetro que anulan el pivote (los casos singulares). Para todos los demás valores, el sistema es compatible determinado, porque todos los pivotes son no nulos. Después, se estudia por separado cada valor singular sustituyéndolo en la matriz escalonada: según quede una fila redundante (0 = 0) o una fila imposible (0 = k con k distinto de cero), el sistema resultará compatible indeterminado o incompatible en ese valor concreto.

Esquema de discusión de un sistema según un parámetro

Fig. 4 ↓

El marco teórico que ordena la discusión es de nuevo el teorema de Rouché-Frobenius: se comparan el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada en función del parámetro. Cuando ambos rangos coinciden con el número de incógnitas, hay solución única; cuando coinciden pero son menores, hay infinitas; cuando difieren, el sistema es incompatible. Aunque en esta materia el cálculo se apoya en Gauss, conviene saber leer el resultado en términos de rangos, pues así se justifica con rigor cada caso.

En un problema con contexto, cada tramo de la discusión tiene su lectura. Un valor del parámetro que vuelve el sistema incompatible suele corresponder a una condición imposible del enunciado (por ejemplo, unos precios o unas cantidades que no pueden coexistir); un valor que lo vuelve indeterminado señala que, para ese dato, el problema queda mal determinado y admite varias respuestas. Interpretar la discusión, y no solo realizarla, es lo que distingue una respuesta de nivel de modalidad.

Vocabulario

→ Tarjetas

ParámetroLetra (m, k, a) que representa un dato desconocido pero fijo, no una incógnita del sistema.
Discutir un sistemaDecir, para cada valor del parámetro, si el sistema es SCD, SCI o SI.
Valor singularValor del parámetro que anula un pivote y obliga a estudiar ese caso por separado.
Caso generalTodos los valores del parámetro salvo los singulares; suele dar SCD.
Parámetro libreIncógnita a la que se da un valor arbitrario para describir las infinitas soluciones de un SCI.

Localización de los valores críticos

\det(A) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \text{valores singulares del parámetro}

Los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes son los que cambian la naturaleza del sistema; coinciden con los que anulan algún pivote en el escalonamiento de Gauss.

Clasificación por rangos (Rouché-Frobenius)

\begin{cases} \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=n & \text{SCD} \\ \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})<n & \text{SCI} \\ \operatorname{rg}(A)\neq\operatorname{rg}(A^{*}) & \text{SI} \end{cases}

Esquema completo que ordena la discusión: se comparan los rangos de A y de la ampliada A* en función del parámetro y se contrastan con el número n de incógnitas.

Ejemplo resuelto

Discusión de un sistema con parámetro

Discute, según los valores de m, el sistema: x + y + z = 1; x + 2y + z = 2; x + y + mz = 3. Resuélvelo cuando sea compatible determinado.

Matriz ampliada y escalonado
F2 → F2 − F1 y F3 → F3 − F1.
Localizar el valor singular
El tercer pivote es m − 1, que se anula solo cuando m = 1. Para todos los demás valores hay tres pivotes no nulos.
Caso general (m distinto de 1)
Tres pivotes no nulos ⟹ rangos iguales a 3 = n.os de incógnitas ⟹ SCD.
Caso singular m = 1
La tercera fila queda 0·z = 2, es decir 0 = 2, imposible ⟹ rg(A) = 2 ≠ rg(A*) = 3 ⟹ sistema incompatible (SI).
Resolver el caso SCD
Para m distinto de 1: z = 2/(m − 1); de la 2.ª, y = 1; de la 1.ª, x = 1 − y − z = -2/(m − 1).

Resultado: Si m ≠ 1, el sistema es compatible determinado con x = −2/(m−1), y = 1, z = 2/(m−1). Si m = 1, es incompatible.

Explicación paso a paso8 pasos

1
Discutir un sistema con parámetro asusta porque parece que hay infinitos casos. En realidad hay dos: el caso general y una lista corta de valores especiales. Todo el trabajo consiste en encontrar esa lista.
2
Empieza escalonando como siempre, arrastrando la m sin miedo. La m es un número fijo que todavía no conoces, no una incógnita más.
3
Cada vez que vayas a dividir entre algo que contiene la m, para. Ahí acabas de encontrar un valor especial: el que anula ese divisor.
De dónde salen los valores singulares
$\text{dividir entre } (m-2) \;\Longrightarrow\; \text{caso general } m \neq 2 \;\text{ y caso aparte } m = 2$
La condición « m distinto de 2 » no es un adorno: es lo que hace legítima la división. El valor excluido pasa a la lista de casos particulares.
4
Con esa condición escrita, termina el escalonamiento. Lo que obtienes es el caso general, y casi siempre sale un sistema compatible determinado.
5
Ahora vuelve al principio y sustituye cada valor especial en el sistema ORIGINAL. No en el escalonado: al escalonar ya habías supuesto que ese valor no aparecía.
6
Con el número ya puesto, escalona otra vez. Ahora solo hay dos finales posibles, y se leen en la última fila.
La última fila decide
$(0\;\;0\;\;0 \mid 0) \Rightarrow \text{SCI} \qquad (0\;\;0\;\;0 \mid k),\; k \neq 0 \Rightarrow \text{SI}$
Una fila de ceros completa sobra: hay infinitas soluciones. Una fila que afirma 0 = k con k no nulo es imposible: no hay ninguna.
7
Redacta la discusión como una lista: si m es distinto de tal, compatible determinado; si m vale tal, indeterminado; si vale tal otro, incompatible. Esa lista es la respuesta.
8
Y si el enunciado pide además resolver, hazlo en el caso que te indique. En el indeterminado, da un parámetro libre a una incógnita y expresa las demás en función de él.

Errores frecuentes

Dividir por una expresión que contiene el parámetro sin advertir que puede anularse: al hacerlo se «pierde» justamente el caso singular que hay que discutir.
Olvidar estudiar uno de los valores críticos por separado, o dar por hecho que un valor singular es siempre incompatible cuando en ocasiones produce un sistema compatible indeterminado.
Dividir entre una expresión que contiene el parámetro sin excluir el valor que la anula. Antes de dividir entre (m − 2) hay que decir « si m ≠ 2 », y tratar m = 2 como caso aparte.
Terminar la discusión sin resolver. Discutir es decir cuántas soluciones hay en cada caso; el examen casi siempre pide además resolver el sistema en al menos uno de esos casos.

Repaso activo

Discute, según los valores del parámetro m, el sistema: x + y + z = 1; x + 2y + z = 2; x + y + mz = m. Resuélvelo en los casos compatibles.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones con dos incógnitas#

Una inecuación lineal con dos incógnitas, como ax + by ≤ c, no se resuelve con un número ni con un punto, sino con una región del plano: el conjunto de todos los pares (x, y) que la cumplen. La igualdad asociada ax + by = c es una recta que divide el plano en dos semiplanos; la inecuación selecciona uno de esos dos semiplanos (Fig. 5). Pasar de «resolver una ecuación» a «resolver una inecuación» significa, por tanto, pasar de buscar puntos aislados a describir zonas enteras.

Semiplano solución de la inecuación x + 2y ≤ 6

Fig. 5 ↓

El procedimiento gráfico es directo y muy fiable. Primero se dibuja la recta frontera ax + by = c, trazada como línea continua si la desigualdad es «mayor o igual» o «menor o igual» (los puntos de la recta sí cumplen la condición) y como línea discontinua si es estricta «mayor» o «menor» (la recta queda excluida). Después se elige un punto de prueba cualquiera que no esté sobre la recta —el origen (0, 0) es el más cómodo cuando la recta no pasa por él— y se comprueba si verifica la inecuación: si la cumple, la solución es el semiplano que lo contiene; si no, el semiplano opuesto.

Un sistema de inecuaciones es un conjunto de inecuaciones que deben cumplirse a la vez, de modo que su solución es la intersección de todos los semiplanos: justo los puntos que satisfacen todas las condiciones simultáneamente. Esa intersección se construye sombreando cada semiplano y quedándose con la zona común a todos. Conviene fijarse en si la zona común es acotada (un polígono cerrado) o no acotada (se extiende indefinidamente en alguna dirección), pues eso será decisivo más adelante.

En los problemas de ciencias sociales y de economía es muy frecuente añadir las restricciones de no negatividad x ≥ 0, y ≥ 0, porque las incógnitas representan cantidades que no pueden ser negativas (número de unidades producidas, horas trabajadas, kilos comprados). Estas dos condiciones confinan la solución al primer cuadrante y, junto con las demás restricciones del enunciado, recortan la zona común. Reconocerlas y escribirlas forma parte del planteamiento.

Este apartado es el eslabón que conecta el álgebra de las desigualdades con la programación lineal, que se estudia justo después. La región común de un sistema de inecuaciones es lo que allí se llamará «región factible»: el conjunto de todas las decisiones posibles que respetan las restricciones del problema. Por eso aquí se insiste en dibujarla y describirla con precisión, porque sobre ella se buscará después el óptimo.

Vocabulario

→ Tarjetas

Inecuación linealDesigualdad del tipo ax + by ≤ c (o <, ≥, >) entre expresiones de primer grado.
Recta fronteraRecta ax + by = c que separa el plano en dos semiplanos.
Semiplano soluciónZona del plano cuyos puntos cumplen la inecuación.
Punto de pruebaPunto cualquiera fuera de la frontera con el que se comprueba qué semiplano cumple la desigualdad.
Frontera incluidaSituación de ≤ o ≥: la recta se dibuja continua y sus puntos son solución; con < o > se dibuja discontinua.

Inecuación lineal con dos incógnitas

ax + by \leq c

Su frontera es la recta ax + by = c, que parte el plano en dos semiplanos; la inecuación selecciona uno de ellos.

Solución de un sistema de inecuaciones

S = \{(x,y) : a_1x+b_1y \leq c_1\} \cap \cdots \cap \{(x,y) : a_kx+b_ky \leq c_k\}

Es la intersección (zona común) de todos los semiplanos asociados a las inecuaciones del sistema.

Ejemplo resuelto

Resolver gráficamente una inecuación lineal

Resuelve gráficamente la inecuación 2x + y < 4, indicando claramente la recta frontera y el semiplano solución.

Dibujar la recta frontera
La frontera es 2x + y = 4, es decir y = 4 − 2x. Pasa por (0, 4) y por (2, 0). Como la desigualdad es estricta (<), se traza discontinua: sus puntos NO son solución.
Elegir un punto de prueba
El origen (0, 0) no está sobre la recta, así que sirve como punto de prueba.
Comprobar la condición
Se sustituye: 2(0) + 0 = 0, y 0 < 4 es verdadero. Luego el origen pertenece al semiplano solución.
Concluir
La solución es el semiplano que contiene al origen (el situado por debajo de la recta), sin incluir la propia recta por ser desigualdad estricta.

Resultado: La solución es el semiplano abierto que contiene a (0, 0), bajo la recta discontinua 2x + y = 4 (la recta queda excluida).

Errores frecuentes

Confundir línea continua y discontinua: una desigualdad estricta (< o >) excluye la recta frontera y debe dibujarse discontinua; una desigualdad no estricta (≤ o ≥) la incluye y va continua.
Sombrear el semiplano equivocado por no usar un punto de prueba, o usar el origen como punto de prueba cuando la recta pasa justo por él (entonces hay que elegir otro punto).
Olvidar cambiar el sentido de la desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo: de −2y ≥ 6 se pasa a y ≤ −3, no a y ≥ −3.
Usar el origen como punto de prueba cuando la recta frontera PASA por el origen. En ese caso el (0, 0) no decide nada y hay que probar con otro punto, por ejemplo (1, 0).

Repaso activo

Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones: x + y ≤ 5; y ≥ x − 1; x ≥ 0; y ≥ 0. Indica si la región resultante es acotada o no acotada.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Determinación e interpretación de la región factible#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 3. Igualdad y desigualdad: «Resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones en diferentes contextos.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 3. Igualdad y desigualdad: «Formas equivalentes de expresiones algebraicas en la resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones, mediante cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, y con herramientas digitales.»

Esquema del procedimiento para hallar la región factible

La región factible es el nombre que recibe la solución de un sistema de inecuaciones cuando se interpreta como el conjunto de todas las decisiones admisibles de un problema: es la zona del plano formada por todos los puntos que cumplen a la vez todas las restricciones. Determinarla con precisión —su forma, sus lados y sus vértices— es el objetivo central de este apartado y el cimiento sobre el que se levanta la programación lineal del tema siguiente.

Para construirla se representa cada inecuación como un semiplano y se toma su intersección, exactamente como en el apartado anterior; lo nuevo es prestar atención a los vértices, los puntos donde se cruzan dos rectas frontera. Cada vértice se calcula resolviendo el sistema de las dos ecuaciones de las rectas que se cortan en él (Fig. 6). Estos vértices son decisivos: en programación lineal, la solución óptima de un problema lineal, si existe, se alcanza siempre en un vértice de la región factible.

Región factible acotada con sus vértices etiquetados

Fig. 6 ↓

Conviene distinguir dos tipos de región según su tamaño. Una región acotada es un polígono convexo cerrado, encerrado por completo por las rectas frontera; tiene un número finito de vértices y un área finita. Una región no acotada se extiende indefinidamente en alguna dirección y no queda «encerrada»; puede tener vértices, pero su frontera incluye semirrectas que no terminan. Esta distinción anticipa por qué algunos problemas de optimización tienen solución y otros pueden no estar acotados.

También puede ocurrir que la intersección de los semiplanos sea vacía: si las restricciones se contradicen entre sí, no hay ningún punto que las cumpla todas y la región factible no existe. En un problema real, una región factible vacía significa que las condiciones impuestas son incompatibles y que, tal como está planteado, el problema no tiene ninguna solución admisible; reconocer esa situación es parte de verificar la validez del modelo (competencia CE2).

La interpretación es la parte que da sentido a todo el trabajo gráfico. Cada punto de la región factible representa una combinación de las variables que respeta todas las exigencias del enunciado: por ejemplo, una producción de x unidades de un artículo e y de otro que no supera el presupuesto, las horas de máquina ni la demanda. Describir la región —sus vértices y si es o no acotada— equivale a describir todas las opciones posibles antes de elegir, entre ellas, la mejor según un criterio.

Vocabulario

→ Tarjetas

Región factibleConjunto de puntos que cumplen a la vez todas las restricciones del problema.
Vértice de la regiónPunto donde se cortan dos rectas frontera y que pertenece a la región.
Región acotadaRegión que cabe dentro de un círculo; en ella se alcanzan siempre máximo y mínimo.
Región no acotadaRegión que se extiende indefinidamente; puede faltar el máximo o el mínimo.
RestricciónCada una de las inecuaciones que limitan las decisiones admisibles.

Cálculo de un vértice por intersección de rectas

\begin{cases} x + y = 6 \\ x + 2y = 8 \end{cases} \;\Rightarrow\; y = 2,\ x = 4

Restando la primera ecuación de la segunda se obtiene y = 2; sustituyendo, x = 4. El vértice es B(4, 2).

Ejemplo resuelto

Determinar la región factible y sus vértices

Dado el sistema x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, x + 2y ≤ 8, determina la región factible, calcula las coordenadas exactas de sus vértices e indica si es acotada.

Restricciones de no negatividad
x ≥ 0 e y ≥ 0 confinan la región al primer cuadrante; sus fronteras son los ejes.
Rectas de las otras restricciones
x + y = 6 pasa por (6, 0) y (0, 6); x + 2y = 8 pasa por (8, 0) y (0, 4). Con un punto de prueba como el origen se ve que ambas inecuaciones se cumplen en (0,0), de modo que la región es la zona común bajo ambas rectas y dentro del primer cuadrante.
Vértice sobre el eje X
Es el menor de los cortes con el eje X: x + y = 6 da (6, 0) y x + 2y = 8 da (8, 0); como ambas deben cumplirse, el vértice válido es A(6, 0).
Vértice interior (corte de las dos rectas)
Resolviendo el sistema de las dos rectas: restando, (x+2y)−(x+y)=8−6 ⟹ y = 2; entonces x = 6 − 2 = 4.
Vértice sobre el eje Y y origen
Sobre el eje Y el límite menor es (0, 4) de x + 2y = 8; con el origen se completan los vértices.
Clasificar
La región está completamente encerrada por los ejes y las dos rectas: es un cuadrilátero cerrado, por tanto acotada.

Resultado: La región factible es el cuadrilátero de vértices O(0,0), A(6,0), B(4,2) y C(0,4); es una región acotada (polígono convexo cerrado).

Errores frecuentes

Leer las coordenadas de los vértices «a ojo» sobre el dibujo en lugar de calcularlas resolviendo el sistema de las dos rectas que se cortan, lo que introduce errores en la fase de optimización posterior.
Incluir como vértice un punto de corte de dos rectas que en realidad cae fuera de la región (no cumple alguna de las demás restricciones): todo vértice debe pertenecer a la región factible.
Dar como vértice el corte de dos rectas frontera que no pertenece a la región. Todo vértice candidato debe comprobarse en TODAS las inecuaciones antes de aceptarlo.
Leer las coordenadas de los vértices sobre el dibujo. El dibujo orienta, pero los vértices se calculan resolviendo el sistema de las dos rectas que se cortan en él.

Repaso activo

Determina y dibuja la región factible del sistema x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 6, x + 2y ≤ 8. Calcula las coordenadas exactas de todos sus vértices e indica si la región es acotada.

Practicar con ejercicios afines8 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

Planificar un repaso

Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

5 secciones~29 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

Resolución por el método de Gauss y mediante matrices#

Discusión de sistemas dependientes de un parámetro#

Determinación e interpretación de la región factible#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 3. Igualdad y desigualdad: «Resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones en diferentes contextos.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, C. Sentido algebraico — 3. Igualdad y desigualdad: «Formas equivalentes de expresiones algebraicas en la resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones, mediante cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, y con herramientas digitales.»

Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Puntos clave

Plantear y clasificar gráficamente un sistema 2x2

Puntos clave

Sistema 3x3 compatible determinado por Gauss

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Discusión de un sistema con parámetro

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Resolver gráficamente una inecuación lineal

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Determinar la región factible y sus vértices

Fuentes

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Determinar la región factible y sus vértices

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