ES · Selectividad

Movimiento armónico simple

El movimiento armónico simple (MAS) es el modelo de oscilación más sencillo y más fértil de la física: describe todo sistema que, apartado de su posición de equilibrio, sufre una fuerza recuperadora proporcional a la separación. Este apunte recorre la cinemática (elongación, velocidad y aceleración), la dinámica (fuerza recuperadora, masa-muelle y péndulo simple) y la energía (cinética, potencial elástica y mecánica) del oscilador, y cierra mostrando que el MAS es la semilla del movimiento ondulatorio. Es un contenido nuclear del Bloque C de Física de 2.º de Bachillerato y aparece con regularidad en la Selectividad/PAU.

5 secciones~27 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

T·0666 / 11

Perfil de examen

CE1 · Resolver problemas de sistemas oscilantes (masa-muelle y péndulo simple) por métodos analíticos, aplicando las ecuaciones cinemáticas, dinámicas y energéticas del MAS (RD 243/2022, criterio de evaluación 1.2).CE3 · Aplicar la formulación matemática del MAS con magnitudes, unidades y ecuaciones correctas, y analizar la coherencia de los resultados obtenidos (RD 243/2022, criterios de evaluación 3.1, 3.3).CE5 · Obtener relaciones entre variables físicas en experiencias reales o virtuales —ley de Hooke en un muelle, dependencia del periodo del péndulo con su longitud— y contrastar el modelo con los datos (RD 243/2022, criterios de evaluación 5.1, 5.2).

Operadores:analizaexplicademuestracalculajustificainterpretarelacionarazona

nivel básico

Lo exigible es manejar con soltura las ecuaciones x = A·sen(ωt + φ), v y a, identificar amplitud, periodo, frecuencia y fase, y resolver los dos sistemas modelo (masa-muelle y péndulo simple) junto con el balance de energía.

nivel avanzado

Como materia de modalidad, Física profundiza en la deducción de las ecuaciones a partir de F = −k·x, en la equivalencia entre el MAS y la proyección de un movimiento circular uniforme, y en el análisis fino de las gráficas x(t), v(t) y a(t) y sus desfases.

Profundidad

Texto

Contenido · 5 secciones

Movimiento armónico simple

5 secciones25 puntos clave15 fórmulas25 errores típicos

Movimiento oscilatorio y magnitudes del MAS#

~5 min de lecturaBásicoBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque C (Vibraciones y ondas): «Movimiento oscilatorio: variables cinemáticas de un cuerpo oscilante y conservación de energía en estos sistemas.»

Un movimiento oscilatorio es todo aquel en el que un cuerpo recorre una y otra vez la misma trayectoria en torno a una posición de equilibrio, repitiéndose a intervalos regulares; cuando ese vaivén es además periódico y la fuerza que lo gobierna es recuperadora y proporcional al desplazamiento, hablamos de movimiento armónico simple (MAS). Es el modelo idealizado de un sinfín de fenómenos cotidianos —un muelle que oscila, un péndulo, la cuerda de una guitarra, la membrana de un altavoz— y por eso ocupa un lugar central en el estudio de las vibraciones y las ondas.

La magnitud que localiza al oscilador en cada instante es la elongación x: la distancia (con signo) desde la posición de equilibrio. Su valor máximo es la amplitud A, siempre positiva, que mide cuánto se aparta como mucho el cuerpo del equilibrio; en el SI ambas se miden en metros. El movimiento queda acotado en el intervalo [−A, +A], de modo que el cuerpo nunca abandona esa franja por mucho tiempo que oscile.

El carácter periódico se describe con tres magnitudes ligadas entre sí. El periodo T es el tiempo que tarda en completarse una oscilación completa (en segundos); la frecuencia f es el número de oscilaciones por segundo, su inversa, y se mide en hercios (1 Hz = 1 s⁻¹); y la frecuencia angular o pulsación ω relaciona la oscilación con el giro de 2π radianes de una vuelta completa. Sus vínculos son ω = 2π/T = 2π·f, de manera que conocida una de las tres quedan fijadas las otras dos. En la Fig. 1 se resume cómo se encadenan estas magnitudes a partir del propio movimiento.

Encadenamiento de las magnitudes del MAS

Fig. 1 ↓

La fase del movimiento, ωt + φ, es el argumento de la función seno y determina en qué punto del ciclo se encuentra el oscilador. La fase inicial φ (o constante de fase) fija la posición y el sentido de movimiento en el instante t = 0: si φ = 0 el cuerpo parte del equilibrio hacia los valores positivos; si φ = π/2 parte de un extremo. Conviene tener presente que el periodo del MAS no depende ni de la amplitud ni de la fase, sino únicamente de las características del sistema (su masa y su constante recuperadora), una propiedad que se llama isocronía y que es la clave de relojes y metrónomos.

Vocabulario

→ Tarjetas

Elongación (x)Posición del oscilador medida desde el centro de la trayectoria en un instante dado.
Amplitud (A)Elongación máxima. Es constante en un MAS ideal y fija la energía del oscilador.
Periodo (T)Tiempo de una oscilación completa, en segundos.
Frecuencia (f)Número de oscilaciones por segundo: f = 1/T, en hercios.
Pulsación (ω)Frecuencia angular ω = 2π/T = 2π·f, en rad/s. Es la que entra en las ecuaciones del MAS.
Fase inicial (φ)Ángulo que fija la posición del móvil en t = 0; se determina con las condiciones iniciales.

Periodo y frecuencia

T = \frac{1}{f}, \qquad f = \frac{1}{T}

El periodo (s) y la frecuencia (Hz) son magnitudes inversas: a más oscilaciones por segundo, menor tiempo por oscilación.

Frecuencia angular

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f

La pulsación o frecuencia angular (rad/s) traduce la frecuencia del oscilador al giro de 2π radianes que corresponde a una oscilación completa.

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Ejemplo resuelto

De las oscilaciones a las magnitudes características

Un cuerpo realiza un MAS y completa 25 oscilaciones en 10 s. Determina el periodo, la frecuencia y la frecuencia angular del movimiento.

Periodo
El periodo es el tiempo de una oscilación: el tiempo total dividido entre el número de oscilaciones.
Frecuencia
La frecuencia es la inversa del periodo.
Frecuencia angular
Se obtiene multiplicando la frecuencia por 2π.

Resultado: T = 0,4 s, f = 2,5 Hz y ω ≈ 15,71 rad/s.

Objetivo Selectividad

Saber pasar correctamente entre periodo, frecuencia y frecuencia angular usando ω = 2π/T = 2π·f, con sus unidades del SI.
Identificar amplitud, elongación, periodo, frecuencia y fase a partir del enunciado o de una ecuación dada del tipo x = A·sen(ωt + φ).
Justificar que el periodo de un MAS es independiente de la amplitud (isocronía).
Distingue con precisión las tres magnitudes temporales: T en segundos, f = 1/T en hercios y ω = 2π/T = 2π·f en RADIANES por segundo. Casi todos los errores numéricos del tema son un 2π perdido entre ellas.
La fase inicial φ sale SIEMPRE de las condiciones iniciales: sustituye t = 0 en la ecuación y despeja. Si el móvil parte de la elongación máxima, con seno φ = π/2 rad; si parte del centro hacia el sentido positivo, φ = 0.

Errores frecuentes

Confundir elongación (instantánea, con signo) con amplitud (valor máximo, siempre positivo).
Mezclar frecuencia f (en Hz) y frecuencia angular ω (en rad/s) y tratarlas como sinónimos.
Creer que un MAS de mayor amplitud tiene mayor periodo: el periodo no depende de A.
Trabajar con la calculadora en grados. En x = A·sen(ω·t + φ) el argumento está en radianes, y en modo grados el resultado no tiene ningún sentido físico.
Confundir amplitud con recorrido. La amplitud es la elongación MÁXIMA medida desde el centro: en una oscilación completa el móvil recorre 4A, y de un extremo al otro 2A.

Repaso activo

Un oscilador armónico completa 30 oscilaciones en 12 s. Calcula su periodo, su frecuencia y su frecuencia angular. Si su amplitud es de 8 cm, indica entre qué valores oscila la elongación.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Ecuaciones cinemáticas: elongación, velocidad y aceleración#

~5 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque C (Vibraciones y ondas): «Movimiento oscilatorio: variables cinemáticas de un cuerpo oscilante y conservación de energía en estos sistemas.»BOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque C (Vibraciones y ondas): «Movimiento ondulatorio: gráficas de oscilación en función de la posición y del tiempo, ecuación de onda que lo describe y relación con el movimiento armónico simple. Distintos tipos de movimientos ondulatorios en la naturaleza.»

La elongación de un MAS varía con el tiempo siguiendo una función sinusoidal: x = A·sen(ωt + φ). Esta única ecuación contiene toda la información cinemática del movimiento —la amplitud A da la altura de la onda temporal, la frecuencia angular ω su rapidez de repetición y la fase inicial φ el punto de arranque— y de ella se deducen, derivando respecto del tiempo, la velocidad y la aceleración. (Es indiferente usar seno o coseno: ambas describen un MAS y solo difieren en la fase inicial, pues cos θ = sen(θ + π/2).)

Derivando la elongación se obtiene la velocidad: v = dx/dt = A·ω·cos(ωt + φ). La velocidad alcanza su valor máximo, v_máx = A·ω, justo al pasar por la posición de equilibrio (x = 0), y se anula en los extremos (x = ±A), donde el cuerpo invierte el sentido del movimiento. Por eso el oscilador es más rápido en el centro y se detiene un instante en los puntos de retorno.

Derivando de nuevo se obtiene la aceleración: a = dv/dt = −A·ω²·sen(ωt + φ) = −ω²·x. Esta relación, a = −ω²·x, es la firma matemática del MAS: la aceleración es directamente proporcional a la elongación y de signo contrario, es decir, siempre apunta hacia la posición de equilibrio. Su módulo es máximo en los extremos (a_máx = A·ω²) y nulo en el centro, exactamente al revés que la velocidad.

Representadas sobre los mismos ejes, las tres funciones x(t), v(t) y a(t) son sinusoides de la misma frecuencia pero desfasadas (Fig. 2): la velocidadva adelantada un cuarto de periodo (π/2) respecto de la elongación, y la aceleración va en oposición de fase (π) con la elongación. Leer correctamente estos desfases —dónde es máxima cada magnitud y dónde se anula— es una de las destrezas más valoradas del tema. Existe además una útil relación independiente del tiempo, v = ±ω·√(A² − x²), que da la velocidad en función de la posición sin necesidad de conocer el instante.

Elongación, velocidad y aceleración del MAS frente al tiempo

Fig. 2 ↓

Vocabulario

→ Tarjetas

Ecuación del MASx = A·sen(ω·t + φ). Puede escribirse con coseno: solo cambia el valor de la fase inicial.
FaseArgumento completo ω·t + φ, en radianes; determina en qué punto del ciclo se encuentra el oscilador.
Velocidad instantáneav = A·ω·cos(ω·t + φ). Máxima en el centro y nula en los extremos.
Aceleración instantáneaa = −ω²·x. Proporcional a la elongación y siempre dirigida hacia el centro.
DesfaseDiferencia de fase entre dos magnitudes: en el MAS, la velocidad va 90° adelantada respecto de la elongación y la aceleración, 180°.

Elongación

x(t) = A\,\operatorname{sen}(\omega t + \varphi)

Posición instantánea respecto del equilibrio; A es la amplitud y ωt + φ la fase.

Velocidad

v(t) = A\,\omega\,\cos(\omega t + \varphi), \qquad v_{\text{máx}} = A\,\omega

Primera derivada de la elongación; es máxima en el equilibrio y nula en los extremos.

Aceleración

a(t) = -A\,\omega^{2}\,\operatorname{sen}(\omega t + \varphi) = -\omega^{2}\,x, \qquad a_{\text{máx}} = A\,\omega^{2}

Segunda derivada; proporcional a la elongación y de signo opuesto, siempre dirigida al equilibrio.

Velocidad en función de la posición

v = \pm\,\omega\sqrt{A^{2} - x^{2}}

Relaciona velocidad y elongación sin que aparezca el tiempo; muy útil en problemas energéticos.

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Ejemplo resuelto

Cinemática completa de un MAS

Un punto describe un MAS de ecuación x = 0,10·sen(20t) en unidades del SI. Halla la amplitud, la frecuencia angular, el periodo, las velocidades y aceleraciones máximas, y la velocidad cuando la elongación vale 6 cm.

Lectura de la ecuación
Comparando con x = A·sen(ωt + φ) se identifican A y ω directamente.
Periodo
Se obtiene de la frecuencia angular.
Velocidad máxima
Producto de la amplitud por la frecuencia angular.
Aceleración máxima
Amplitud por el cuadrado de la frecuencia angular.
Velocidad en x = 6 cm
Se usa la relación velocidad-posición con x = 0,06 m.

Resultado: A = 0,10 m, ω = 20 rad/s, T ≈ 0,314 s, v_máx = 2 m/s, a_máx = 40 m/s² y v(x = 6 cm) = 1,6 m/s.

Objetivo Selectividad

Escribir las ecuaciones de x(t), v(t) y a(t) a partir de los datos y calcular sus valores máximos (Aω para la velocidad, Aω² para la aceleración).
Interpretar y relacionar las gráficas x(t), v(t) y a(t): reconocer los desfases de π/2 y π y dónde cada magnitud es máxima o nula.
Aplicar la relación a = −ω²·x y la expresión v = ±ω·√(A² − x²) para resolver problemas sin recurrir al tiempo.
Deriva en lugar de memorizar: de x = A·sen(ω·t + φ) salen v = A·ω·cos(ω·t + φ) y a = −A·ω²·sen(ω·t + φ) = −ω²·x. Escribir a = −ω²·x es la firma del MAS y suele valer un apartado completo.
Las relaciones SIN tiempo ahorran media hoja: v = ±ω·√(A² − x²), |v|_max = A·ω y |a|_max = A·ω². Úsalas siempre que el enunciado dé la elongación en lugar del instante.

Errores frecuentes

Olvidar el signo negativo de la aceleración (a = −ω²·x) o no entender que indica que apunta siempre al equilibrio.
Situar el máximo de velocidad en los extremos en vez de en el centro (y al revés con la aceleración).
Trabajar la fase en grados cuando ω está en rad/s, o no poner la calculadora en radianes.
Situar la aceleración máxima en el centro. En el MAS la aceleración es máxima en los EXTREMOS y nula en el centro; la velocidad se comporta justo al revés.
Perder el signo de a = −ω²·x. Ese signo dice que la aceleración apunta siempre hacia el centro: sin él, el movimiento descrito sería divergente en lugar de oscilatorio.

Repaso activo

La elongación de un MAS viene dada por x = 0,06·sen(8t) (SI). Escribe las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración, halla sus valores máximos e indica la elongación, la velocidad y la aceleración en el instante t = π/16 s.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Dinámica del MAS: fuerza recuperadora y sistemas oscilantes#

~6 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque C (Vibraciones y ondas): «Movimiento oscilatorio: variables cinemáticas de un cuerpo oscilante y conservación de energía en estos sistemas.»

El origen físico del MAS está en su dinámica. Aplicando la segunda ley de Newton a la cinemática del apartado anterior, F = m·a = m·(−ω²·x) = −(m·ω²)·x, aparece una fuerza proporcional a la elongación y dirigida siempre hacia el equilibrio. A esa fuerza la llamamos fuerza recuperadora y se escribe F = −k·x, donde la constante k = m·ω² engloba las propiedades elásticas del sistema. El signo menos es esencial: cuanto más se aparta el cuerpo, con más intensidad lo empuja la fuerza de vuelta. Esta es, de hecho, la condición que define un MAS: un cuerpo describe un movimiento armónico simple si, y solo si, la fuerza resultante sobre él es recuperadora del tipo F = −k·x.

El sistema modelo es el oscilador masa-muelle (Fig. 3). Un muelle ideal de constante elástica k tira de una masa m con la fuerza de la ley de Hooke, F = −k·x (repaso de 1.º de Bachillerato). Igualando con m·ω²·x se obtiene ω = √(k/m) y, por tanto, el periodo T = 2π·√(m/k). Conviene fijarse en la dependencia: el periodo crece con la masa (más inercia, oscilación más lenta) y disminuye con la rigidez del muelle (un muelle más duro oscila más deprisa), pero no depende de la amplitud.

Los dos sistemas oscilantes modelo

Fig. 3 ↓

El segundo sistema clásico es el péndulo simple: una masa puntual colgada de un hilo inextensible y sin masa de longitud L. Para oscilaciones de pequeña amplitud (ángulos pequeños, donde sen θ ≈ θ), la componente del peso a lo largo de la trayectoria actúa como fuerza recuperadora y el movimiento es aproximadamente armónico simple, con periodo T = 2π·√(L/g). El resultado es notable: el periodo depende solo de la longitud del hilo y de la gravedad, no de la masa que cuelga ni —en la aproximación de ángulos pequeños— de la amplitud, lo que convirtió al péndulo en el corazón de los primeros relojes de precisión (Huygens, 1656).

Estos dos sistemas son los protagonistas del trabajo experimental del currículo (competencia CE5). Midiendo el alargamiento de un muelle frente a la fuerza aplicada se determina su constante k (recta de Hooke), y midiendo el periodo de un péndulo para distintas longitudes se comprueba la proporcionalidad entre T² y L, de cuya pendiente puede obtenerse el valor de g. Robert Hooke (ley de elasticidad) y Christiaan Huygens (péndulo) son los nombres históricos asociados a este apartado.

Vocabulario

→ Tarjetas

Fuerza recuperadoraFuerza F = −k·x que devuelve el oscilador al equilibrio; su proporcionalidad con la elongación es lo que hace el movimiento armónico.
Constante elástica (k)Rigidez del muelle, en N/m. Cuanto mayor es, más rápida es la oscilación.
Ley de HookeRelación F = −k·x entre la fuerza de un muelle y su deformación, válida mientras no se supere el límite elástico.
Péndulo simpleMasa puntual colgada de un hilo inextensible y sin masa; oscila como un MAS solo para ángulos pequeños.
Aproximación de ángulos pequeñosSustitución de sen θ por θ (en radianes), válida por debajo de unos 10°; es la que convierte el péndulo en un MAS.

Fuerza recuperadora (ley de Hooke)

F = -k\,x

Fuerza proporcional a la elongación y opuesta a ella; el signo menos indica que apunta al equilibrio.

Oscilador masa-muelle

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

El periodo aumenta con la masa y disminuye con la rigidez del muelle; no depende de la amplitud.

Péndulo simple (pequeñas oscilaciones)

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

El periodo depende solo de la longitud del hilo y de g; es independiente de la masa y de la amplitud (para ángulos pequeños).

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Ejemplo resuelto

Periodo de un oscilador masa-muelle

Una masa de 0,5 kg unida a un muelle horizontal de constante elástica k = 200 N/m oscila con una amplitud de 5 cm sobre una superficie sin rozamiento. Determina la frecuencia angular, el periodo, la velocidad máxima y la aceleración máxima del movimiento.

Frecuencia angular
Se calcula a partir de la constante elástica y la masa.
Periodo
Inverso angular del valor anterior.
Velocidad máxima
Producto de la amplitud (0,05 m) por la frecuencia angular.
Aceleración máxima
Amplitud por el cuadrado de la frecuencia angular.

Resultado: ω = 20 rad/s, T ≈ 0,314 s, v_máx = 1 m/s y a_máx = 20 m/s².

Explicación paso a paso6 pasos

1
Todo el movimiento armónico simple sale de una sola condición sobre la fuerza. Vamos a partir de ella y a llegar, sin memorizar nada, a los dos periodos que hay que saberse.
La condición de MAS
$F = -k\,x$
k es la constante recuperadora (N/m) y x la elongación medida desde el equilibrio (m). El signo menos dice que la fuerza siempre apunta hacia el centro; la proporcionalidad con x es lo que hace el movimiento armónico y no otra cosa.
2
Aplicamos la segunda ley de Newton y comparamos con la cinemática que ya conocemos: en un MAS la aceleración vale menos omega cuadrado por la elongación. Las dos expresiones tienen que ser la misma.
Newton frente a la cinemática
$m\,a = -k\,x \quad\text{y}\quad a = -\omega^{2}x \;\Longrightarrow\; \omega^{2} = \frac{k}{m}$
Igualar las dos expresiones de la aceleración es el paso central de toda la sección: convierte una propiedad de la FUERZA en una propiedad del RITMO del movimiento.
3
De ahí sale el periodo del sistema masa-muelle sin más que recordar que omega es dos pi partido por T. Observa qué no aparece en el resultado: la amplitud.
El periodo del muelle
$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
Más masa, oscilación más lenta; muelle más rígido, oscilación más rápida. Y estires lo que estires, el periodo es el mismo: esa independencia de la amplitud se llama isocronismo.
4
Ahora el péndulo. La fuerza que lo devuelve al equilibrio es la componente del peso tangente a la trayectoria, y esa componente no es proporcional a la elongación, sino al seno del ángulo.
La fuerza recuperadora del péndulo
$F_t = -m\,g\operatorname{sen}\theta$
Estrictamente, un péndulo NO es un oscilador armónico: el seno estropea la proporcionalidad. Hace falta un paso más para que lo sea.
5
El paso es la aproximación de ángulos pequeños: para ángulos por debajo de unos diez grados, el seno del ángulo y el ángulo en radianes son prácticamente iguales, y la fuerza se vuelve proporcional al arco.
La aproximación que crea el MAS
$\operatorname{sen}\theta \approx \theta \;\Longrightarrow\; F_t \approx -\frac{m\,g}{L}\,s$
s = L·θ es el arco recorrido. Comparando con F = −k·s se identifica una constante recuperadora efectiva k = m·g/L, y ya estamos en el caso anterior.
6
Sustituimos esa k efectiva en el periodo del muelle y la masa se simplifica sola. Ese es el resultado que sorprende y que se pregunta: dos péndulos de la misma longitud oscilan igual aunque uno pese diez veces más que el otro.
El periodo del péndulo
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{m\,g/L}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$
La masa desaparece porque también aparecía en la fuerza recuperadora, que es el peso. Como T depende de g, midiendo el periodo de un péndulo se mide la intensidad del campo gravitatorio.

Objetivo Selectividad

Deducir y aplicar ω = √(k/m) y T = 2π√(m/k) en el oscilador masa-muelle, y T = 2π√(L/g) en el péndulo simple.
Relacionar la constante recuperadora con la frecuencia angular (k = m·ω²) y justificar cómo varía el periodo con m, k, L y g.
Reconocer la condición F = −k·x como definición dinámica del MAS y aplicar la aproximación de ángulos pequeños en el péndulo.
La condición de MAS es F = −k·x: fuerza proporcional a la elongación y dirigida siempre al centro. Con la segunda ley de Newton, m·a = −k·x y a = −ω²·x, de donde ω = √(k/m) y todo lo demás sale solo.
Memoriza los dos periodos por lo que NO aparece en ellos: T = 2π·√(m/k) no depende de la amplitud, y T = 2π·√(L/g) no depende de la masa colgada. Señalar esas independencias es media respuesta en las cuestiones razonadas.

Errores frecuentes

Pensar que el periodo del péndulo depende de la masa que cuelga: no depende de ella.
Confundir las dos fórmulas del periodo: usar √(m/k) en el péndulo o √(L/g) en el muelle.
Olvidar que T = 2π√(L/g) solo vale para oscilaciones de pequeña amplitud (aproximación sen θ ≈ θ).
Aplicar T = 2π·√(L/g) a un péndulo con oscilaciones grandes. La aproximación sen θ ≈ θ solo vale para ángulos pequeños, por debajo de unos 10°; fuera de ese rango el movimiento deja de ser armónico simple.
Meter la masa en la fórmula del péndulo o la amplitud en la del muelle. El periodo del péndulo es independiente de la masa y el del muelle es independiente de la amplitud: son dos resultados contraintuitivos que se preguntan una y otra vez.

Repaso activo

Un muelle se alarga 4 cm cuando de él se cuelga una masa de 0,2 kg en reposo (g = 9,8 m/s²). Calcula la constante elástica del muelle y el periodo con que oscilaría esa masa al separarla del equilibrio y soltarla.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Energía en el MAS y su conservación#

~4 min de lecturaEstándarBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque C (Vibraciones y ondas): «Movimiento oscilatorio: variables cinemáticas de un cuerpo oscilante y conservación de energía en estos sistemas.»

La fuerza recuperadora del MAS es conservativa, así que durante la oscilación la energía mecánica total se conserva y solo se transforma de una forma en otra. El oscilador posee dos energías que se intercambian continuamente: la energía cinética, asociada a su velocidad, y la energía potencial elástica, asociada a su separación del equilibrio. La suma de ambas permanece constante en cualquier instante, siempre que no haya rozamiento.

La energía cinética se escribe Ec = ½·m·v². Como la velocidad es máxima en el equilibrio y nula en los extremos, la energía cinética es máxima en el centro (donde vale toda la energía mecánica) y se anula en los puntos de retorno. Sustituyendo la velocidad por su expresión en función de la posición, Ec = ½·m·ω²·(A² − x²) = ½·k·(A² − x²).

La energía potencial elástica vale Ep = ½·k·x². Es nula en el equilibrio (x = 0) y máxima en los extremos (x = ±A), justo donde la cinética se anula: las dos energías son complementarias. Sumando las dos contribuciones se obtiene la energía mecánica total, E = Ec + Ep = ½·k·A², que solo depende de la amplitud y de la constante elástica; nótese que es proporcional al cuadrado de la amplitud, de modo que duplicar la amplitud cuadruplica la energía del oscilador.

La Fig. 4 muestra el reparto: la energía cinética (parábola invertida, máxima en el centro) y la potencial (parábola con vértice en el origen, máxima en los extremos) se cruzan a media altura, y su suma es una recta horizontal —la energía total constante—. Esta representación es una herramienta de razonamiento muy potente en la PAU: permite hallar la velocidad en cualquier punto, los puntos donde Ec = Ep, o la amplitud a partir de un dato energético, todo ello sin recurrir a las ecuaciones temporales.

Reparto de energía en el MAS frente a la elongación

Fig. 4 ↓

Vocabulario

→ Tarjetas

Energía potencial elásticaE_p = ½·k·x². Máxima en los extremos y nula en el centro de la oscilación.
Energía cinética del osciladorE_c = ½·m·v² = ½·k·(A² − x²). Máxima en el centro y nula en los extremos.
Energía mecánica totalE = ½·k·A², constante durante toda la oscilación mientras no haya rozamiento.
AmortiguamientoPérdida progresiva de amplitud por rozamiento; la energía mecánica se disipa en forma de calor.
ResonanciaAumento muy grande de la amplitud cuando la frecuencia de una fuerza externa coincide con la frecuencia propia del oscilador.

Energía cinética

E_{c} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^{2} = \tfrac{1}{2}\,k\,(A^{2}-x^{2})

Máxima en el equilibrio (donde es igual a toda la energía mecánica) y nula en los extremos.

Energía potencial elástica

E_{p} = \tfrac{1}{2}\,k\,x^{2}

Nula en el equilibrio y máxima en los extremos; complementaria de la cinética.

Energía mecánica total

E = E_{c} + E_{p} = \tfrac{1}{2}\,k\,A^{2} = \text{constante}

Se conserva en ausencia de rozamiento; depende solo de la amplitud y la constante elástica, y es proporcional a A².

Ejemplo resuelto

Conservación de la energía en un oscilador

Una masa de 0,2 kg unida a un muelle de constante k = 50 N/m oscila con una amplitud de 0,10 m. Determina la energía mecánica total, y la energía potencial, la energía cinética y la velocidad del cuerpo cuando su elongación es x = 0,06 m.

Energía mecánica total
Toda la energía cuando el cuerpo está en un extremo (x = A).
Energía potencial en x = 0,06 m
Se evalúa la expresión de la potencial elástica.
Energía cinética
Es la energía total menos la potencial (conservación).
Velocidad
Se despeja de la energía cinética con m = 0,2 kg.

Resultado: E = 0,25 J; en x = 0,06 m, Ep = 0,09 J, Ec = 0,16 J y v ≈ 1,26 m/s.

Errores frecuentes

Olvidar el factor ½ en las energías o elevar mal al cuadrado la velocidad o la elongación.
Creer que la energía total cambia a lo largo de la oscilación: con la fuerza recuperadora conservativa es constante.
Confundir la posición de máxima Ec (equilibrio) con la de máxima Ep (extremos).
Escribir la energía potencial del oscilador como m·g·h. En un muelle horizontal la energía potencial es ELÁSTICA, E_p = ½·k·x²; la gravitatoria no interviene en el balance.
Relacionar mal la velocidad máxima con el periodo. Es v_max = A·ω = 2π·A/T: crece con la amplitud pero DISMINUYE al aumentar el periodo, no al revés.

Repaso activo

Un oscilador masa-muelle de constante k = 80 N/m y amplitud A = 0,15 m oscila sin rozamiento. Calcula su energía mecánica total, la energía potencial cuando x = 0,09 m y la energía cinética en ese mismo instante.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II) (Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE))

Del oscilador a la onda#

~6 min de lecturaProfundizaciónBOE-A-2022-5521 · Anexo II · Física (2.º de Bachillerato) · Saberes básicos, bloque C (Vibraciones y ondas): «Movimiento ondulatorio: gráficas de oscilación en función de la posición y del tiempo, ecuación de onda que lo describe y relación con el movimiento armónico simple. Distintos tipos de movimientos ondulatorios en la naturaleza.»

El movimiento armónico simple no es solo un fenómeno aislado: es el ladrillo elemental con el que se construye el movimiento ondulatorio. Una onda es, precisamente, una perturbación que se propaga por el espacio transportando energía; cuando cada punto del medio por el que pasa la onda oscila con un MAS, hablamos de una onda armónica. Así, el oscilador del tema actual y la onda del tema siguiente son las dos caras de una misma física: el MAS describe lo que hace un punto en el tiempo; la onda describe cómo ese mismo movimiento, retrasado, se va contagiando de punto a punto.

Una imagen muy clarificadora —y muy preguntada— es la equivalencia entre el MAS y la proyección de un movimiento circular uniforme (Fig. 5). Si una partícula gira con velocidad angular constante ω por una circunferencia de radio A, la sombra (proyección) de esa partícula sobre un diámetro realiza exactamente un MAS de amplitud A y frecuencia angular ω. Esta correspondencia explica de forma intuitiva por qué aparecen el seno y el coseno, por qué v = Aω y a = Aω², y de dónde sale la palabra «frecuencia angular» para describir una oscilación que, en apariencia, no gira.

El MAS como proyección de un movimiento circular uniforme

Fig. 5 ↓

Cuando una onda armónica avanza, la elongación de cada punto depende tanto del tiempo como de la posición: y(x, t) = A·sen(ωt − kx). Comparada con la ecuación del oscilador, x = A·sen(ωt + φ), se ve que la onda no es más que un MAS al que se le ha añadido la dependencia espacial: el término −kx representa el retraso de fase con el que cada punto repite la oscilación del foco. De ahí nacen las magnitudes nuevas del próximo tema —la longitud de onda λ, el número de onda k y la velocidad de propagación v = λ·f—, que se apoyan por completo en las magnitudes del MAS que ya dominamos.

Por eso este apartado actúa de bisagra dentro del Bloque C «Vibraciones y ondas»: consolida que toda la maquinaria del MAS (amplitud, periodo, frecuencia, fase, energía) se reutiliza tal cual al estudiar el sonido, la luz y, en general, cualquier onda mecánica o electromagnética. Entender bien el oscilador es, literalmente, entender la mitad de las ondas.

Vocabulario

→ Tarjetas

PerturbaciónAlteración local del medio que se transmite a los puntos vecinos; es lo único que viaja en una onda.
Foco emisorPunto donde se origina la perturbación; su periodo y su frecuencia son los de la onda que produce.
Longitud de onda (λ)Distancia entre dos puntos consecutivos en el mismo estado de vibración; es la magnitud que aparece al propagarse.
Velocidad de propagaciónv = λ/T = λ·f. Depende del MEDIO, no del foco ni de la amplitud.
Frente de ondaSuperficie formada por todos los puntos que oscilan en fase en un instante dado.

Oscilación de un punto (MAS)

x(t) = A\,\operatorname{sen}(\omega t + \varphi)

Describe cómo varía con el tiempo la elongación de un único punto.

Onda armónica que se propaga

y(x,t) = A\,\operatorname{sen}(\omega t - k x)

Añade la dependencia espacial: cada punto repite el MAS del foco con un retraso de fase kx.

Velocidad de propagación

v = \lambda\,f = \frac{\omega}{k}

Relaciona la longitud de onda y la frecuencia; distinta de la velocidad de oscilación de cada punto.

Ejemplo resuelto

Del oscilador a la onda en una cuerda

El extremo de una cuerda oscila verticalmente con un MAS de frecuencia f = 4 Hz y amplitud A = 3 cm. La perturbación se propaga a lo largo de la cuerda con una velocidad de 6 m/s. Halla el periodo de oscilación de cada punto, la velocidad máxima de oscilación de un punto y la longitud de onda, y distingue esta de la velocidad de propagación.

Periodo y pulsación
Cada punto repite el MAS del foco; su periodo es el del oscilador.
Velocidad máxima de oscilación
Es la velocidad propia del MAS de cada punto, v = Aω.
Longitud de onda
Se obtiene de la velocidad de propagación y la frecuencia.
Distinción de velocidades
La velocidad de propagación (6 m/s) es la rapidez con que avanza la perturbación; la velocidad máxima de oscilación (≈ 0,75 m/s) es la del MAS de un punto, perpendicular a la propagación.

Resultado: T = 0,25 s, v_máx de oscilación ≈ 0,75 m/s y λ = 1,5 m; la velocidad de propagación (6 m/s) no debe confundirse con la de oscilación de cada punto.

Objetivo Selectividad

Explicar cualitativamente que una onda armónica es la propagación de un MAS punto a punto y que cada punto del medio oscila con un MAS.
Relacionar la ecuación del MAS, x = A·sen(ωt + φ), con la ecuación de la onda armónica, y = A·sen(ωt − kx), identificando qué término añade la dependencia espacial.
Justificar la equivalencia entre el MAS y la proyección de un movimiento circular uniforme.
Explica el paso con la cadena causal completa: cada partícula del medio realiza un MAS, el acoplamiento con la vecina hace que empiece a oscilar con retraso, y ese retraso creciente con la distancia ES la onda. Lo que viaja es la perturbación y la energía, nunca la materia.
Relaciona las magnitudes de los dos movimientos: el periodo y la frecuencia de la onda son los del oscilador que la genera, mientras que la longitud de onda solo aparece al propagarse. Las liga v = λ/T = λ·f.

Errores frecuentes

Confundir la velocidad de oscilación de un punto (v = Aω, perpendicular en una transversal) con la velocidad de propagación de la onda (v = λ·f).
Pensar que en una onda la materia viaja con la perturbación: lo que se propaga es la energía y la fase, no las partículas del medio.
No reconocer que la frecuencia angular ω es la misma magnitud en el oscilador y en la onda.
Decir que el medio se desplaza con la onda. Cada partícula oscila en torno a su posición de equilibrio y vuelve a ella: un corcho en el mar sube y baja, pero no viaja hacia la orilla.
Confundir la velocidad de propagación con la velocidad de oscilación de una partícula. v = λ·f es constante y la fija el MEDIO; la de la partícula es v = A·ω·cos(ω·t + φ) y cambia en cada instante.

Repaso activo

Un punto de una cuerda oscila con un MAS de frecuencia 5 Hz y amplitud 2 cm; la perturbación se propaga por la cuerda a 8 m/s. Razona qué magnitudes del MAS se conservan al pasar a la onda y, usando v = λ·f, calcula la longitud de onda.

Practicar con ejercicios afines50 preguntas de este tema

Recuerdo activo

Recuerda los puntos clave — luego revela.

Fuentes: Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos (Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob)

Revisado · 07/2026Versión completa con el regulador de profundidad — mismo lugar, mismas anclas

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Referencias y fuentes

Fuentes

Gobierno de España — Boletín Oficial del Estado (BOE)

Real Decreto 243/2022 — enseñanzas mínimas del Bachillerato (saberes básicos, Anexo II)

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes — educagob

Currículo de Bachillerato (LOMLOE) — materias y saberes básicos

Véase también

Movimiento armónico simple

5 secciones~27 min de lectura3 competenciasRevisado · 07/2026

Ecuaciones cinemáticas: elongación, velocidad y aceleración#

Del oscilador a la onda#

Movimiento armónico simple

Puntos clave

De las oscilaciones a las magnitudes características